التذبذبات. الاهتزازات التوافقية

إثارة الاهتزازات الميكانيكية التوافقية

الرسوم المتحركة

وصف

إذا تم إخراج النظام التذبذبي من التوازن بأي شكل من الأشكال ثم تركه لنفسه فإنه يقوم بتذبذبات توافقية بشرط عدم وجود احتكاك في النظام، وتعتمد طاقة الوضع بشكل تربيعي على الإحداثيات المعممة (ما يسمى ذبذبات حرة أو طبيعية). لإخراج النظام من حالة التوازن، فإنه يحتاج إلى إعطائه الطاقة. للقيام بذلك، من الضروري إزاحة النظام من موضع توازنه، أو منحه بعض السرعة، أو القيام بالأمرين معًا في نفس الوقت. في ظل وجود الاحتكاك اللزج النيوتوني، يمكن للنظام التذبذبي أيضًا إجراء تذبذبات توافقية، ولكن فقط تحت تأثير القوة الدافعة التوافقية (ما يسمى بالتذبذبات القسرية).

دعونا نفكر في نظام تذبذب ميكانيكي، يتم وصف حركته الحرة بواسطة الوظيفة

x(t) = أ cos (w t + a) . (1)

ويسمى مثل هذا النظام هزاز توافقي. تصف الوظيفة (1) ما يسمى بالتذبذبات التوافقية. هنا القيمة الموجبة A تسمى سعة التذبذب، w هي التردد الدائري أو الدوري. وظيفة

ي = ث + أ (2)

تسمى مرحلة التذبذب، والقيمة a تسمى المرحلة الأولية. ترتبط فترة التذبذبات بتكرارها بالعلاقة

T = 2 ص / ث. (3)

يظهر الرسم البياني للوظيفة في الشكل. 1.

اعتماد الإحداثيات على الوقت المناسب للتذبذبات التوافقية

أرز. 1

الوظيفة (1) هي الحل المعادلة التفاضليةالدرجة الثانية

د 2 س / د 2 + ث 2 س = 0، (4)

الذي يعبر عن بعض القوانين الفيزيائية التي تحدد سلوك النظام قيد النظر (عادة قانون نيوتن الثاني أو، في حالة استخدام الإحداثيات المعممة المنحنية، نتائجه مثل معادلات أويلر-لاجرانج أو معادلات هاميلتون). يمكن العثور على السعة والمرحلة الأولية للتذبذبات من الظروف الأولية

س(0) = س س ; د س(0) /dt = v o ,

التي تحدد حالة النظام التذبذبي في الوقت t = 0. في ظل هذه الظروف، x o و v o ثوابت اعتباطية. الشروط الأولية تؤدي إلى الصيغ:

A = الجذر التربيعي (x o 2 + (v o / k) 2 ) ; tg a = - v o / w x o .

يمكن وصف التأثير الخارجي على النظام التذبذبي من خلال القوة المخفضة f = f (t). ل البندول الربيعالقوة المخفضة f = F (t)/m، حيث F هي القوة الخارجية. في هذه الحالة، فإن الدالة x = x(t) ستحقق المعادلة:

د 2 x /dt 2 + 2 ب dx /dt + w o 2 x = f(t) . (5)

يصف الحد الثاني على الجانب الأيسر من هذه المعادلة تأثير الاحتكاك على الجسم المتحرك. الاهتزازات الحرة للجسم في هذه الحالة لن تكون متناغمة. دع القوة المخفضة f = f (t) تكون دالة توافقية للزمن، أي. يعتمد على الوقت وفقا للقانون:

و (ر) = و م كوس ث ر،

حيث f m هو سعة القوة الدافعة،

W هو تردد تغيره.

في هذه الحالة، سيتم وصف التذبذبات القسرية بالدالة:

س (ر) = جتا (ث ر + أ)،

أولئك. سيمثل التذبذبات التوافقية بتردد W للقوة الدافعة. يعتمد السعة A للتذبذبات القسرية على التردد W وفقًا للصيغة:

A(W) = و م / جذر ((w o 2 - W 2 ) 2 + 4 ب 2 W 2 ) .

يتم تحديد المرحلة الأولية للتذبذبات القسرية بواسطة الصيغة

a = - arctg (2 bW / (w o 2 - W 2 )).

خصائص التوقيت

وقت البدء (سجل إلى -3 إلى 1)؛

مدى الحياة (سجل ح من 13 إلى 15)؛

وقت التدهور (سجل td من -4 إلى -3)؛

وقت التطوير الأمثل (سجل tk من -3 إلى -2).

يتيح لنا اختيار المرحلة الأولية الانتقال من دالة الجيب إلى دالة جيب التمام عند وصف التذبذبات التوافقية:

التذبذب التوافقي المعمم في الشكل التفاضلي:

لكي تحدث اهتزازات حرة حسب القانون التوافقي، من الضروري أن تكون القوة التي تميل إلى إعادة الجسم إلى وضع التوازن متناسبة مع إزاحة الجسم من موضع التوازن وموجهة في الاتجاه المعاكس للإزاحة:

أين كتلة الجسم المهتز .

