أنواع التكامل وطرق الحل التكامل بتغيير الطريقة المتغيرة

تسمى الدالة F(x) القابلة للتفاضل في فترة معينة X المشتق العكسي للوظيفة f(x)، أو تكامل f(x)، إذا كانت المساواة التالية لكل x ∈X:

F "(x) = f(x).(8.1)

العثور على جميع المشتقات العكسية لدالة معينة يسمى it اندماج. دالة تكاملية غير محددة f(x) في فترة زمنية معينة X هي مجموعة جميع دوال المشتقة العكسية للدالة f(x); تعيين -

إذا كانت F(x) هي مشتق عكسي للدالة f(x)، إذن ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

حيث C هو ثابت تعسفي.

جدول التكاملات

مباشرة من التعريف نحصل على الخصائص الرئيسية لا تكامل محددوقائمة التكاملات الجدولية:

1) د∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

قائمة التكاملات الجدولية

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (م ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = القطب الشمالي س + C

8. = أركسين س + ج

10. = - ctg x + C

استبدال متغير

لدمج العديد من الوظائف، استخدم طريقة الاستبدال المتغير أو البدائل,مما يسمح لك بتقليل التكاملات إلى شكل جدولي.

إذا كانت الدالة f(z) مستمرة على [α,β]، فإن الدالة z =g(x) لها مشتق مستمر و α ≥ g(x) ≥ β، إذن

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

علاوة على ذلك، بعد التكامل على الجانب الأيمن، يجب إجراء التعويض z=g(x).

ولإثبات ذلك يكفي كتابة التكامل الأصلي بالصيغة:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

على سبيل المثال:

طريقة التكامل بالأجزاء

دع u = f(x) و v = g(x) تكون دالتين لها استمرارية. ثم حسب العمل

d(uv))= udv + vdu أو udv = d(uv) - vdu.

بالنسبة للتعبير d(uv)، من الواضح أن المشتق العكسي هو uv، وبالتالي فإن الصيغة تحمل:

∫ udv = الأشعة فوق البنفسجية - ∫ vdu (8.4.)

هذه الصيغة تعبر عن القاعدة تكامل اجزاء. إنه يؤدي إلى تكامل التعبير udv=uv"dx مع تكامل التعبير vdu=vu"dx.

لنفترض، على سبيل المثال، أنك تريد العثور على ∫xcosx dx. دعونا نضع u = x، dv = cosxdx، وبالتالي du = dx، v = sinx. ثم

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

إن قاعدة التكامل بالأجزاء لها نطاق محدود أكثر من استبدال المتغيرات. ولكن هناك فئات كاملة من التكاملات، على سبيل المثال،

∫x k ln m xdx، ∫x k sinbxdx، ∫ x k cosbxdx، ∫x k e ax وغيرها، والتي يتم حسابها بدقة باستخدام التكامل بالأجزاء.

تكامل محدد

يتم تقديم مفهوم التكامل المحدد على النحو التالي. دع الدالة f(x) يتم تعريفها على فترة زمنية. دعونا نقسم القطعة [أ، ب] إلى نالأجزاء بالنقاط أ= × 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ س ط = س ط - س ط-1. يسمى مجموع النموذج f(ξ i)Δ x i مجموع لا يتجزأ، ويسمى حدها عند lect = maxΔx i → 0، إذا كان موجودًا ومحدودًا تكامل محددوظائف و (خ) من أقبل بويتم تعيين:

F(ξi)Δxi (8.5).

يتم استدعاء الدالة f(x) في هذه الحالة قابلة للتكامل على الفاصل الزمني، يتم استدعاء الأرقام أ و ب الحدود الدنيا والعليا للتكامل.

الخصائص التالية صحيحة بالنسبة للتكامل المحدد:

4)، (ك = ثابت، ك∈R)؛

7) و(ξ)(ب-أ) (ξ∈).

الخاصية الأخيرة تسمى يعني نظرية القيمة.

دع f(x) يكون مستمرا على . ثم في هذا الجزء يوجد تكامل غير محدد

∫f(x)dx = F(x) + C

ويحدث صيغة نيوتن-لايبنتز، ربط التكامل المحدد بالتكامل غير المحدد:

و(ب) - و(أ). (8.6)

التفسير الهندسي: التكامل المحدد هو مساحة شبه منحرف منحني يحدها من الأعلى المنحنى y=f(x)، والخطوط المستقيمة x = a وx = b وقطعة من المحور ثور.

