الحدود في الرياضيات للدمى: الشرح والنظرية وأمثلة الحلول. الحد الثاني الملحوظ Lim x يميل إلى مثالين

عادة ما يتم كتابة الحد الملحوظ الثاني بهذا الشكل:

\begin(المعادلة) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(المعادلة)

الرقم $e$ المشار إليه على الجانب الأيمن من المساواة (1) غير منطقي. القيمة التقريبية لهذا الرقم هي: $e\approx(2(,)718281828459045)$. إذا قمنا بالاستبدال $t=\frac(1)(x)$، فيمكن إعادة كتابة الصيغة (1) على النحو التالي:

\begin(المعادلة) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(المعادلة)

أما الحد الملحوظ الأول فلا يهم أي تعبير يحل محل المتغير $x$ في الصيغة (1) أو بدلا من المتغير $t$ في الصيغة (2). الشيء الرئيسي هو استيفاء شرطين:

1. قاعدة الدرجة (أي التعبير بين قوسين من الصيغ (1) و (2)) يجب أن تميل إلى الوحدة؛
2. يجب أن يميل الأس (أي $x$ في الصيغة (1) أو $\frac(1)(t)$ في الصيغة (2)) إلى ما لا نهاية.

ويقال إن الحد الملحوظ الثاني يكشف عن عدم اليقين البالغ $1^\infty$. يرجى ملاحظة أننا في الصيغة (1) لا نحدد اللانهاية ($+\infty$ أو $-\infty$) التي نتحدث عنها. في أي من هذه الحالات، الصيغة (1) صحيحة. في الصيغة (2)، يمكن أن يميل المتغير $t$ إلى الصفر على اليسار وعلى اليمين.

وألاحظ أن هناك أيضًا العديد من النتائج المفيدة من الحد الثاني الملحوظ. تحظى أمثلة استخدام الحد الملحوظ الثاني، بالإضافة إلى عواقبه، بشعبية كبيرة بين جامعي الحسابات والاختبارات القياسية القياسية.

المثال رقم 1

احسب الحد $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.

دعونا نلاحظ على الفور أن قاعدة الدرجة (أي $\frac(3x+1)(3x-5)$) تميل إلى الوحدة:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

في هذه الحالة، الأس (التعبير $4x+7$) يميل إلى ما لا نهاية، أي. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

قاعدة الدرجة تميل إلى الوحدة، والأس يميل إلى ما لا نهاية، أي. نحن نتعامل مع عدم اليقين $1^\infty$. دعونا نطبق صيغة للكشف عن عدم اليقين هذا. في قاعدة قوة الصيغة يوجد التعبير $1+\frac(1)(x)$، وفي المثال الذي ندرسه، قاعدة القوة هي: $\frac(3x+1)(3x- 5)$. لذلك، سيكون الإجراء الأول هو التعديل الرسمي للتعبير $\frac(3x+1)(3x-5)$ إلى النموذج $1+\frac(1)(x)$. أولاً، قم بإضافة وطرح واحد:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

يرجى ملاحظة أنه لا يمكنك ببساطة إضافة وحدة. إذا اضطررنا إلى إضافة واحد، فعلينا أيضًا طرحه حتى لا نغير قيمة التعبير بأكمله. لمواصلة الحل نأخذ ذلك بعين الاعتبار

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1-) 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

بما أن $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$، إذن:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ اليسار (1+\فارك(6)(3x-5)\يمين)^(4x+7) $$

دعونا نواصل التعديل. في التعبير $1+\frac(1)(x)$ الخاص بالصيغة، بسط الكسر هو 1، وفي التعبير $1+\frac(6)(3x-5)$ البسط هو $6$. للحصول على $1$ في البسط، قم بإسقاط $6$ في المقام باستخدام التحويل التالي:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

هكذا،

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\يمين)^(4x+7) $$

إذن أساس الدرجة أي. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$، تم تعديله إلى النموذج $1+\frac(1)(x)$ المطلوب في الصيغة. الآن لنبدأ العمل مع الأس. لاحظ أن التعبيرات الموجودة في الأسس والمقام في الصيغة هي نفسها:

وهذا يعني أنه في مثالنا، يجب جعل الأس والمقام بنفس الصورة. للحصول على التعبير $\frac(3x-5)(6)$ في الأس، نقوم ببساطة بضرب الأس في هذا الكسر. بطبيعة الحال، للتعويض عن مثل هذا الضرب، سيتعين عليك الضرب على الفور بالكسر المتبادل، أي. بواسطة $\frac(6)(3x-5)$. لذلك لدينا:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5) )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ فارك (3x-5)(6))\يمين)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

دعونا نفكر بشكل منفصل في نهاية الكسر $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ الموجود في القوة:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ فارك(4)(3) =8. $$

إجابة: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

المثال رقم 4

أوجد النهاية $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.

بما أن $x>0$ لدينا $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$، إذن:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ يسار(\frac(x+1)(x)\يمين)\يمين) $$

بتوسيع الكسر $\frac(x+1)(x)$ إلى مجموع الكسور $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ نحصل على:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\يمين)^x\يمين) =\ln(e) =1. $$

إجابة: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

المثال رقم 5

أوجد النهاية $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

بما أن $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ و $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$، فإننا نتعامل مع عدم اليقين من النموذج $1^\infty$. وترد تفسيرات مفصلة في المثال رقم 2، ولكن هنا سوف نقتصر على أنفسنا حل قصير. بإجراء الاستبدال $t=x-2$، نحصل على:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(محاذاة)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(محاذاة)\right| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

يمكنك حل هذا المثال بطريقة مختلفة باستخدام الاستبدال: $t=\frac(1)(x-2)$. وبطبيعة الحال، سيكون الجواب هو نفسه:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(محاذاة)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(محاذاة)\right| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\يمين)^(\frac(t)(3))\يمين)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

إجابة: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

المثال رقم 6

أوجد النهاية $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.

دعنا نتعرف على ما يميل إليه التعبير $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ في ظل الشرط $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2) -0)=1. $$

وبالتالي، فإننا في نهاية معينة نتعامل مع حالة عدم يقين على الشكل $1^\infty$، والتي سنكشف عنها باستخدام النهاية الملحوظة الثانية:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to) \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\يمين)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\يمين)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\يمين)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

إجابة: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

الحدود تسبب الكثير من المتاعب لجميع طلاب الرياضيات. لحل حد ما، يتعين عليك أحيانًا استخدام الكثير من الحيل والاختيار من بين مجموعة متنوعة من طرق الحل، وهو ما يناسب مثالًا معينًا.

في هذا المقال لن نساعدك على فهم حدود قدراتك أو فهم حدود التحكم، ولكننا سنحاول الإجابة على السؤال: كيف نفهم الحدود في الرياضيات العليا؟ الفهم يأتي مع الخبرة، لذلك في نفس الوقت سنقدم القليل منها أمثلة مفصلةحلول النهايات مع الشرح

مفهوم الحد في الرياضيات

السؤال الأول هو: ما هذا الحد وحدود ماذا؟ يمكننا التحدث عن حدود التسلسلات والوظائف العددية. نحن مهتمون بمفهوم نهاية الدالة، لأن هذا هو ما يواجهه الطلاب في أغلب الأحيان. لكن أولاً، التعريف الأكثر عمومية للحد:

لنفترض أن هناك بعض القيمة المتغيرة. إذا كانت هذه القيمة في عملية التغيير تقترب بشكل غير محدود من رقم معين أ ، الذي - التي أ – حد هذه القيمة.

لوظيفة محددة في فترة زمنية معينة و(س)=ص ويسمى هذا الرقم الحد أ ، والتي تميل إليها الوظيفة متى X ، تميل إلى نقطة معينة أ . نقطة أ ينتمي إلى الفاصل الزمني الذي تم تعريف الوظيفة عليه.

يبدو الأمر مرهقًا، لكنه مكتوب بكل بساطة:

ليم- من اللغة الإنجليزية حد- حد.