يسمى النظام الفيزيائي الذي يمكن أن توجد فيه التذبذبات التوافقية هزاز توافقي،ومعادلة الاهتزازات التوافقية هي معادلة المذبذب التوافقي.

1.2. إضافة الاهتزازات

غالبًا ما تكون هناك حالات يشارك فيها النظام في وقت واحد في ذبذبتين أو عدة تذبذبات مستقلة عن بعضها البعض. في هذه الحالات، يتم تشكيل حركة تذبذبية معقدة، والتي يتم إنشاؤها عن طريق فرض (إضافة) التذبذبات على بعضها البعض. من الواضح أن حالات إضافة التذبذبات يمكن أن تكون متنوعة للغاية. وهي لا تعتمد فقط على عدد التذبذبات المضافة، ولكن أيضًا على معلمات التذبذبات، وعلى تردداتها وأطوارها وسعةها واتجاهاتها. ليس من الممكن مراجعة جميع الحالات المتنوعة الممكنة لإضافة التذبذبات، لذلك سنقتصر على النظر في الأمثلة الفردية فقط.

إضافة التذبذبات التوافقية الموجهة على طول خط مستقيم واحد

دعونا نفكر في إضافة تذبذبات موجهة بشكل مماثل لنفس الفترة، ولكنها تختلف في المرحلة الأولية والسعة. معادلات التذبذبات المضافة معطاة بالشكل التالي:

أين وحالات النزوح؟ و - السعات؛ وهي المراحل الأولية للتذبذبات المطوية.

الصورة 2.

من الملائم تحديد سعة التذبذب الناتج باستخدام مخطط متجه (الشكل 2)، حيث يتم رسم ناقلات السعات والتذبذبات المضافة عند الزوايا وعلى المحور، ووفقًا لقاعدة متوازي الأضلاع، فإن متجه سعة يتم الحصول على التذبذب الكلي.

إذا قمت بتدوير نظام من المتجهات بشكل موحد (متوازي الأضلاع) وقمت بإسقاط المتجهات على المحور , ثم ستقوم توقعاتهم بإجراء تذبذبات توافقية وفقًا للمعادلات المعطاة. الترتيب المتبادلالمتجهات ، وفي نفس الوقت تظل دون تغيير ، وبالتالي فإن الحركة التذبذبية لإسقاط المتجه الناتج ستكون أيضًا متناغمة.

ويترتب على ذلك أن الحركة الكلية هي تذبذب توافقي له تردد دوري معين. دعونا نحدد معامل السعة أالتذبذب الناتج . في الزاوية (من تساوي الزوايا المتقابلة لمتوازي الأضلاع).

لذلك،

من هنا: .

وفقا لنظرية جيب التمام ،

يتم تحديد المرحلة الأولية للتذبذب الناتج من:

تسمح لنا علاقات الطور والسعة بإيجاد السعة والمرحلة الأولية للحركة الناتجة وتكوين معادلتها: .

يدق

دعونا ننظر في الحالة التي يكون فيها ترددات التذبذبات المضافة تختلف قليلا عن بعضها البعض، ولتكن الاتساع هي نفسها والمراحل الأولية، أي.

دعونا نضيف هذه المعادلات تحليليا:

دعونا نتحول

أرز. 3.

نظرًا لأنها تتغير ببطء، فلا يمكن تسمية الكمية بالسعة بالمعنى الكامل للكلمة (السعة كمية ثابتة). تقليديا، يمكن أن تسمى هذه القيمة السعة المتغيرة. يظهر الرسم البياني لهذه التذبذبات في الشكل 3. التذبذبات المضافة لها نفس السعات، ولكن الفترات مختلفة، والفترات تختلف قليلا عن بعضها البعض. عندما يتم إضافة هذه الاهتزازات معًا، يتم ملاحظة النبضات. يتم تحديد عدد الضربات في الثانية من خلال الفرق في ترددات التذبذبات المضافة، أي.

يمكن ملاحظة الضرب عندما تصدر شوكتان رننانتان صوتًا إذا كانت الترددات والاهتزازات قريبة من بعضها البعض.

إضافة الاهتزازات المتعامدة المتبادلة

يترك نقطة ماديةيشارك في وقت واحد في ذبذبتين توافقيتين تحدثان بفترات متساوية في اتجاهين متعامدين بشكل متبادل. يمكن ربط نظام الإحداثيات المستطيل بهذه الاتجاهات عن طريق وضع نقطة الأصل عند موضع توازن النقطة. دعونا نشير إلى إزاحة النقطة C على طول المحاور و، على التوالي، من خلال و . (الشكل 4).