التكاملات غير الصحيحة

تسمى التكاملات ذات الحدود اللانهائية وتكاملات الدوال المتقطعة (غير المحدودة). ليس بنفسك. التكاملات غير الصحيحة من النوع الأولوهي تكاملات على مدى فترة لا نهائية، محددة على النحو التالي:

(8.7)

فإذا كان هذا الحد موجودا ومتناهيا فإنه يسمى التكامل غير الصحيح المتقارب لـ f(x)على الفترة [a,+ ∞)، وتسمى الدالة f(x). قابلة للتكامل على مدى فترة لا نهائية[أ،+ ∞). وبخلاف ذلك، يقال أن التكامل هو لا وجود لها أو تختلف.

يتم تعريف التكاملات غير الصحيحة على الفترات (-∞,b] و (-∞, + ∞) بشكل مشابه:

دعونا نحدد مفهوم تكامل دالة غير محدودة. إذا كانت f(x) مستمرة لجميع القيم سالقطعة، باستثناء النقطة c، التي يكون عندها f(x) انقطاعًا لا نهائيًا تكامل غير صحيح من النوع الثانيو (خ) تتراوح من أ إلى بالمبلغ يسمى :

إذا كانت هذه الحدود موجودة ومحدودة. تعيين:

أمثلة على الحسابات التكاملية

مثال 3.30.احسب ∫dx/(x+2).

حل.دعونا نشير إلى t = x+2، ثم dx = dt، ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +ج.

مثال 3.31. ابحث عن ∫ tgxdx.

حل.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. دع t=cosx، ثم ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

مثال3.32 . أوجد ∫dx/sinx

حل.

مثال3.33. يجد .

حل. = .

مثال3.34 . ابحث عن ∫arctgxdx.

حل. دعونا نتكامل بالأجزاء. دعونا نشير إلى u=arctgx، dv=dx. ثم du = dx/(x 2 +1), v=x, حيث ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; لأن
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

مثال3.35 . احسب ∫lnxdx.

حل.وبتطبيق صيغة التكامل بالأجزاء نحصل على:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. ثم ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

مثال3.36 . احسب ∫e x sinxdx.

حل.دعونا نشير إلى u = e x, dv = sinxdx, ثم du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. نقوم أيضًا بدمج التكامل ∫e x cosxdx بالأجزاء: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. لدينا:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. لقد حصلنا على العلاقة ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx، ومنها 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

مثال 3.37. احسب J = ∫cos(lnx)dx/x.

حل.بما أن dx/x = dlnx، فإن J= ∫cos(lnx)d(lnx). بالتعويض عن lnx خلال t، نصل إلى جدول التكامل J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

مثال 3.38 . احسب J = .

حل.باعتبار أن = d(lnx)، نستبدل lnx = t. ثم ي = .

مثال 3.39 . احسب التكامل J = .

حل.لدينا: . لذلك =
=
=. تم إدخاله بهذه الطريقة: sqrt(tan(x/2)).

وإذا نقرت في نافذة النتائج على "إظهار الخطوات" في الزاوية اليمنى العليا، فستحصل على حل مفصل.

يعد حل التكاملات مهمة سهلة، ولكن فقط لقلة مختارة. هذه المقالة مخصصة لأولئك الذين يريدون تعلم كيفية فهم التكاملات، ولكنهم لا يعرفون شيئًا عنها أو لا يعرفون شيئًا تقريبًا عنها. لا يتجزأ... لماذا هو مطلوب؟ كيفية حساب ذلك؟ ما هي التكاملات المحددة وغير المحددة؟ إذا كان الاستخدام الوحيد الذي تعرفه للتكامل هو استخدام خطاف كروشيه على شكل أيقونة متكاملة للحصول على شيء مفيد من الأماكن التي يصعب الوصول إليها، فمرحبًا بك! تعرف على كيفية حل التكاملات ولماذا لا يمكنك الاستغناء عنها.

