اثبات أن الدالة آخذة في التناقص. موضوع الدرس: "الوظائف المتزايدة والتناقصية"

يوجد حاليا تناقض بين حاجة طلاب المدارس الثانوية إلى إظهار الإبداع والنشاط والاستقلالية وتحقيق الذات وبين ضيق الوقت لذلك في دروس الرياضيات. منذ عام 2006، أستخدم الكتب المدرسية "الجبر 7، 8، 9" مع دراسة متعمقة للرياضيات من تأليف يو إن ماكاريشيف، إن جي مينديوك، كي آي نيشكوف للطلاب في فصول الرياضيات من أجل اتخاذ قرار مستنير من قبل الطلاب للملف التعليمي، مما يوفر للطلاب الفرصة للعمل على مستوى المتطلبات الرياضية المتزايدة، وتطوير دوافع التعلم لديهم.
كيف يمكن إشراك الطلاب في أنشطة بحثية مستقلة حتى "يكتشفوا" بأنفسهم خصائص وعلاقات جديدة ولا يتلقونها من المعلم في شكل جاهز؟ دفعتني سنوات عديدة من الخبرة العملية والرغبة في تغيير الأفكار التقليدية حول التدريس إلى استخدام الأنشطة البحثية في دروس الرياضيات. وبطبيعة الحال، فإن تغيير أسلوب العمل وبنية الدرس والاضطلاع بوظيفة منظم لعملية التعلم، وهي وظيفة تضمن الإدماج المنهجي لكل طالب، بغض النظر عن مستواه الفكري، في الأنشطة الأساسية، تطلب مني أن لديهم معرفة معينة واستعداد لتطوير الذات.
أعتقد أن مشاركة الطالب في الأنشطة تؤثر على عمق وقوة اكتسابه للمعرفة، وعلى تكوين نظام القيم لديه، أي التعليم الذاتي. إن قدرة الطلاب على التطوير الذاتي والتعليم الذاتي ستسمح لهم بالتكيف بنجاح مع الظروف الخارجية المتغيرة باستمرار دون الدخول في صراع مع المجتمع.

موضوع القسم:"خصائص الوظائف".

موضوع الدرس:"زيادة ونقصان الوظائف."

نوع الدرس:درس في دراسة المواد الجديدة وتطبيقها في البداية.

الأهداف الأساسية:

• تعزيز تكوين مفهوم جديد للوظيفة الرتيبة لدى الطلاب ؛
• تنمية موقف إيجابي تجاه المعرفة، والقدرة على العمل في أزواج؛
• لتعزيز تنمية التفكير التحليلي ومهارات النشاط المعرفي للبحث الجزئي.

خلال الفصول الدراسية

I. تحديث المعرفة المرجعية

– تحديد الوظيفة .
– ما هي الصيغة التي تحدد الوظائف التي تظهر رسومها البيانية في الرسم. (الملحق 2)

ثانيا. تكوين المعرفة الجديدة

• وظيفة و (خ)تسمى زيادة على المجموعة X إذا كانت لأي قيمتين للوسيطة X 1 و X 2 مجموعات X من هذا القبيل X 2 > X و(س 2 ) > و(س 1 ) .
• وظيفة (X)يسمى التناقص على المجموعة X إذا كان لأي قيمتين من الوسيطة X 1 و X 2 مجموعات X من هذا القبيل X 2 > X 1، عدم المساواة يحمل و(س 2 ) <و(س 1 ) .
• تسمى الوظيفة التي تزيد في المجموعة X أو تنقص في المجموعة X بالنغمة الرتيبة في المجموعة X.

دعونا نتعرف على طبيعة الرتابة لبعض أنواع الوظائف: (الملحق 4)
وظيفة و (خ)= - زيادة. دعونا نثبت ذلك.
التعبير منطقي فقط عندما X > 0. لذلك د (F)= . للوظيفة الفردية n و(س) = س نيزيد على كامل مجال التعريف، أي على مدى الفاصل الزمني (-؛ +). (الملحق 7)
التناسب العكسي، أي الوظيفة و (خ)= في كل من الفترات (- ; 0) و (0; + ) في ك> 0 النقصان، ومتى ك < 0 возрастает. (Приложение 8)

دعونا نفكر في بعض خصائص الوظائف الرتيبة (الملحق 9):

رابعا. تكوين المهارات العملية

فيما يلي أمثلة لاستخدام خصائص الوظائف الرتيبة:

دعونا نكتشف عدد نقاط الخط المستقيم في= 9 يتقاطع مع الرسم البياني للدالة و (خ) = + + .