دعونا ننظر في العديد من الحالات الخاصة.

1). المراحل الأولية للتذبذبات هي نفسها

دعونا نختار نقطة البداية الزمنية بحيث تكون المراحل الأولية لكلا التذبذبات تساوي الصفر. ثم الإزاحات على طول المحاور ويمكن التعبير عنها بالمعادلات:

وبتقسيم هذه التساويات حدًا على حد، نحصل على معادلات مسار النقطة C:
أو .

ونتيجة لذلك، نتيجة لإضافة اثنين من التذبذبات المتعامدة، تتأرجح النقطة C على طول مقطع خط مستقيم يمر عبر أصل الإحداثيات (الشكل 4).

أرز. 4.

2). فرق المرحلة الأولية هو :

معادلات التذبذب في هذه الحالة لها الشكل:

معادلة مسار النقطة:

وبالتالي، فإن النقطة C تتأرجح على طول قطعة خط مستقيم تمر بأصل الإحداثيات، ولكنها تقع في أرباع مختلفة عما كانت عليه في الحالة الأولى. السعة أالتذبذبات الناتجة في كلتا الحالتين تساوي:

3). فرق المرحلة الأولية هو .

معادلات التذبذب لها الشكل:

قسّم المعادلة الأولى على الثانية على:

دعونا نقوم بتربيع المتساويتين ونجمعهما. نحصل على المعادلة التالية لمسار الحركة الناتجة للنقطة المتذبذبة:

تتحرك النقطة المتأرجحة C على طول القطع الناقص مع أنصاف المحاور و. مع السعات المتساوية، سيكون مسار الحركة الكلية دائرة. وفي الحالة العامة، ل، ولكن متعددة، أي. عند إضافة تذبذبات متعامدة بشكل متبادل، تتحرك نقطة التذبذب على طول منحنيات تسمى أشكال ليساجوس.

شخصيات ليساجوس

شخصيات ليساجوس- مسارات مغلقة ترسمها نقطة تؤدي في وقت واحد ذبذبتين توافقيتين في اتجاهين متعامدين بشكل متبادل.

أول من درسها هو العالم الفرنسي جول أنطوان ليساجوس. يعتمد ظهور الأشكال على العلاقة بين الفترات (الترددات) والأطوار وسعة كلا التذبذبات(الشكل 5).

الشكل 5.

في أبسط حالة للمساواة بين الفترتين، تكون الأشكال عبارة عن قطع ناقصة، والتي، مع اختلاف الطور، إما تتحول إلى أجزاء مستقيمة، ومع اختلاف الطور والسعات المتساوية، تتحول إلى دائرة. إذا كانت فترات كلا التذبذبات لا تتزامن تماما، فإن فرق الطور يتغير طوال الوقت، ونتيجة لذلك يتشوه القطع الناقص طوال الوقت. في فترات مختلفة إلى حد كبير، لم يتم ملاحظة أرقام ليساجوس. ومع ذلك، إذا كانت الفترات مرتبطة كأعداد صحيحة، فبعد فترة زمنية تساوي أصغر مضاعف للفترتين، تعود النقطة المتحركة إلى نفس الموضع مرة أخرى - يتم الحصول على أرقام ليساجوس ذات شكل أكثر تعقيدًا.
تتلاءم أشكال ليساجوس مع مستطيل يتطابق مركزه مع أصل الإحداثيات، وتكون الجوانب موازية لمحاور الإحداثيات وتقع على جانبيها على مسافات مساوية لسعة التذبذب (الشكل 6).

معادلة الاهتزاز التوافقي

تحدد معادلة التذبذب التوافقي اعتماد إحداثيات الجسم على الوقت

الرسم البياني لجيب التمام في اللحظة الأولية له قيمة قصوى، والرسم البياني الجيب له قيمة صفر في اللحظة الأولية. إذا بدأنا في فحص التذبذب من موضع التوازن، فإن التذبذب سيتكرر بشكل جيبي. إذا بدأنا في النظر في التذبذب من موضع الانحراف الأقصى، فسيتم وصف التذبذب بواسطة جيب التمام. أو يمكن وصف مثل هذا التذبذب بصيغة الجيب بمرحلة أولية.

التغير في السرعة والتسارع أثناء التذبذب التوافقي

ليس فقط إحداثيات الجسم تتغير بمرور الوقت وفقًا لقانون الجيب أو جيب التمام. لكن الكميات مثل القوة والسرعة والتسارع تتغير أيضًا بالمثل. تبلغ القوة والتسارع الحد الأقصى عندما يكون الجسم المهتز في أقصى الأوضاع حيث تكون الإزاحة قصوى، وتكون صفرًا عندما يمر الجسم في موضع التوازن. وعلى العكس من ذلك فإن السرعة في الأوضاع القصوى تكون صفراً، وعندما يمر الجسم بوضعية التوازن فإنه يصل إلى قيمته القصوى.