ندرس مفهوم "التكامل"

كان التكامل معروفًا في مصر القديمة. بالطبع، ليس في شكله الحديث، ولكن لا يزال. ومنذ ذلك الحين، كتب علماء الرياضيات العديد من الكتب حول هذا الموضوع. تميزوا بشكل خاص نيوتن و لايبنتز لكن جوهر الأشياء لم يتغير. كيف نفهم التكاملات من الصفر؟ مستحيل! لفهم هذا الموضوع، ستظل بحاجة إلى معرفة أساسية بأساسيات التحليل الرياضي. لدينا بالفعل معلومات حول، ضرورية لفهم التكاملات، على مدونتنا.

تكامل غير محدد

دعونا نحصل على بعض الوظائف و (خ) .

دالة تكاملية غير محددة و (خ) تسمى هذه الوظيفة و(خ) ، الذي مشتقه يساوي الدالة و (خ) .

بمعنى آخر، التكامل هو مشتق عكسي أو مشتق عكسي. بالمناسبة، اقرأ عن كيفية القيام بذلك في مقالتنا.

يوجد مشتق عكسي لجميع الوظائف المستمرة. أيضًا، غالبًا ما تتم إضافة علامة ثابتة إلى المشتق العكسي، نظرًا لأن مشتقات الوظائف التي تختلف بثبات تتزامن. تسمى عملية إيجاد التكامل بالتكامل.

مثال بسيط:

من أجل عدم حساب المشتقات العكسية للوظائف الأولية باستمرار، فمن الملائم وضعها في جدول واستخدام القيم الجاهزة.

جدول كامل للتكاملات للطلاب

تكامل محدد

عند التعامل مع مفهوم التكامل، فإننا نتعامل مع كميات متناهية الصغر. سيساعد التكامل في حساب مساحة الشكل وكتلة الجسم غير المنتظم والمسافة المقطوعة أثناء الحركة غير المستوية وغير ذلك الكثير. يجب أن نتذكر أن التكامل هو مجموع عدد كبير لا نهائي من الحدود متناهية الصغر.

على سبيل المثال، تخيل رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف. كيفية العثور على مساحة الشكل الذي يحده الرسم البياني للدالة؟

باستخدام جزء لا يتجزأ! دعونا نقسم شبه المنحرف المنحني، المحدود بمحاور الإحداثيات والرسم البياني للدالة، إلى أجزاء متناهية الصغر. بهذه الطريقة سيتم تقسيم الشكل إلى أعمدة رفيعة. مجموع مساحات الأعمدة سيكون مساحة شبه المنحرف. لكن تذكر أن مثل هذا الحساب سيعطي نتيجة تقريبية. ومع ذلك، كلما كانت الأجزاء أصغر وأضيق، كلما كان الحساب أكثر دقة. إذا قمنا بتقليلها إلى درجة أن الطول يميل إلى الصفر، فإن مجموع مساحات القطع سوف يميل إلى مساحة الشكل. وهذا تكامل محدد، وهو مكتوب على النحو التالي:

تسمى النقطتان a وb بحدود التكامل.

باري علي باسوف ومجموعة "لا يتجزأ"

بالمناسبة! لقرائنا هناك الآن خصم 10٪ على

قواعد لحساب التكاملات للدمى

خصائص التكامل غير المحدد

كيفية حل تكامل غير محدد؟ سننظر هنا إلى خصائص التكامل غير المحدد، والتي ستكون مفيدة عند حل الأمثلة.

مشتق التكامل يساوي التكامل:

يمكن إخراج الثابت من تحت علامة التكامل:

تكامل المجموع يساوي مجموع التكاملات. وهذا ينطبق أيضًا على الفرق:

خصائص التكامل المحدد

الخطية:

تتغير إشارة التكامل إذا بدلت حدود التكامل:

في أينقاط أ, بو مع:

لقد اكتشفنا بالفعل أن التكامل المحدد هو نهاية المجموع. ولكن كيف يمكن الحصول على قيمة محددة عند حل مثال؟ لهذا هناك صيغة نيوتن-لايبنتز:

أمثلة على حل التكاملات

أدناه سننظر في عدة أمثلة لإيجاد التكاملات غير المحددة. نقترح عليك معرفة تعقيدات الحل بنفسك، وإذا كان هناك شيء غير واضح، اطرح الأسئلة في التعليقات.