هناك أيضًا تفسير هندسي لتحديد الحد، لكننا هنا لن نخوض في النظرية، لأننا نهتم بالجانب العملي أكثر من الجانب النظري للمسألة. عندما نقول ذلك X يميل إلى قيمة ما، وهذا يعني أن المتغير لا يأخذ قيمة رقم، بل يقترب منه إلى ما لا نهاية.

دعونا نعطي مثالا محددا. المهمة هي العثور على الحد.

لحل هذا المثال، نعوض بالقيمة س = 3 في وظيفة. نحصل على:

بالمناسبة، إذا كنت مهتما بالعمليات الأساسية على المصفوفات، فاقرأ مقالة منفصلة حول هذا الموضوع.

في الأمثلة X يمكن أن تميل إلى أي قيمة. يمكن أن يكون أي رقم أو ما لا نهاية. هنا مثال عندما X يميل إلى اللانهاية:

بشكل بديهي، كلما زاد الرقم الموجود في المقام، كلما كانت القيمة التي ستأخذها الدالة أصغر. لذلك، مع نمو غير محدود X معنى 1/س سوف تنخفض وتقترب من الصفر.

كما ترون، لحل النهاية، تحتاج فقط إلى استبدال القيمة التي تسعى للحصول عليها في الدالة X . ومع ذلك، هذه هي أبسط حالة. في كثير من الأحيان العثور على الحد ليس واضحا جدا. داخل الحدود هناك شكوك من هذا النوع 0/0 أو اللانهاية/اللانهاية . ماذا تفعل في مثل هذه الحالات؟ اللجوء إلى الحيل!

عدم اليقين في الداخل

عدم اليقين من شكل اللانهاية / اللانهاية

وليكن هناك حد:

إذا حاولنا التعويض بما لا نهاية في الدالة، فسنحصل على ما لا نهاية في كل من البسط والمقام. بشكل عام، تجدر الإشارة إلى أن هناك عنصرًا معينًا من الفن في حل مثل هذه الشكوك: عليك أن تلاحظ كيف يمكنك تحويل دالة بحيث تختفي حالة عدم اليقين. في حالتنا، نقسم البسط والمقام على X في الدرجة العليا. ماذا سيحدث؟

من المثال الذي تمت مناقشته أعلاه، نعلم أن الحدود التي تحتوي على x في المقام ستميل إلى الصفر. ثم الحل للحد هو:

لحل الشكوك النوعية اللانهاية/اللانهايةقسمة البسط والمقام على Xإلى أعلى درجة.

بالمناسبة! لقرائنا هناك الآن خصم 10٪ على أي نوع من العمل

نوع آخر من عدم اليقين: 0/0

كما هو الحال دائمًا، استبدال القيم في الدالة س=-1 يعطي 0 في البسط والمقام. انظر عن كثب وستلاحظ ذلك في البسط معادلة تربيعية. دعونا نجد الجذور ونكتب:

دعونا نقلل ونحصل على:

لذلك، إذا كنت تواجه عدم اليقين النوع 0/0 - عامل البسط والمقام.

ولتسهيل عليك حل الأمثلة، نقدم جدولا بحدود بعض الدوال:

حكم L'Hopital في الداخل

طريقة أخرى قوية للقضاء على كلا النوعين من عدم اليقين. ما هو جوهر الطريقة؟

إذا كان هناك عدم يقين في النهاية، خذ مشتقة البسط والمقام حتى يختفي عدم اليقين.

تبدو قاعدة L'Hopital كما يلي:

نقطة مهمة : النهاية التي يجب أن تكون فيها مشتقات البسط والمقام بدلا من البسط والمقام موجودة.

والآن - مثال حقيقي:

هناك حالة من عدم اليقين النموذجي 0/0 . لنأخذ مشتقات البسط والمقام:

Voila، يتم حل حالة عدم اليقين بسرعة وبشكل أنيق.

نأمل أن تتمكن من تطبيق هذه المعلومات بشكل مفيد في الممارسة العملية والعثور على إجابة السؤال "كيفية حل الحدود في الرياضيات العليا". إذا كنت بحاجة إلى حساب حد التسلسل أو حد الدالة عند نقطة ما، ولا يوجد وقت على الإطلاق لهذا العمل، فاتصل بخدمة الطلاب المحترفين للحصول على حل سريع ومفصل.