إذا تم وصف التذبذب بقانون جيب التمام

إذا تم وصف التذبذب وفقا لقانون الجيب

السرعة القصوى وقيم التسارع

بعد تحليل معادلات الاعتماد v(t) وa(t)، يمكننا تخمين أن السرعة والتسارع يأخذان قيمًا قصوى في الحالة التي يكون فيها العامل المثلثي مساويًا لـ 1 أو -1. تحدده الصيغة

التذبذب التوافقي هو ظاهرة التغير الدوري لأي كمية، حيث يكون الاعتماد على الوسيطة بمثابة دالة الجيب أو جيب التمام. على سبيل المثال، تتأرجح الكمية بشكل متناغم وتتغير بمرور الوقت على النحو التالي:

حيث x هي قيمة الكمية المتغيرة، t هو الوقت، والمعلمات المتبقية ثابتة: A هي سعة التذبذبات، ω هو التردد الدوري للتذبذبات، هي المرحلة الكاملة للتذبذبات، هي المرحلة الأولية للتذبذبات.

التذبذب التوافقي المعمم في الشكل التفاضلي

(أي حل غير تافه لهذه المعادلة التفاضلية هو تذبذب توافقي بتردد دوري)

أنواع الاهتزازات

تحدث الاهتزازات الحرة تحت تأثير القوى الداخلية للنظام بعد إزالة النظام من موضع توازنه. لكي تكون التذبذبات الحرة توافقية، من الضروري أن يكون النظام التذبذبي خطيًا (موصوفًا بمعادلات الحركة الخطية)، ولا يوجد فيه تبديد للطاقة (الأخير من شأنه أن يسبب التوهين).

تحدث الاهتزازات القسرية تحت تأثير قوة دورية خارجية. لكي تكون متناسقة، يكفي أن يكون النظام التذبذبي خطيًا (موصوفًا بمعادلات الحركة الخطية)، وأن القوة الخارجية نفسها تتغير بمرور الوقت كتذبذب متناغم (أي أن الاعتماد الزمني لهذه القوة جيبي). .

المعادلة التوافقية

المعادلة (1)

يعطي اعتماد القيمة المتقلبة S على الوقت t؛ هذه هي معادلة التذبذبات التوافقية الحرة بصيغة صريحة. ومع ذلك، عادة ما يتم فهم معادلة الاهتزاز على أنها تمثيل مختلف لهذه المعادلة، في شكل تفاضلي. للتأكيد، دعونا نأخذ المعادلة (1) في الصورة

دعونا نفرقها مرتين فيما يتعلق بالوقت:

ويمكن ملاحظة أن العلاقة التالية قائمة:

والتي تسمى بمعادلة التذبذبات التوافقية الحرة (بالشكل التفاضلي). المعادلة (1) هي حل للمعادلة التفاضلية (2). وبما أن المعادلة (2) هي معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية، فإنه يلزم توفر شرطين أوليين للحصول على حل كامل (أي تحديد الثوابتين A و   المتضمنتين في المعادلة (1)؛ على سبيل المثال، موضع وسرعة النظام التذبذبي عند t = 0.

البندول الرياضي هو مذبذب، وهو نظام ميكانيكي يتكون من نقطة مادية تقع على خيط عديم الوزن وغير قابل للتمدد أو على قضيب عديم الوزن في مجال موحد لقوى الجاذبية. فترة التذبذبات الطبيعية الصغيرة لبندول رياضي طوله l، معلق بلا حراك في مجال جاذبية منتظم مع تسارع السقوط الحر g، تساوي

ولا يعتمد على سعة البندول وكتلته.

البندول الفيزيائي هو المذبذب، وهو جسم صلب يهتز في مجال من أي قوى نسبة إلى نقطة ليست مركز كتلة هذا الجسم، أو محور ثابت عمودي على اتجاه عمل القوى وليس مروراً بمركز كتلة هذا الجسم.

كانت هناك العديد من المقالات حول المحور الخاص بتحويل فورييه وحول جميع أنواع الجمال مثل معالجة الإشارات الرقمية (DSP)، ولكن من غير الواضح تمامًا للمستخدم عديم الخبرة سبب الحاجة إلى كل هذا وأين، والأهم من ذلك، كيفية التقديم هو - هي.

استجابة التردد للضوضاء.