لتعزيز المادة، شاهد مقطع فيديو حول كيفية حل التكاملات عمليًا. لا تيأس إذا لم يتم إعطاء التكامل على الفور. اتصل بخدمة احترافية للطلاب، وسيكون أي تكامل ثلاثي أو منحني على سطح مغلق في حدود طاقتك.

التكامل المباشر

صيغ التكامل الأساسية

1. ج – ثابت	1*.
2. , ن ≠ –1
3. +ج
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

يسمى حساب التكاملات عن طريق الاستخدام المباشر لجدول التكاملات البسيطة والخصائص الأساسية للتكاملات غير المحددة التكامل المباشر.

مثال 1.

مثال 2.

مثال 3.

هذه هي الطريقة الأكثر شيوعًا لتكامل دالة معقدة، وتتكون من تحويل التكامل بالانتقال إلى متغير تكامل آخر.

إذا كان من الصعب اختزال التكامل إلى تكامل جدولي باستخدام التحويلات الأولية، ففي هذه الحالة يتم استخدام طريقة الاستبدال. جوهر هذه الطريقة هو أنه من خلال إدخال متغير جديد، من الممكن تحويل هذا التكامل إلى تكامل جديد، وهو أمر يسهل نسبيًا تناوله مباشرة.

للتكامل بطريقة الاستبدال، استخدم مخطط الحل:

2) العثور على الفرق من قطعتي الاستبدال؛

3) التعبير عن التكامل بالكامل من خلال متغير جديد (وبعد ذلك يجب الحصول على تكامل الجدول)؛

4) العثور على تكامل الجدول الناتج؛

5) إجراء استبدال عكسي.

أوجد التكاملات:

مثال 1 . الاستبدال:كوسكس = ر،-sinxdx=dt,

حل:

مثال 2.∫e -x3 x 2 dx الاستبدال:-x 3 =t، -3x 2 dx = dt، حل:∫e -x3 x 2 dx=∫e t (-1/3)dt=-1/3e t +C=-1/3e -x3 +C

مثال 3.الاستبدال: 1+sinx=t , cosxdx=dt ,

حل: .

القسم 1.5. التكامل المحدد وطرق حسابه.

البند 1 مفهوم التكامل المحدد

مهمة.أوجد زيادة الدالة المشتقة العكسية للدالة و (خ)، عند تمرير الحجة سمن القيمة أإلى قيمة ب.

حل. لنفترض أن التكامل قد وجد: ∫ (x)dx = F(x)+C.

ثم و(خ)+ج 1، أين ج1- أي رقم معين سيكون أحد دوال المشتقات العكسية لهذه الدالة و (خ). دعونا نجد الزيادة عندما تتحرك الوسيطة من القيمة أإلى قيمة ب. نحن نحصل:

x=b - x=a =F(b) +C 1 - F(a) -C 1 =F(b)-F(a)

كما نرى، في التعبير عن زيادة دالة المشتق العكسي و(خ)+ج 1لا قيمة ثابتة ج1. ومنذ تحت ج1إذا تم تضمين أي رقم معين، فإن النتيجة التي تم الحصول عليها تؤدي إلى الاستنتاج التالي: على انتقال الحجة س من القيمة س=أإلى قيمة س = بجميع الوظائف و(خ)+ج، المشتقات العكسية لوظيفة معينة و (خ)، لها نفس الزيادة التي تساوي و(ب)-و(أ).

عادة ما تسمى هذه الزيادة بالتكامل المحددويرمز له بالرمز: ويقرأ: تكامل أقبل بمن الدالة f(x) على dx أو باختصار، تكامل أقبل بمن f(x)dx.

رقم أمُسَمًّى الحد الأدنىالتكامل، العدد ب - قمة; الجزء أ ≥ س ≥ ب – شريحة التكامل.من المفترض أن الدالة integrand و (خ)المستمر لجميع القيم س، مستوفية الشروط: أ س ب

تعريف. زيادة وظائف المشتقات العكسية F(x)+Cعلى انتقال الحجة سمن القيمة س=أإلى قيمة س = ب، يساوي الفرق و(ب)-و(أ)، ويسمى تكاملا محددا ويشار إليه بالرمز: بحيث إذا ∫ (x)dx = F(x)+C، ثم = و(ب)-و(أ) -منح وتسمى المساواة صيغة نيوتن-لايبنتز.