حل حدود الوظائف عبر الإنترنت. أوجد القيمة الحدية لدالة أو تسلسل وظيفي عند نقطة ما، واحسبها ذروةقيمة الدالة عند اللانهاية تحديد تقارب سلسلة الأرقام وأكثر من ذلك بكثير يمكن القيام به بفضل خدمتنا عبر الإنترنت -. نحن نسمح لك بالعثور على حدود الوظائف عبر الإنترنت بسرعة وبدقة. أنت تقوم بنفسك بإدخال متغير الدالة والحد الذي يميل إليه، وتقوم خدمتنا بإجراء جميع الحسابات لك، مما يعطي إجابة دقيقة وبسيطة. ومن أجل العثور على الحد على الانترنتيمكنك إدخال مثل سلسلة أرقاموالدوال التحليلية التي تحتوي على ثوابت في التعبير الحرفي. في هذه الحالة، سيحتوي الحد الذي تم العثور عليه للدالة على هذه الثوابت كوسائط ثابتة في التعبير. خدمتنا تحل أي مشاكل معقدة في البحث حدود على الانترنت، يكفي الإشارة إلى الوظيفة والنقطة التي يجب حسابها عندها قيمة الحد من الوظيفة. حساب حدود الانترنت، يمكنك استخدام طرق وقواعد مختلفة لحلها، أثناء التحقق من النتيجة التي تم الحصول عليها حل الحدود على الانترنتعلى الموقع www.site، الأمر الذي سيؤدي إلى إكمال المهمة بنجاح - سوف تتجنب أخطائك وأخطاءك الكتابية. أو يمكنك أن تثق بنا تمامًا وتستخدم نتيجتنا في عملك، دون بذل المزيد من الجهد والوقت في حساب حد الدالة بشكل مستقل. نحن نسمح بإدخال القيم الحدية مثل اللانهاية. من الضروري إدخال عضو مشترك في تسلسل رقمي و www.siteسوف يحسب القيمة الحد على الانترنتإلى زائد أو ناقص اللانهاية.

أحد المفاهيم الأساسية للتحليل الرياضي هو حد الوظيفةو حد التسلسلعند نقطة ما وعند اللانهاية، من المهم أن تكون قادرًا على الحل بشكل صحيح حدود. مع خدمتنا لن يكون هذا صعبا. يتم اتخاذ القرار حدود على الانترنتوفي غضون ثوان قليلة، تكون الإجابة دقيقة وكاملة. تبدأ دراسة التحليل الرياضي ب الانتقال إلى الحد, حدودتُستخدم في جميع مجالات الرياضيات العليا تقريبًا، لذلك من المفيد أن يكون لديك خادم في متناول اليد حلول الحد على الانترنت، وهو matematikam.ru.

بالنسبة لأولئك الذين يريدون تعلم كيفية العثور على الحدود، في هذه المقالة سنتحدث عن هذا. لن نتعمق في النظرية التي يقدمها المعلمون عادةً في المحاضرات. لذلك ينبغي تدوين "النظرية المملة" في دفاتر ملاحظاتكم. إذا لم يكن الأمر كذلك، فيمكنك قراءة الكتب المدرسية المستعارة من المكتبة. مؤسسة تعليميةأو على موارد الإنترنت الأخرى.

لذا، فإن مفهوم الحد مهم جدًا في دراسة دورة الرياضيات العليا، خاصة عندما تصادف حساب التفاضل والتكامل وتفهم العلاقة بين الحد والتكامل. في المادة الحالية سننظر أمثلة بسيطة، وكذلك طرق حلها.

أمثلة على الحلول

مثال 1

احسب أ) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

حل

أ) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ ب)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ غالبًا ما يرسل لنا الأشخاص هذه الحدود مع طلب المساعدة في حلها. قررنا تسليط الضوء عليها كمثال منفصل وشرح أن هذه الحدود تحتاج فقط إلى تذكرها، كقاعدة عامة. إذا لم تتمكن من حل مشكلتك، أرسلها إلينا. وسوف نقدم حلا مفصلا. سوف تكون قادرا على عرض التقدم المحرز في الحساب والحصول على المعلومات. سيساعدك هذا في الحصول على درجتك من معلمك في الوقت المناسب!