حل:

المهام في= و у = و у = هي وظائف متزايدة (الخاصية 4). مجموع الدوال المتزايدة هو دالة متزايدة (الخاصية 3). والدالة المتزايدة تأخذ كل قيمة من قيمها لقيمة وسيطة واحدة فقط (الخاصية 1). لذلك، إذا كان الخط المستقيم y = 9 له نقاط مشتركة مع الرسم البياني للدالة و (خ)= + + ثم نقطة واحدة فقط.
عن طريق الاختيار يمكن للمرء أن يجد ذلك و (خ)= 9 في X= 3. إذن فهو مستقيم في= 9 يتقاطع مع الرسم البياني للدالة و (خ)= + + عند النقطة M(3; 9).

دعونا نحل المعادلة X 3 – + = 0.

حل:

من السهل رؤية ذلك X= 1 – جذر المعادلة. دعونا نبين أن هذه المعادلة ليس لها جذور أخرى. في الواقع، مجال تعريف الوظيفة ص = س 3 – + – مجموعة الأعداد الموجبة . في هذه المجموعة، تزداد الوظيفة، حيث أن كل وظيفة في = X 3 , في= - و في= الزيادات على الفاصل الزمني (0؛ +). ولذلك، فإن هذه المعادلة لها جذور أخرى غير X= 1، لا يملك.

زيادة ونقصان وظيفة

وظيفة ذ = F(س) يسمى زيادة على الفاصل الزمني [ أ, ب]، إذا كان لأي زوج من النقاط Xو X", أ ≥ x التفاوت قائم F(س) ≤ F (س")، وزيادة صارمة - إذا كان عدم المساواة F (س) F(س"). يتم تعريف الوظائف المتناقصة والمتناقصة بشكل صارم بالمثل. على سبيل المثال، الدالة في = X 2 (أرز. ، أ) يزيد بشكل صارم على الجزء و

(أرز. ، ب) يتناقص بشكل صارم على هذا الجزء. يتم تعيين وظائف متزايدة F (س)، ويتناقص F (س)↓. من أجل وظيفة قابلة للتمييز F (س) كان يتزايد على المقطع [ أ, ب]، فلا بد منه ويكفي أن مشتقته F"(س) كانت غير سلبية على [ أ, ب].

جنبا إلى جنب مع الزيادة والنقصان في الدالة على قطعة ما، فإننا نعتبر الزيادة والنقصان في الدالة عند نقطة ما. وظيفة في = F (س) يسمى زيادة عند هذه النقطة س 0 إذا كان هناك فاصل (α، β) يحتوي على النقطة س 0، والتي لأي نقطة Xمن (ألفا، بيتا)، س> س 0، يستمر عدم المساواة F (س 0) ≤ F (س)، ولأي نقطة Xمن (ألفا، بيتا)، × 0 ، فإن عدم المساواة لا يزال قائما F (س) ≥ و (س 0). يتم تعريف الزيادة الصارمة للدالة عند النقطة بالمثل س 0 . لو F"(س 0) > 0 ثم الدالة F(س) يزيد بشكل صارم عند هذه النقطة س 0 . لو F (س) يزيد عند كل نقطة من الفاصل الزمني ( أ, ب)، ثم يزداد خلال هذه الفترة.

إس بي ستيتشكين.

الموسوعة السوفيتية الكبرى. - م: الموسوعة السوفيتية. 1969-1978 .

انظر ما هي "الدوال المتزايدة والتناقصية" في القواميس الأخرى:

مفاهيم التحليل الرياضي. تسمى الدالة f(x) نسبة أعداد الفئات العمرية المختلفة للسكان التي تزيد في شريحة الهيكل العمري للسكان. يعتمد على معدلات المواليد والوفيات ومتوسط ​​العمر المتوقع للأشخاص ... القاموس الموسوعي الكبير

مفاهيم التحليل الرياضي. يقال إن الدالة f(x) تتزايد على القطعة إذا كان لأي زوج من النقطتين x1 وx2، a≥x1 ... القاموس الموسوعي

مفاهيم الرياضيات. تحليل. يتم استدعاء الدالة f(x). زيادة على المقطع [أ، ب]، إذا كان لأي زوج من النقاط x1 وx2، و<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)علم الطبيعة. القاموس الموسوعي