البند 2 الخصائص الأساسية للتكامل المحدد

تمت صياغة جميع الخصائص على افتراض أن الوظائف قيد النظر قابلة للتكامل في الفترات الزمنية المقابلة.

البند 3 الحساب المباشر للتكامل المحدد

لحساب التكامل المحدد، عندما تتمكن من العثور على التكامل غير المحدد المقابل، استخدم صيغة نيوتن-لايبنتز

أولئك. التكامل المحدد يساوي الفرق بين قيم أي دالة مشتقة عكسية عند الحدين العلوي والسفلي للتكامل.

توضح هذه الصيغة الإجراء الخاص بحساب التكامل المحدد:

1) أوجد التكامل غير المحدد لهذه الدالة؛

2) في المشتق العكسي الناتج، استبدل أولاً الحد الأعلى ثم الحد الأدنى للتكامل بدلاً من الوسيطة؛

3) طرح نتيجة استبدال الحد الأدنى من نتيجة استبدال الحد الأعلى.

مثال 1:حساب التكامل:

مثال 2:حساب التكامل:

ص.4 حساب التكامل المحدد بطريقة الاستبدال

حساب التكامل المحدد بطريقة الاستبدال هو كما يلي:

1) استبدال جزء من التكامل بمتغير جديد؛

2) إيجاد حدود جديدة للتكامل المحدد.

3) العثور على الفرق من قطعتي الاستبدال؛

4) التعبير عن التكامل بالكامل من خلال متغير جديد (وبعد ذلك يجب الحصول على تكامل الجدول)؛ 5) حساب التكامل المحدد الناتج.

مثال 1:حساب التكامل:

الاستبدال: 1+كوسكس=ر،-sinxdx=dt,

القسم 1.6. المعنى الهندسي للتكامل المحدد.

مساحة شبه المنحرف المنحني:

من المعروف أن التكامل المحدد على القطعة يمثل مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع يحدها الرسم البياني للدالة f(x).

يمكن إيجاد مساحة الشكل المحدد بخطوط معينة باستخدام تكاملات معينة إذا كانت معادلات هذه الخطوط معروفة.

دع المقطع [أ؛ ب] يتم إعطاء دالة مستمرة y = ƒ(x) ≥ 0. دعونا نجد مساحة شبه المنحرف هذا.

مساحة الشكل التي يحدها المحور 0 س، خطين مستقيمين عموديين س = أ، س = بوالرسم البياني للدالة y = ƒ(x) (الشكل)، تحدده الصيغة:

هذا هو المعنى الهندسي للتكامل المحدد.

مثال 1: احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y=x2.+2, y=0, x= -2, x=1.

حل: دعونا نرسم رسمًا (لاحظ أن المعادلة y=0 تحدد محور الثور).

إجابة: س = 9 وحدات 2

مثال 2: احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y= - e x, x=1 ومحاور الإحداثيات.

الحل: لنقم بالرسم.
إذا كان شبه منحرف منحني تقع بالكامل تحت محور الثور، فيمكن إيجاد مساحتها باستخدام الصيغة:

في هذه الحالة:

انتباه! إذا طُلب منك إيجاد مساحة شكل ما باستخدام تكامل محدد، فستكون المساحة موجبة دائمًا! ولهذا السبب يظهر الطرح في الصيغة التي تمت مناقشتها للتو.

القسم 1.7. تطبيق التكامل المحدد

ص.١ حساب حجم الجسم الدوراني

إذا كان شبه منحرف منحني مجاورًا لمحور الثور، والخطوط المستقيمة y=a، y=b والرسم البياني للدالة ص= F(x) (الشكل 1)، يتم تحديد حجم جسم الدورة بواسطة صيغة تحتوي على تكامل.

حجم جسم الثورة يساوي:

مثال:

أوجد حجم الجسم المحدود بسطح دوران الخط حول محور الثور عند 0× ≥4.