شخصيا، بعد قراءة هذه المقالات (على سبيل المثال، هذا)، لم يتضح لي ما هو ولماذا هناك حاجة إليه في الحياة الحقيقية، على الرغم من أنه كان مثيرا للاهتمام وجميلا.
لا أريد أن ألقي نظرة على الصور الجميلة فحسب، بل أريد، إذا جاز التعبير، أن أشعر في داخلي بما يحدث وكيف يعمل. وسأقدم مثالاً محددًا حول إنشاء الملفات الصوتية ومعالجتها. سيكون من الممكن الاستماع إلى الصوت، والنظر إلى طيفه، وفهم سبب ذلك.
المقالة لن تكون ذات فائدة لأولئك الذين يعرفون نظرية وظائف المتغير المعقد وDSP وغيرها من المواضيع المخيفة. إنه أكثر للفضوليين وأطفال المدارس والطلاب وأولئك الذين يتعاطفون معهم :).

اسمحوا لي أن أقوم بالحجز على الفور: أنا لست عالم رياضيات، وربما أقول أشياء كثيرة بشكل غير صحيح (قم بتصحيحها برسالة شخصية)، وأنا أكتب هذا المقال بناءً على تجربتي الخاصة وفهمي للعمليات الحالية. إذا كنت مستعدًا، فلنذهب.

بضع كلمات عن العتاد

إذا تذكرنا دورة الرياضيات في مدرستنا، فقد استخدمنا دائرة لرسم الرسم البياني للجيب. بشكل عام، اتضح ذلك حركة دورانيةيمكن أن تتحول إلى موجة جيبية (مثل أي تذبذب توافقي). أفضل توضيح لهذه العملية موجود في ويكيبيديا

الاهتزازات التوافقية

أولئك. في الواقع، يتم الحصول على الرسم البياني الجيبي من دوران المتجه، والذي يتم وصفه بالصيغة:

F(x) = خطيئة (ωt + φ)،

حيث A هو طول المتجه (سعة التذبذب)، φ هي الزاوية الأولية (الطور) للمتجه عند زمن الصفر، ω هي السرعة الزاوية للدوران، والتي تساوي:

ω=2 πf، حيث f هو التردد بالهرتز.

كما نرى، بمعرفة تردد الإشارة وسعةها وزاويتها، يمكننا إنشاء إشارة توافقية.

يبدأ السحر عندما يتبين أن تمثيل أي إشارة على الإطلاق يمكن تمثيله كمجموع (غالبًا لا نهائي) من الجيوب الأنفية المختلفة. وبعبارة أخرى، في شكل سلسلة فورييه.
سأعطي مثالا من ويكيبيديا الإنجليزية. لنأخذ إشارة مسننة كمثال.

إشارة المنحدر

وسيتم تمثيل مبلغها بالصيغة التالية:

إذا أضفنا واحدًا تلو الآخر، فأخذنا أولاً n=1، ثم n=2، وما إلى ذلك، فسنرى كيف تتحول إشارتنا الجيبية التوافقية تدريجيًا إلى منشار:

ربما يكون هذا هو أفضل ما تم توضيحه من خلال أحد البرامج التي وجدتها على الإنترنت. لقد قيل أعلاه أن الرسم البياني الجيبي هو إسقاط لمتجه دوار، ولكن ماذا عن الإشارات الأكثر تعقيدًا؟ ومن الغريب أن هذا هو إسقاط للعديد من المتجهات الدوارة، أو بالأحرى مجموعها، وكلها تبدو كما يلي:

منشار الرسم المتجه.

بشكل عام، أوصي بالذهاب إلى الرابط بنفسك ومحاولة اللعب بالمعلمات بنفسك ومعرفة كيف تتغير الإشارة. IMHO لم أر قط لعبة أكثر وضوحًا للفهم.

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن هناك إجراءً عكسيًا يسمح لك بالحصول على التردد والسعة والمرحلة الأولية (الزاوية) من إشارة معينة، وهو ما يسمى تحويل فورييه.

توسيع متسلسلة فورييه لبعض الدوال الدورية المعروفة (من هنا)

لن أتطرق إليه بالتفصيل، ولكن سأبين كيف يمكن تطبيقه في الحياة. سأوصي في قائمة المراجع بالمكان الذي يمكنك فيه قراءة المزيد عن المواد.

دعنا ننتقل إلى التمارين العملية!

يبدو لي أن كل طالب يطرح سؤالاً أثناء جلوسه في محاضرة، مثلاً في الرياضيات: لماذا أحتاج إلى كل هذا الهراء؟ وكقاعدة عامة، عدم العثور على إجابة في المستقبل المنظور، لسوء الحظ، يفقد الاهتمام بالموضوع. لذلك سأريكم على الفور الاستخدام العمليهذه المعرفة، وسوف تتقن هذه المعرفة بنفسك :).

سأنفذ كل شيء بمفردي. لقد فعلت كل شيء، بالطبع، في Linux، لكنني لم أستخدم أي تفاصيل، من الناحية النظرية، سيتم تجميع البرنامج وتشغيله تحت منصات أخرى.