فرع من فروع الرياضيات يدرس مشتقات وتفاضلات الدوال وتطبيقاتها على دراسة الدوال. تصميم د. و. في نظام رياضي مستقل يرتبط بأسماء I. Newton و G. Leibniz (النصف الثاني من 17 ... الموسوعة السوفيتية الكبرى

فرع من فروع الرياضيات يدرس فيه مفهومي الاشتقاق والتفاضل وكيفية تطبيقهما على دراسة الدوال. تطوير د. و. ترتبط ارتباطًا وثيقًا بتطور حساب التفاضل والتكامل. محتواها أيضا لا ينفصل. معا يشكلون الأساس.... الموسوعة الرياضية

هذا المصطلح له معاني أخرى، انظر الوظيفة. تتم إعادة توجيه طلب "العرض" هنا؛ انظر أيضًا معاني أخرى... ويكيبيديا

أرسطو والمشائين- سؤال أرسطو حياة أرسطو ولد أرسطو سنة 384/383. قبل الميلاد ه. في ستاجيرا على الحدود مع مقدونيا. وكان أبوه المسمى نيقوماخوس طبيبًا في خدمة الملك المقدوني أمينتاس والد فيليب. جنبا إلى جنب مع عائلته، الشاب أرسطو... ... الفلسفة الغربية منذ نشأتها إلى يومنا هذا

- (QCD)، نظرية المجال الكمي للتفاعل القوي بين الكواركات والجلونات، مبنية على صورة الكم. الديناميكا الكهربائية (QED) على أساس تناظر مقياس "اللون". على عكس QED، فإن الفرميونات في QCD لها خصائص تكميلية. الدرجة الكمومية للحرية رقم،… … الموسوعة الفيزيائية

القلب (باللاتينية cor، وباليونانية Cardia) هو عضو ليفي عضلي مجوف يعمل كمضخة، ويضمن حركة الدم في الدورة الدموية. التشريح يقع القلب في المنصف الأمامي (Mediastinum) في التامور بين... ... الموسوعة الطبية

إن حياة النبات، مثل أي كائن حي آخر، عبارة عن مجموعة معقدة من العمليات المترابطة؛ وأهمها، كما هو معروف، هو تبادل المواد مع البيئة. البيئة هي المصدر الذي... ... الموسوعة البيولوجية

تعريف الدالة المتزايدة.

وظيفة ص = و (س)يزيد خلال الفترة الفاصلة X، إذا كان لأي و عدم المساواة يحمل. بمعنى آخر، القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أكبر للدالة.

تعريف الدالة التناقصية.

وظيفة ص = و (س)يتناقص على الفاصل الزمني X، إذا كان لأي و عدم المساواة يحمل . بمعنى آخر، القيمة الأكبر للوسيطة تقابل قيمة أصغر للدالة.

ملاحظة: إذا كانت الوظيفة محددة ومستمرة في نهايات الفاصل الزمني المتزايد أو المتناقص (أ؛ب)، ذلك حين س=أو س = ب، ثم تدخل هذه النقاط في فترة الزيادة أو النقصان. وهذا لا يتعارض مع تعريفات الدالة التزايدية والتناقصية على الفترة X.

على سبيل المثال، من خصائص الوظائف الأولية الأساسية نعرف ذلك ص = الخطيئةمحددة ومستمرة لجميع القيم الحقيقية للوسيطة. ومن ثم، فمن خلال الزيادة في دالة الجيب على الفترة، يمكننا التأكيد على أنها تزيد على الفترة.

النقاط القصوى، النقاط القصوى للدالة.

النقطة تسمى النقطة القصوىالمهام ص = و (س)، إذا للجميع سمن جوارها فإن التفاوت صحيح. يتم استدعاء قيمة الدالة عند النقطة القصوى الحد الأقصى للوظيفةو تدل .

النقطة تسمى نقطة الحد الأدنىالمهام ص = و (س)، إذا للجميع سمن جوارها فإن التفاوت صحيح. يتم استدعاء قيمة الدالة عند النقطة الدنيا وظيفة الحد الأدنىو تدل .

يُفهم حي النقطة على أنه الفاصل الزمني ، حيث يوجد رقم موجب صغير بما فيه الكفاية.

يتم استدعاء الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط النقاط القصوى، ويتم استدعاء قيم الدالة المقابلة للنقاط القصوى الحد الأقصى للوظيفة.

لا تخلط بين القيم القصوى للدالة والقيم الأكبر والأصغر للدالة.