حل:الخامس

الوحدات 3. رد: الوحدة 3

القسم 3.1. المعادلات التفاضلية العادية

البند 1 مفهوم المعادلة التفاضلية

تعريف. المعادلة التفاضليةهي معادلة تحتوي على دالة لمجموعة من المتغيرات ومشتقاتها.

الشكل العام لمثل هذه المعادلة هو =0، حيث F هي دالة معروفة لوسائطها، محددة في مجال ثابت؛ x - المتغير المستقل (المتغير الذي يتم من خلاله التمييز)، y - المتغير التابع (المتغير الذي تؤخذ منه المشتقات والذي سيتم تحديده)؛ - مشتق المتغير التابع y بالنسبة للمتغير المستقل x.

البند 2 المفاهيم الأساسية للمعادلة التفاضلية

مرتبتسمى المعادلة التفاضلية ترتيب المشتق الأعلى المتضمن فيها.

على سبيل المثال:

معادلة من الدرجة الثانية هي معادلة من الدرجة الأولى.

تسمى أي دالة تربط بين المتغيرات وتحول المعادلة التفاضلية إلى مساواة حقيقية قرارالمعادلة التفاضلية.

الحل العامالمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هي دالة وثابت تعسفي C يحول هذه المعادلة إلى هوية في .

ويسمى الحل العام المكتوب بالصيغة الضمنية =0 تكامل عام.

قرار خاصالمعادلة =0 هي الحل الذي تم الحصول عليه من الحل العام لقيمة ثابتة - رقم ثابت.

مشكلة إيجاد حل معين لمعادلة تفاضلية من الرتبة النونية (ن=1,2,3,...) محققة الشروط الأولية للصيغة

مُسَمًّى مشكلة كوشي.

البند 3 المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى ذات المتغيرات القابلة للفصل

تسمى المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى معادلة قابلة للفصل إذا كان من الممكن تمثيلها كما يمكن إعادة كتابتها. لو . دعونا نتكامل : .

لحل معادلة من هذا النوع تحتاج إلى:

1. متغيرات منفصلة.

2. من خلال تكامل المعادلة مع المتغيرات المنفصلة، أوجد الحل العام لهذه المعادلة؛

3. إيجاد حل معين يحقق الشروط الأولية (إذا كانت معطاة).

مثال 1.حل المعادلة. أوجد حلاً معينًا يحقق الشرط y=4 عند x=-2.

حل:هذه معادلة متغيرة منفصلة. بالتكامل نجد الحل العام للمعادلة: . للحصول على حل عام أبسط، نمثل الحد الثابت على الجانب الأيمن في النموذج C/2. لدينا أو هو الحل العام. باستبدال القيمتين y=4 وx=-2 في الحل العام، نحصل على 16=4+C، منها C=12.

إذن، الحل المحدد للمعادلة الذي يحقق هذا الشرط له الصورة

مثال 2.أوجد حلاً محددًا للمعادلة إذا .

حل:, , , , قرار مشترك .

نستبدل قيم x و y في الحل الخاص: , , الحل الخاص.

مثال 3.أوجد الحل العام للمعادلة . حل: ،،، - قرار مشترك.

البند 4: المعادلات التفاضلية ذات الرتبة الأعلى من الأولى

معادلة من الشكل أو يتم حلها بالتكامل المزدوج : , , من أين . بعد دمج هذه الوظيفة، نحصل على دالة جديدة لـ f(x)، والتي نرمز إليها بالرمز F(x). هكذا، ؛ . دعونا نتكامل مرة أخرى: أو y=Ф(x). لقد حصلنا على حل عام للمعادلة التي تحتوي على ثوابتين اعتباطيتين و .

مثال 1.حل المعادلة.

حل:, , ,

مثال 2.حل المعادلة . حل: ، ، .

القسم 3.2. سلسلة الأعداد وأعضائها

التعريف 1.سلسلة أرقاميسمى تعبير بالصيغة ++…++…, (1)

أين ، ، …، ، … - أرقام تنتمي إلى نظام أرقام محدد.

وهكذا يمكننا أن نتحدث عن المسلسل الحقيقي الذي من أجله ص،حول سلسلة معقدة التي ج، ط= 1, 2, …, ن، ... = =.