إجابة

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1) )(س) = 0 $$

ما يجب فعله مع عدم اليقين في النموذج: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

مثال 3

حل $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

حل

كما هو الحال دائمًا، نبدأ باستبدال القيمة $ x $ في التعبير الموجود أسفل علامة الحد. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ ما هي الخطوة التالية الآن؟ ماذا يجب أن يحدث في النهاية؟ وبما أن هذا أمر غير مؤكد، فهذه ليست إجابة بعد ونواصل الحساب. بما أن لدينا كثيرة الحدود في البسط، فسنقوم بتحليلها باستخدام الصيغة المألوفة لدى جميع طلاب المدرسة $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. هل تذكر؟ عظيم! الآن تفضل واستخدمه مع الأغنية :) نجد أن البسط $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ نواصل الحل مع مراعاة التحول أعلاه: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(س+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

إجابة

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

دعونا ندفع الحد في المثالين الأخيرين إلى ما لا نهاية ونأخذ في الاعتبار حالة عدم اليقين: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

مثال 5

احسب $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

حل

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ ما يجب القيام به؟ ماذا علي أن أفعل؟ لا داعي للذعر، لأن المستحيل ممكن. من الضروري إخراج x من البسط والمقام، ثم تقليله. بعد ذلك، حاول حساب الحد. دعونا نحاول... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ باستخدام التعريف من المثال 2 واستبدال اللانهاية بـ x، نحصل على: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

إجابة

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

خوارزمية لحساب الحدود

لذا، دعونا نلخص الأمثلة بإيجاز وننشئ خوارزمية لحل النهايات:

1. استبدل النقطة x في التعبير الذي يلي علامة النهاية. إذا تم الحصول على عدد معين أو ما لا نهاية، فسيتم حل الحد بالكامل. بخلاف ذلك، لدينا عدم اليقين: "صفر مقسوم على صفر" أو "ما لا نهاية مقسومًا على ما لا نهاية" وننتقل إلى الخطوات التالية من التعليمات.
2. للتخلص من عدم اليقين بشأن "صفر مقسوم على صفر"، تحتاج إلى تحليل البسط والمقام. تقليل مماثلة. استبدل النقطة x في التعبير الموجود أسفل علامة الحد.
3. إذا كانت حالة عدم اليقين هي "اللانهاية مقسومة على اللانهاية"، فإننا نحذف كلاً من البسط والمقام x إلى أقصى درجة. نقوم بتقصير علامات X. نستبدل قيم x من تحت الحد في التعبير المتبقي.

في هذه المقالة، تعلمت أساسيات حل النهايات، والتي غالبًا ما تستخدم في دورة حساب التفاضل والتكامل. بالطبع، هذه ليست جميع أنواع المشكلات التي يقدمها الممتحنون، ولكنها فقط أبسط الحدود. سنتحدث عن أنواع أخرى من المهام في المقالات القادمة، ولكن عليك أولاً أن تتعلم هذا الدرس من أجل المضي قدمًا. دعونا نناقش ما يجب فعله إذا كانت هناك جذور، ودرجات، ودراسة الدوال المكافئة المتناهية الصغر، والحدود الملحوظة، وقاعدة لوبيتال.

إذا لم تتمكن من معرفة الحدود بنفسك، فلا داعي للذعر. نحن دائما سعداء للمساعدة!

ما هو الحد؟ مفهوم الحد

الجميع، دون استثناء، في مكان ما في أعماق أرواحهم يفهمون ما هو الحد، ولكن بمجرد سماع "حد الوظيفة" أو "حد التسلسل"، ينشأ ارتباك طفيف.

لا تخف، إنه مجرد جهل! بعد 3 دقائق من قراءة ما يلي، سوف تصبح أكثر معرفة بالقراءة والكتابة.