في الشكل الأول، أكبر قيمة للدالة على القطعة يتم الوصول إلى أعلى نقطة وهي تساوي الحد الأقصى للدالة، وفي الشكل الثاني - يتم تحقيق أعلى قيمة للدالة عند النقطة س = ب، وهي ليست نقطة الحد الأقصى.

الشروط الكافية لزيادة ونقصان الوظائف.

بناءً على الشروط (العلامات) الكافية لزيادة أو نقصان الدالة، يتم العثور على فترات الزيادة والنقصان في الدالة.

فيما يلي صيغ علامات الدوال المتزايدة والتناقصية على فترة:

إذا كانت مشتقة الدالة ص = و (س)إيجابية لأي شخص سمن الفاصل X، ثم تزيد الدالة بمقدار X;

إذا كانت مشتقة الدالة ص = و (س)سلبي لأي شخص سمن الفاصل X، ثم تقل الدالة بمقدار X.

وبالتالي، لتحديد فترات الزيادة والنقصان للدالة، من الضروري:

لنفكر في مثال لإيجاد فترات الزيادة والنقصان في الدوال لشرح الخوارزمية.

مثال.

العثور على فترات زيادة وتناقص الدالة.

حل.

الخطوة الأولى هي العثور على تعريف الوظيفة. في مثالنا، يجب ألا يصل التعبير الموجود في المقام إلى الصفر، وبالتالي .

دعنا ننتقل إلى إيجاد مشتقة الدالة:

لتحديد فترات الزيادة والنقصان في دالة بناءً على معيار كافٍ، نحل المتباينات في مجال التعريف. دعونا نستخدم تعميم طريقة الفاصل الزمني. الجذر الحقيقي الوحيد للبسط هو س = 2، والمقام يذهب إلى الصفر عند س = 0. تقسم هذه النقاط مجال التعريف إلى فترات يحتفظ فيها مشتق الدالة بعلامته. دعونا نحدد هذه النقاط على خط الأعداد. نحن نشير تقليديًا بالإيجابيات والناقصات إلى الفترات التي يكون فيها المشتق موجبًا أو سالبًا. تُظهر الأسهم أدناه بشكل تخطيطي زيادة أو نقصان الوظيفة في الفاصل الزمني المقابل.

هكذا، و .

عند هذه النقطة س = 2الدالة محددة ومستمرة، لذا يجب إضافتها إلى كل من الفترات المتزايدة والتناقصية. عند هذه النقطة س = 0لم يتم تعريف الدالة، لذلك لا ندرج هذه النقطة في الفترات المطلوبة.

نقدم رسمًا بيانيًا للدالة لمقارنة النتائج التي تم الحصول عليها معها.

إجابة:

الدالة تزداد مع ، يتناقص على الفاصل الزمني (0;2] .

يتم توفير معلومات مهمة جدًا حول سلوك الوظيفة من خلال الفواصل الزمنية المتزايدة والتناقصية. يعد العثور عليها جزءًا من عملية فحص الوظيفة ورسم الرسم البياني. بالإضافة إلى ذلك، فإن النقاط القصوى التي يحدث عندها تغيير من الزيادة إلى التناقص أو من التناقص إلى الزيادة تحظى باهتمام خاص عند العثور على القيم الأكبر والأصغر للدالة في فترة زمنية معينة.

سنقدم في هذه المقالة التعريفات اللازمة، ونضع معيارًا كافيًا لزيادة أو نقصان دالة على فترة، والشروط الكافية لوجود الحد الأقصى، ونطبق هذه النظرية بأكملها على حل الأمثلة والمسائل.

التنقل في الصفحة.

زيادة وتناقص الدالة على فترة.

تعريف الدالة المتزايدة.

الدالة y=f(x) تزداد على الفاصل الزمني X إذا كان لأي و عدم المساواة يحمل. بمعنى آخر، القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أكبر للدالة.

تعريف الدالة التناقصية.

الدالة y=f(x) تتناقص على الفاصل الزمني X إذا كان لأي و عدم المساواة يحمل . بمعنى آخر، القيمة الأكبر للوسيطة تقابل قيمة أصغر للدالة.

ملاحظة: إذا كانت الدالة محددة ومستمرة في نهايات الفاصل الزمني المتزايد أو المتناقص (a;b)، أي عند x=a وx=b، فسيتم تضمين هذه النقاط في الفاصل الزمني المتزايد أو المتناقص. وهذا لا يتعارض مع تعريفات الدالة التزايدية والتناقصية على الفترة X.