أولا، دعونا نكتب برنامجا لإنشاء ملف صوتي. تم اعتبار ملف wav هو الملف الأبسط. يمكنك أن تقرأ عن هيكلها.
باختصار، يتم وصف بنية ملف wav على النحو التالي: رأس يصف تنسيق الملف، ثم هناك (في حالتنا) مصفوفة من البيانات 16 بت (المؤشر) بطول: sampling_frequency*t ثانية أو 44100 قطعة * ر.

تم أخذ مثال لإنشاء ملف صوتي. لقد قمت بتعديله قليلاً، وصححت الأخطاء، والنسخة النهائية مع تعديلاتي موجودة الآن على Github هنا

لنقم بإنشاء ملف صوتي مدته ثانيتان بموجة جيبية نقية بتردد 100 هرتز. للقيام بذلك، نقوم بتعديل البرنامج على النحو التالي:

#define S_RATE (44100) // تردد أخذ العينات #define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 المخزن المؤقت الثاني */ …. int main(int argc, char * argv) (... float amplitude = 32000; // خذ أقصى سعة ممكنة لـ float freq_ هرتز = 100; // تردد الإشارة /* املأ المخزن المؤقت بموجة جيبية */ for (i=0) ؛ أنا

يرجى ملاحظة أن صيغة الجيب النقي تتوافق مع الصيغة التي ناقشناها أعلاه. تتوافق سعة 32000 (كان من الممكن أخذ 32767) مع القيمة التي يمكن أن يأخذها رقم 16 بت (من -32767 إلى زائد 32767).

نتيجة لذلك، نحصل على الملف التالي (يمكنك حتى الاستماع إليه باستخدام أي برنامج لإعادة إنتاج الصوت). دعونا نفتح ملف الجرأة هذا ونرى أن الرسم البياني للإشارة يتوافق فعليًا مع موجة جيبية نقية:

جيب أنبوب نقي

دعونا نلقي نظرة على طيف هذا الجيب (التحليل->الطيف المخطط)

الرسم البياني الطيفي

تظهر الذروة الواضحة عند 100 هرتز (مقياس لوغاريتمي). ما هو الطيف؟ هذه هي خاصية التردد السعة. هناك أيضًا خاصية تردد الطور. إذا كنت تتذكر، قلت أعلاه أنه لبناء إشارة تحتاج إلى معرفة ترددها وسعةها ومرحلتها؟ لذلك، يمكنك الحصول على هذه المعلمات من الإشارة. في هذه الحالة، لدينا رسم بياني للترددات المقابلة للسعة، والسعة ليست بوحدات حقيقية، ولكن بالديسيبل.

أفهم أنه من أجل شرح كيفية عمل البرنامج، من الضروري شرح ما هو تحويل فورييه السريع، وهذه مقالة أخرى على الأقل.

أولاً، دعونا نخصص المصفوفات:

C = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // مصفوفة عوامل التدوير in = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // مصفوفة الإدخال خارج = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // مصفوفة الإخراج

اسمحوا لي فقط أن أقول إننا في البرنامج نقرأ البيانات في مصفوفة بطول size_array (والتي نأخذها من رأس ملف wav).

while(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) ( in[j]=(float)value; j+=2; if (j > 2*size_array)break; )

يجب أن تكون صفيف FFT عبارة عن تسلسل (re، im، re، im،… re، im)، حيث fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком:
هي مصفوفة من الأعداد المركبة حتى أنني أخشى أن أتخيل مكان استخدام تحويل فورييه المعقد، لكن في حالتنا، الجزء التخيلي يساوي الصفر، والجزء الحقيقي يساوي قيمة كل نقطة في المصفوفة.
ميزة أخرى لتحويل فورييه السريع هي أنه يحسب المصفوفات التي هي مضاعفات فقط لقوى العدد اثنين. ونتيجة لذلك، يجب علينا حساب الحد الأدنى من الطاقة لاثنين:

Int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));

لوغاريتم عدد البايتات في البيانات مقسومًا على عدد البايتات عند نقطة واحدة.

بعد ذلك نحسب عوامل الدوران:

Fft_make(p2,c); // دالة لحساب عوامل الدوران لـ FFT (المعلمة الأولى هي قوة اثنين، والثانية عبارة عن مجموعة مخصصة من عوامل الدوران).

ونقوم بتغذية مصفوفتنا فقط في محول فورييه:

Fft_calc(p2, c, in, out, 1); //(واحد يعني أننا حصلنا على مصفوفة طبيعية).

عند الإخراج نحصل على أرقام مركبة من النموذج (re، im، re، im،… re، im). بالنسبة لأولئك الذين لا يعرفون ما هو العدد المركب، سأشرح ذلك. ليس من قبيل الصدفة أنني بدأت هذه المقالة بمجموعة من المتجهات الدوارة ومجموعة من صور GIF. لذلك، يتم تحديد المتجه على المستوى المركب بالإحداثيات الحقيقية a1 والإحداثيات التخيلية a2. أو الطول (هذه هي السعة Am بالنسبة لنا) والزاوية Psi (الطور).