القسم 3.3. أساسيات نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي

4.1. طرق التكامل البسيطة 4.1.1. مفهوم التكامل غير المحدد

في حساب التفاضل، تم النظر في مشكلة إيجاد المشتق أو التفاضل فيما يتعلق بوظيفة معينة ذ= و(خ)،أي أنه كان من الضروري العثور عليها و (خ)= واو"(خ)أو مدافع (خ)= F"(x)دكس= و (خ) دكس.دعونا نطرح المشكلة العكسية: استعادة الدالة المتفاضلة، أي معرفة المشتقة و (خ)(أو التفاضلية و (خ) دكس)،العثور على مثل هذه الوظيفة و(خ)،ل واو"(خ)= و (خ).تبين أن هذه المهمة أصعب بكثير من مهمة التمايز. على سبيل المثال، لنفترض أن سرعة حركة نقطة ما معروفة، لكن علينا إيجاد القانون

تحركاتها س= شارع)،و لحل مثل هذا

يتم تقديم المهام والمفاهيم والإجراءات الجديدة.

تعريف.وظيفة قابلة للتفاضل و(خ)مُسَمًّى مشتق مضادللوظيفة و (خ)على (أ، ب)،لو واو"(خ)= و (خ)على (أ، ب).

على سبيل المثال، ل F(x) = x 2 مشتق عكسي لأن

ل F(خ) = كوس سسيكون المشتق العكسي F(x) = sin x، لأن F"(x) = (sin x)" = cos x، والذي يتزامن مع F(خ).

هل يوجد مشتق عكسي دائمًا لوظيفة معينة؟ و (خ)؟نعم، إذا كانت هذه الدالة متصلة على (أ،ب). بالإضافة إلى ذلك، هناك أعداد لا حصر لها من البدائيين، ولا تختلف عن بعضها البعض إلا بمقدار ثابت. حقا، الخطيئة س+ 2، خطيئة س- 2، الخطيئة س+ ج- كل هذه الدوال ستكون مشتقات عكسية لـ cos س(مشتق القيمة الثابتة هو 0) - الشكل. 4.1.

تعريف.تعبير و(خ)+ ج،أين مع- قيمة ثابتة عشوائية تحدد مجموعة المشتقات العكسية للدالة و (خ)،مُسَمًّى تكامل غير محددويشار إليه بالرمز ، أي. ، حيث العلامة هي علامة النكرة

أساسي، و (خ)- مُسَمًّى دالة التكامل، f (x) dx- بواسطة التكامل، x- متغير التكامل

أرز. 4.1.مثال على عائلة منحنيات متكاملة

تعريف.تسمى عملية إيجاد المشتق العكسي من مشتق أو تفاضل معين اندماجهذه الوظيفة.

التكامل هو الفعل العكسي للتمايز، ويمكن التحقق منه بالتفاضل، والتمايز فريد، والتكامل يعطي الإجابة إلى ثابت. إعطاء قيمة ثابتة معقيم محددة بواسطة-

نحصل على وظائف مختلفة

يحدد كل منها منحنى على المستوى الإحداثي يسمى أساسي.يتم إزاحة جميع الرسوم البيانية للمنحنيات المتكاملة بالتوازي مع بعضها البعض على طول المحور أوي.ولذلك، فإن التكامل غير المحدد هندسيًا هو مجموعة من منحنيات التكامل.

لذلك، تم تقديم مفاهيم جديدة (المشتقة العكسية والتكامل غير المحدد) وإجراء جديد (التكامل)، ولكن كيف لا تزال تجد المشتقة العكسية؟ للإجابة بسهولة على هذا السؤال، يجب عليك أولاً تجميع وحفظ جدول التكاملات غير المحددة للوظائف الأولية الأساسية. يتم الحصول عليها عن طريق قلب صيغ التمايز المقابلة. على سبيل المثال، إذا

عادةً ما يتضمن الجدول بعض التكاملات التي تم الحصول عليها بعد تطبيق أبسط طرق التكامل. تم وضع علامة على هذه الصيغ في الجدول. 4.1 بالرمز "*" ويتم إثباتها في العرض الإضافي للمادة.