على سبيل المثال، من خصائص الوظائف الأولية الأساسية نعلم أن y=sinx محددة ومستمرة لجميع القيم الحقيقية للوسيطة. ومن ثم، فمن خلال الزيادة في دالة الجيب على الفترة، يمكننا التأكيد على أنها تزيد على الفترة.

النقاط القصوى، النقاط القصوى للدالة.

النقطة تسمى النقطة القصوىالدالة y=f(x) إذا كانت المتراجحة صحيحة لجميع x في جوارها. يتم استدعاء قيمة الدالة عند النقطة القصوى الحد الأقصى للوظيفةو تدل .

النقطة تسمى نقطة الحد الأدنىالدالة y=f(x) إذا كانت المتراجحة صحيحة لجميع x في جوارها. يتم استدعاء قيمة الدالة عند النقطة الدنيا وظيفة الحد الأدنىو تدل .

يُفهم حي النقطة على أنه الفاصل الزمني ، حيث يوجد رقم موجب صغير بما فيه الكفاية.

يتم استدعاء الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط النقاط القصوى، ويتم استدعاء قيم الدالة المقابلة للنقاط القصوى الحد الأقصى للوظيفة.

لا تخلط بين القيم القصوى للدالة والقيم الأكبر والأصغر للدالة.

في الشكل الأول تتحقق أكبر قيمة للدالة على القطعة عند النقطة القصوى وتساوي أقصى قيمة للدالة، وفي الشكل الثاني تتحقق أكبر قيمة للدالة عند النقطة x=b ، وهي ليست النقطة القصوى.

الشروط الكافية لزيادة ونقصان الوظائف.

بناءً على الشروط (العلامات) الكافية لزيادة أو نقصان الدالة، يتم العثور على فترات الزيادة والنقصان في الدالة.

فيما يلي صيغ علامات الدوال المتزايدة والتناقصية على فترة:

• إذا كان مشتق الدالة y=f(x) موجبًا لأي x من الفاصل الزمني X، فإن الدالة تزيد بمقدار X؛
• إذا كانت مشتقة الدالة y=f(x) سالبة لأي x من الفاصل الزمني X، فإن الدالة تتناقص على X.

وبالتالي، لتحديد فترات الزيادة والنقصان للدالة، من الضروري:

لنفكر في مثال لإيجاد فترات الزيادة والنقصان في الدوال لشرح الخوارزمية.

مثال.

العثور على فترات زيادة وتناقص الدالة.

حل.

الخطوة الأولى هي إيجاد مجال تعريف الدالة. في مثالنا، يجب ألا يصل التعبير الموجود في المقام إلى الصفر، وبالتالي .

دعنا ننتقل إلى إيجاد مشتقة الدالة:

لتحديد فترات الزيادة والنقصان في دالة بناءً على معيار كافٍ، نحل المتباينات في مجال التعريف. دعونا نستخدم تعميم طريقة الفاصل الزمني. الجذر الحقيقي الوحيد للبسط هو x = 2، ويصل المقام إلى الصفر عند x=0. تقسم هذه النقاط مجال التعريف إلى فترات يحتفظ فيها مشتق الدالة بعلامته. دعونا نحدد هذه النقاط على خط الأعداد. نحن نشير تقليديًا بالإيجابيات والناقصات إلى الفترات التي يكون فيها المشتق موجبًا أو سالبًا. تُظهر الأسهم أدناه بشكل تخطيطي زيادة أو نقصان الوظيفة في الفاصل الزمني المقابل.

هكذا، و .

عند هذه النقطة الدالة x=2 محددة ومستمرة، لذا يجب إضافتها إلى كل من الفواصل الزمنية المتزايدة والتناقصية. عند النقطة x=0 لم يتم تعريف الدالة، لذلك لا نقوم بتضمين هذه النقطة في الفترات المطلوبة.

نقدم رسمًا بيانيًا للدالة لمقارنة النتائج التي تم الحصول عليها معها.

إجابة:

الدالة تزداد مع ، يتناقص على الفاصل الزمني (0؛2] .

الشروط الكافية للحد الأقصى للدالة.

للعثور على الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة، يمكنك استخدام أي من علامات الحد الأقصى الثلاثة، بالطبع، إذا كانت الدالة تستوفي شروطها. الأكثر شيوعًا وملاءمة هو الأول منهم.

الشرط الأول الكافي للأقصى.

دع الدالة y=f(x) تكون قابلة للتمييز في جوار النقطة ومستمرة عند النقطة نفسها.