المتجه على المستوى المعقد

يرجى ملاحظة أن size_array=2^p2. النقطة الأولى من المصفوفة تتوافق مع تردد 0 هرتز (ثابت)، والنقطة الأخيرة تتوافق مع تردد أخذ العينات، أي 44100 هرتز. ونتيجة لذلك، يجب علينا حساب التردد المقابل لكل نقطة، والذي سيختلف باختلاف تردد الدلتا:

دلتا مزدوجة=((تعويم)header.frequency)/(تعويم)size_array; // تردد أخذ العينات لكل حجم صفيف.

تخصيص مجموعة السعة:

مزدوج * أمبير؛ ampl = calloc(size_array*2, sizeof(double));

وانظر إلى الصورة: السعة هي طول المتجه. ولدينا إسقاطاتها على المحور الحقيقي والخيالي. ونتيجة لذلك، سيكون لدينا مثلث قائم الزاوية، وهنا نتذكر نظرية فيثاغورس، ونحسب طول كل متجه، ونكتبه على الفور في ملف نصي:

من أجل (i=0;i<(size_array);i+=2) { fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out))); cur_freq+=delta; }
ونتيجة لذلك، نحصل على ملف مثل هذا:

… 11.439514 10.943008 11.607742 56.649738 11.775970 15.652428 11.944199 21.872342 12.112427 30.635371 12.280655 30.329171 12.448883 11.932371 12.617111 20.777617 ...

دعونا نحاول!

الآن نقوم بتغذية البرنامج الناتج بملف صوتي جيبي

./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ تنسيق Hz.wav: 16 بت، PCM غير مضغوط، القناة 1، التكرار 44100، 88200 بايت في الثانية، 2 بايت عن طريق الالتقاط، 2 بت لكل عينة، 882000 بايت في قطعة البيانات= 441000 log2 = 18 حجم المصفوفة = 262144 تنسيق wav الحد الأقصى للتكرار = 99.928، أمبير = 7216.136

ونحصل على ملف نصي لاستجابة التردد. نحن نبني الرسم البياني الخاص به باستخدام gnuplot

السيناريو للبناء:

#! /usr/bin/gnuplot - استمرار مجموعة التذييل الطرفي eps اللون المحسن مجموعة الإخراج الصلبة "result.ps" #set حجم png الطرفية 800، 600 #set الإخراج "result.png" تعيين الشبكة xtics ytics set log xy set xlabel "Freq, هرتز" تعيين ylabel "Amp، dB" تعيين xrange #set yrange مؤامرة "test.txt" باستخدام عنوان 1:2 "AFC" with lines linestyle 1 !}

يرجى ملاحظة القيود الموجودة في البرنامج النصي على عدد النقاط على طول X: set xrange . تردد أخذ العينات لدينا هو 44100، وإذا تذكرنا نظرية Kotelnikov، فلا يمكن أن يكون تردد الإشارة أعلى من نصف تردد أخذ العينات، لذلك نحن لسنا مهتمين بإشارة أعلى من 22050 هرتز. لماذا أنصحك بالقراءة في الأدب المتخصص.
لذا (قرعة الطبل)، قم بتشغيل البرنامج النصي وانظر:

طيف إشارتنا

لاحظ الذروة الحادة عند 100 هرتز. لا تنس أن المحاور موجودة على مقياس لوغاريتمي! الصوف الموجود على اليمين هو ما أعتقد أنه أخطاء تحويل فورييه (النوافذ تتبادر إلى الذهن هنا).

دعونا ننغمس؟

تعال! دعونا نلقي نظرة على أطياف الإشارات الأخرى!

هناك ضجيج حولها...

أولاً، دعونا نرسم طيف الضوضاء. الموضوع يدور حول الضوضاء والإشارات العشوائية وما إلى ذلك. يستحق دورة منفصلة. لكننا سوف نتطرق إليها بخفة. دعونا نعدل برنامج إنشاء ملفات wav الخاص بنا ونضيف إجراءً واحدًا:

Double d_random (double min، double max) (return min + (max - min) / RAND_MAX * rand ()؛)

سيتم إنشاء رقم عشوائي ضمن النطاق المحدد. ونتيجة لذلك، سوف تبدو الرئيسية مثل هذا:

Int main(int argc, char * argv) ( int i; float amplitude = 32000; srand((unsigned int)time(0)); // تهيئة مولد الأرقام العشوائية لـ (i=0; i

لنقم بإنشاء ملف (أوصي بالاستماع إليه). دعونا ننظر إلى الأمر بجرأة.

إشارة في الجرأة

دعونا نلقي نظرة على الطيف في برنامج الجرأة.