من المهم أن نفهم مرة واحدة وإلى الأبد ما يقصدونه عندما يتحدثون عن بعض المواقف والمعاني والمواقف المقيدة، وبشكل عام، عندما يلجأون إلى مصطلح الحد في الحياة.

يفهم الكبار هذا بشكل حدسي، وسوف نقوم بتحليله باستخدام عدة أمثلة.

مثال واحد

ولنتذكر سطور أغنية فرقة “شايف”: “... لا تشيلها إلى الحد، لا تشيلها إلى الحد…”.

المثال الثاني

من المؤكد أنك سمعت عبارة عن الوضع المستقر للغاية لجسم ما في الفضاء.

يمكنك أنت بنفسك محاكاة مثل هذا الموقف بسهولة باستخدام الأشياء الموجودة في متناول يدك.

على سبيل المثال، قم بإمالة زجاجة بلاستيكية قليلاً ثم حرّرها. وسوف يعود إلى القاع.

ولكن هناك مواقف مائلة متطرفة سوف تقع بعدها ببساطة.

مرة أخرى، الموضع المحدود في هذه الحالة هو شيء محدد. من المهم أن نفهم هذا.

هناك العديد من الأمثلة على استخدام مصطلح الحد: حد القدرات البشرية، حد قوة المادة، وما إلى ذلك.

حسنًا ، نحن نتعامل مع الفوضى كل يوم)))

لكننا الآن مهتمون بنهاية المتتابعة ونهاية الدالة في الرياضيات.

حدود التسلسل الرقمي في الرياضيات

الحد (للتسلسل العددي) هو أحد المفاهيم الأساسية للتحليل الرياضي. إن مئات ومئات النظريات التي تحدد العلم الحديث مبنية على مفهوم العبور إلى الحد الأقصى.

مجرد مثال ملموس للوضوح.

لنفترض أن هناك تسلسلاً لا نهائيًا من الأرقام، كل منها نصف حجم الرقم السابق، بدءًا من واحد: 1، ½، ¼، ...

لذا فإن حد التسلسل الرقمي (إذا كان موجودًا) هو قيمة محددة.

في عملية النصف، كل قيمة لاحقة في التسلسل تقترب إلى أجل غير مسمى من رقم معين.

من السهل تخمين أنه سيكون صفراً.

مهم!

عندما نتحدث عن وجود حد (قيمة حدية)، فهذا لا يعني أن بعض أعضاء المتتابعة سيكون مساوياً لهذه القيمة الحدية. لا يمكنه إلا أن يسعى من أجل ذلك.

ومن مثالنا هذا أكثر من واضح. بغض النظر عن عدد المرات التي قسمنا فيها واحدًا على اثنين، فلن نحصل على صفر أبدًا. سيكون هناك رقم أصغر من الرقم السابق بمرتين فقط، لكن ليس صفرًا!

حدود الدالة في الرياضيات

في التحليل الرياضي، الشيء الأكثر أهمية هو مفهوم نهاية الدالة.

دون الخوض في النظرية، دعنا نقول ما يلي: القيمة الحدية للدالة قد لا تنتمي دائمًا إلى نطاق قيم الوظيفة نفسها.

عندما تتغير الوسيطة، ستسعى الدالة إلى الحصول على بعض القيمة، لكنها قد لا تأخذها أبدًا.

على سبيل المثال، المبالغة 1/سليس له قيمة الصفر في أي نقطة، ولكنه يميل إلى الصفر بلا حدود كما يميل سإلى ما لا نهاية.

حاسبة الحد

هدفنا ليس أن نقدم لك بعض المعرفة النظرية، فهناك الكثير من الكتب الذكية والسميكة لهذا الغرض.

لكننا نقترح عليك استخدام آلة حاسبة على الانترنتالحدود التي يمكنك من خلالها مقارنة الحل الخاص بك بالإجابة الصحيحة.

بالإضافة إلى ذلك، توفر الآلة الحاسبة حلاً خطوة بخطوة للحدود، وغالبًا ما يتم تطبيق قاعدة L'Hopital باستخدام اشتقاق البسط والمقام لدالة متصلة عند نقطة أو على مقطع معين.