بعبارة أخرى:

خوارزمية للعثور على النقاط القصوى بناءً على العلامة الأولى للحد الأقصى للدالة.

• نجد مجال تعريف الوظيفة.
• نجد مشتقة الدالة في مجال التعريف.
• نحدد أصفار البسط وأصفار مقام المشتق ونقاط مجال التعريف الذي لا يوجد فيه المشتق (تسمى جميع النقاط المدرجة نقاط الحد الأقصى الممكنة، بالمرور عبر هذه النقاط، يمكن للمشتق أن يغير علامته).
• تقسم هذه النقاط مجال تعريف الدالة إلى فترات يحتفظ فيها المشتق بإشارته. نحدد علامات المشتقة في كل فترة من الفترات (على سبيل المثال، عن طريق حساب قيمة مشتقة دالة عند أي نقطة في فترة معينة).
• نختار النقاط التي تكون فيها الوظيفة مستمرة، ومن خلالها يتم تسجيل التغييرات المشتقة - هذه هي النقاط القصوى.

هناك كلمات كثيرة جدًا، دعونا نلقي نظرة أفضل على بعض الأمثلة لإيجاد النقاط القصوى والنقاط القصوى للدالة باستخدام الشرط الكافي الأول للدالة.

مثال.

أوجد الحد الأقصى للدالة.

حل.

مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء x=2.

إيجاد المشتقة:

أصفار البسط هي النقطتان x=-1 وx=5، ويصل المقام إلى الصفر عند x=2. ضع علامة على هذه النقاط على محور الأعداد

نحدد علامات المشتقة عند كل فترة؛ للقيام بذلك، نحسب قيمة المشتقة عند أي نقطة من نقاط كل فترة، على سبيل المثال، عند النقاط x=-2، x=0، x=3 و س=6.

لذلك، يكون المشتق موجبًا على الفترة (في الشكل نضع علامة زائد على هذه الفترة). على نفس المنوال

ولذلك، نضع ناقصًا فوق الفترة الثانية، وناقصًا فوق الفترة الثالثة، وموجبًا فوق الفترة الرابعة.

يبقى تحديد النقاط التي تكون فيها الوظيفة مستمرة وتوقع تغييرات مشتقاتها. هذه هي النقاط القصوى.

عند هذه النقطة x=-1 الدالة مستمرة وإشارة التغييرات المشتقة من موجب إلى ناقص، وبالتالي، وفقًا للعلامة الأولى للأقصى، x=-1 هي النقطة القصوى، والحد الأقصى للدالة يتوافق معها .

عند هذه النقطة x=5 الدالة مستمرة وعلامة التغييرات المشتقة من ناقص إلى زائد، وبالتالي فإن x=-1 هي النقطة الدنيا، والحد الأدنى للدالة يتوافق معها .

الرسم التوضيحي.

إجابة:

يرجى ملاحظة: المعيار الكافي الأول للحدود القصوى لا يتطلب تمييز الوظيفة عند النقطة نفسها.

مثال.

أوجد النقاط القصوى والنقاط القصوى للدالة .

حل.

مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية. يمكن كتابة الوظيفة نفسها على النحو التالي:

لنجد مشتقة الدالة:

عند هذه النقطة x=0 المشتق غير موجود، لأن قيم الحدود أحادية الجانب لا تتطابق عندما يميل الوسيط إلى الصفر:

وفي الوقت نفسه، تكون الدالة الأصلية مستمرة عند النقطة x=0 (راجع القسم الخاص بدراسة الدالة للاستمرارية):

لنجد قيمة الوسيطة التي يصبح عندها المشتق صفرًا:

لنضع علامة على جميع النقاط التي تم الحصول عليها على خط الأعداد ونحدد إشارة المشتقة في كل فترة من الفترات. للقيام بذلك، نحسب قيم المشتق عند نقاط عشوائية من كل فترة، على سبيل المثال، عند س=-6، س=-4، س=-1، س=1، س=4، س=6.

إنه،

وبالتالي، وفقا للعلامة الأولى للأقصى، فإن النقاط الدنيا هي ، الحد الأقصى للنقاط هو .

نحسب الحد الأدنى المقابل للوظيفة

نحسب الحد الأقصى المقابل للدالة

الرسم التوضيحي.

إجابة:

.

العلامة الثانية لأقصى دالة.

كما ترون، فإن علامة الحد الأقصى للدالة تتطلب وجود مشتق على الأقل إلى الدرجة الثانية عند النقطة.