يتراوح

ودعونا نلقي نظرة على الطيف باستخدام برنامجنا:

الطيف لدينا

أود أن ألفت انتباهكم إلى حقيقة مثيرة جدًا للاهتمام وميزة الضوضاء - فهي تحتوي على أطياف جميع التوافقيات. وكما يتبين من الرسم البياني، فإن الطيف متساوي تمامًا. عادة، يتم استخدام الضوضاء البيضاء لتحليل تردد عرض النطاق الترددي، مثل المعدات الصوتية. هناك أنواع أخرى من الضوضاء: الوردي والأزرق وغيرها. الواجب المنزلي هو معرفة كيف تختلف.

ماذا عن الكومبوت؟

الآن دعونا نلقي نظرة على إشارة أخرى مثيرة للاهتمام - التعرج. لقد قدمت أعلاه جدولًا لتوسعات الإشارات المختلفة في متسلسلة فورييه، انظر إلى كيفية توسيع التعرج، واكتبه على قطعة من الورق، وسنواصل.

لتوليد موجة مربعة بتردد 25 هرتز، قمنا مرة أخرى بتعديل مولد ملف wav الخاص بنا:

Int main(int argc, char * argv) ( int i; short int meandr_value=32767; /* املأ المخزن المؤقت بموجة جيبية */ for (i=0; i

ونتيجة لذلك، نحصل على ملف صوتي (مرة أخرى، أنصحك بالاستماع)، والذي يجب عليك مشاهدته على الفور بجرأة

صاحب الجلالة - تعرج أو تعرج الشخص السليم

دعونا لا نضعف وننظر إلى طيفه:

الطيف المتعرج

ليس من الواضح بعد ما هو... دعونا نلقي نظرة على التوافقيات القليلة الأولى:

التوافقيات الأولى

إنها مسألة مختلفة تماما! حسنا، دعونا ننظر إلى العلامة. انظر، لدينا فقط 1، 3، 5، وما إلى ذلك، أي. التوافقيات الغريبة. نرى أن التوافقي الأول لدينا هو 25 هرتز، والتالي (الثالث) هو 75 هرتز، ثم 125 هرتز، وما إلى ذلك، بينما تتناقص السعة تدريجيًا. النظرية تلتقي بالممارسة!
الآن الاهتمام! في الحياة الواقعية، تحتوي إشارة الموجة المربعة على مجموع لا نهائي من التوافقيات ذات الترددات الأعلى والأعلى، ولكن كقاعدة عامة، لا يمكن للدوائر الكهربائية الحقيقية تمرير ترددات أعلى من تردد معين (بسبب محاثة وسعة المسارات). ونتيجة لذلك، يمكنك غالبًا رؤية الإشارة التالية على شاشة راسم الذبذبات:

تعرج المدخن

هذه الصورة تشبه تمامًا الصورة من ويكيبيديا، حيث بالنسبة لمثال المتعرج، لم يتم أخذ جميع الترددات، ولكن القليل منها فقط.

مجموع التوافقيات الأولى، وكيف تتغير الإشارة

يستخدم التعرج أيضًا بنشاط في هندسة الراديو (يجب القول أن هذا هو أساس كل التقنيات الرقمية) ومن الجدير أن نفهم أنه مع السلاسل الطويلة يمكن تصفيته حتى لا تتعرف عليه الأم. يتم استخدامه أيضًا للتحقق من استجابة التردد للأجهزة المختلفة. حقيقة أخرى مثيرة للاهتمام هي أن أجهزة التشويش التلفزيونية عملت بدقة على مبدأ التوافقيات الأعلى، عندما تولد الدائرة الدقيقة نفسها تعرجًا يبلغ عشرات ميغاهيرتز، ويمكن أن يكون للتوافقيات الأعلى ترددات تصل إلى مئات ميغاهيرتز، بالضبط عند تردد تشغيل التلفزيون، و نجحت التوافقيات الأعلى في تشويش إشارة البث التلفزيوني.

بشكل عام، موضوع هذه التجارب لا نهاية له، ويمكنك الآن مواصلة ذلك بنفسك.

كتاب

بالنسبة لأولئك الذين لا يفهمون ما نقوم به هنا، أو العكس، لأولئك الذين يفهمون ولكنهم يريدون فهمه بشكل أفضل، وكذلك للطلاب الذين يدرسون DSP، أوصي بشدة بهذا الكتاب. هذا هو DSP للدمى، وهو مؤلف هذا المنصب. هناك، يتم شرح المفاهيم المعقدة بلغة يسهل على الطفل الوصول إليها.

خاتمة

وفي الختام، أود أن أقول إن الرياضيات هي ملكة العلوم، ولكن بدون تطبيق حقيقي يفقد الكثير من الناس الاهتمام بها. آمل أن يشجعك هذا المنشور على دراسة موضوع رائع مثل معالجة الإشارات والدوائر التناظرية بشكل عام (قم بتوصيل أذنيك حتى لا يتسرب عقلك!). :)
حظ سعيد!