الجدول 4.1.جدول التكاملات الأساسية غير المحددة

الصيغة 11 من الجدول. 4.1 قد يبدو
,

لأن. ملاحظة مماثلة حول النموذج

البغال 13:

4.1.2. خصائص التكاملات غير المحددة

دعونا نفكر في أبسط خصائص التكامل غير المحدد، والتي ستسمح لنا بدمج ليس فقط الوظائف الأولية الأساسية.

1. مشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل:

2. تفاضل التكامل غير المحدد يساوي التكامل:

3. التكامل غير المحدد لتفاضل دالة يساوي هذه الوظيفة المضافة إلى ثابت عشوائي:

مثال 1. مثال 2.

4. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل: مثال 3.

5. تكامل مجموع أو الفرق بين وظيفتين يساوي مجموع أو الفرق بين تكاملات هذه الوظائف:

مثال 4.

تظل صيغة التكامل صالحة إذا كان متغير التكامل دالة: if الذي - التي

دالة عشوائية لها مشتقة مستمرة. هذه الخاصية تسمى الثبات.

مثال 5. ، لهذا

مقارنة مع

لا توجد طريقة عالمية للتكامل. سنقدم أدناه بعض الطرق التي تسمح لك بحساب تكامل معين باستخدام الخصائص 1-5 والجدول. 4.1.

4.1.3. التكامل المباشر

تتكون هذه الطريقة من الاستخدام المباشر لتكاملات الجدول والخصائص 4 و5. أمثلة.

4.1.4. طريقة التحلل

تتكون هذه الطريقة من توسيع التكامل إلى مجموعة خطية من الوظائف ذات التكاملات المعروفة بالفعل.

أمثلة.

4.1.5. طريقة الاشتراك في العلامة التفاضلية

لتقليل هذا التكامل إلى تكامل جدولي، من المناسب إجراء تحويلات تفاضلية.

1. إدراج العلامة التفاضلية للدالة الخطية

من هنا
بخاصة، دي إكس = د(خ + ب)،

لا يتغير التفاضل إذا أضفت إلى المتغير

أو طرح قيمة ثابتة. إذا زاد المتغير عدة مرات، يتم ضرب التفاضل في قيمته المتبادلة. أمثلة مع الحلول.

دعونا نتحقق من الصيغ 9* و12* و14* من الجدول. 4.1 باستخدام طريقة الاشتراك في العلامة التفاضلية:

Q.E.D.

2. إدراج الوظائف الأساسية الأساسية تحت العلامة التفاضلية:

تعليق.يمكن التحقق من الصيغتين 15* و16* عن طريق التمايز (انظر الخاصية 1). على سبيل المثال،

وهذه هي الدالة التكاملية من الصيغة 16*.

4.1.6. طريقة فصل المربع الكامل عن ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية

عند دمج التعبيرات مثل أو

فصل مربع كامل عن ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية

الفأس 2+ bx+ جومن الممكن اختصارها إلى جداول 12* أو 14* أو 15* أو 16* (انظر الجدول 4.1).

وبما أن هذه العملية بشكل عام تبدو أكثر تعقيدا مما هي عليه في الواقع، فسوف نقتصر على الأمثلة.

أمثلة.

حل.هنا نستخرج المربع الكامل من ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية س 2 + 6س+ 9 = (س 2 + 6س+ 9) - 9 + 5 = (س+ 3) 2 - 4، ثم نستخدم طريقة جمع الإشارة التفاضلية.

باستخدام المنطق نفسه، يمكننا حساب التكاملات التالية:

2. 3.

في المرحلة النهائية من التكامل، تم استخدام الصيغة 16*.

4.1.7. طرق التكامل الأساسية

هناك طريقتان من هذا القبيل: طريقة تغيير المتغير، أو الاستبدال، والتكامل بالأجزاء.

طريقة الاستبدال المتغيرة

هناك صيغتان لتغيير متغير في تكامل غير محدد:

1) 2)

هنا، الجوهر هو وظائف رتيبة قابلة للتمييز

متغيراتها.

إن فن تطبيق الطريقة يتمثل بشكل رئيسي في اختيار الدوال بحيث تكون التكاملات الجديدة جدولية أو مختصرة إليها. يجب أن تعود الإجابة النهائية إلى المتغير القديم.

لاحظ أن الاستبدال تحت العلامة التفاضلية هو حالة خاصة لاستبدال المتغير.

أمثلة.