الشروط اللازمة لتوازن النظام الميكانيكي. علم الإحصاء

التوازن الميكانيكي

التوازن الميكانيكي- حالة من النظام الميكانيكي يكون فيها مجموع كل القوى المؤثرة على كل جسيم من جزيئاته يساوي صفرًا ومجموع لحظات كل القوى المطبقة على الجسم بالنسبة إلى أي محور دوران اعتباطي هو أيضًا صفر.

في حالة التوازن، يكون الجسم في حالة سكون (متجه السرعة صفر) في الإطار المرجعي المختار، إما يتحرك بشكل منتظم في خط مستقيم أو يدور دون تسارع عرضي.

التعريف من خلال طاقة النظام

وبما أن الطاقة والقوى ترتبطان بعلاقات أساسية، فإن هذا التعريف يعادل الأول. ومع ذلك، يمكن توسيع التعريف من حيث الطاقة لتوفير معلومات حول استقرار موقف التوازن.

أنواع التوازن

لنعطي مثالاً لنظام يتمتع بدرجة واحدة من الحرية. وفي هذه الحالة، فإن الشرط الكافي لوضع التوازن هو وجود حد أقصى محلي عند النقطة قيد الدراسة. وكما هو معروف، فإن شرط الحد الأقصى المحلي للدالة القابلة للتفاضل هو أن تكون مشتقتها الأولى تساوي صفرًا. لتحديد متى تكون هذه النقطة هي الحد الأدنى أو الحد الأقصى، تحتاج إلى تحليل مشتقتها الثانية. ويتميز استقرار وضع التوازن بالخيارات التالية:

• توازن غير مستقر
• توازن مستقر
• توازن غير مبال.

توازن غير مستقر

في الحالة التي يكون فيها المشتق الثاني سالبًا، تكون الطاقة الكامنة للنظام في حالة الحد الأقصى المحلي. وهذا يعني أن موقف التوازن غير مستقر. إذا تم إزاحة النظام مسافة صغيرة، فسوف يستمر في حركته بسبب القوى المؤثرة على النظام.

توازن مستقر

المشتق الثاني > 0: الطاقة الكامنة عند الحد الأدنى المحلي، موضع التوازن مستمر(انظر نظرية لاغرانج حول استقرار التوازن). إذا تم إزاحة النظام مسافة صغيرة، فإنه سيعود إلى حالة توازنه. ويكون التوازن مستقراً إذا كان مركز ثقل الجسم يشغل أدنى موضع مقارنة بجميع المواقع المجاورة الممكنة.

توازن غير مبال

المشتق الثاني = 0: في هذه المنطقة لا تتغير الطاقة ويكون موضع التوازن كذلك غير مبال. إذا تم نقل النظام مسافة قصيرة، فإنه سيبقى في الموضع الجديد.

الاستقرار في الأنظمة ذات عدد كبير من درجات الحرية

إذا كان النظام يتمتع بعدة درجات من الحرية، فقد يتبين أن التوازن مستقر في التحولات في بعض الاتجاهات، ولكنه غير مستقر في اتجاهات أخرى. أبسط مثال على مثل هذا الموقف هو "السرج" أو "الممر" (سيكون من الجيد وضع صورة في هذا المكان).

لن يكون توازن النظام الذي يتمتع بدرجات متعددة من الحرية مستقرًا إلا إذا كان مستقرًا في جميع الاتجاهات.

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

انظر ما هو "التوازن الميكانيكي" في القواميس الأخرى:

التوازن الميكانيكي- وضعية آلية المتابعة لملفات تعريف الارتباط: engl. التوازن الميكانيكي vok. الميكانيكا Gleichgewicht، n rus. التوازن الميكانيكي، ن برانك. équilibre mécanique, m… Fizikos terminų žodynas

- ... ويكيبيديا

التحولات الطورية المادة الأولى ... ويكيبيديا

حالة النظام الديناميكي الحراري الذي يصل إليه تلقائيا بعد فترة زمنية كبيرة بما فيه الكفاية في ظل ظروف العزلة عن بيئة، وبعد ذلك لم تعد معلمات حالة النظام تتغير بمرور الوقت. عزل... ... الموسوعة السوفيتية الكبرى

حالة توازن- (1) الحالة الميكانيكية لعدم حركة الجسم، والتي تكون نتيجة لقوى R المؤثرة عليه (عندما يكون مجموع كل القوى المؤثرة على الجسم يساوي الصفر، أي أنه لا ينقل التسارع) . ر. تتميز: أ) مستقرة عند الانحراف عن ... ... موسوعة البوليتكنيك الكبيرة

الحالة الميكانيكية النظام الذي تكون فيه جميع نقاطه ثابتة بالنسبة للنظام المرجعي المحدد. إذا كان هذا النظام المرجعي بالقصور الذاتي، فسيتم استدعاء R.M. مطلقة، وإلا فهي نسبية. على حسب سلوك الجسم بعد... قاموس البوليتكنيك الموسوعي الكبير

التوازن الديناميكي الحراري هو حالة نظام ديناميكي حراري معزول، حيث يكون معدل التفاعل الأمامي عند كل نقطة لجميع العمليات الكيميائية والانتشارية والنووية وغيرها مساويًا لمعدل التفاعل العكسي. الديناميكا الحرارية... ... ويكيبيديا

حالة توازن- الحالة الكلية الأكثر احتمالا للمادة، عندما تظل المتغيرات، بغض النظر عن الاختيار، ثابتة مع وصف كامل للنظام. يتميز التوازن: ميكانيكي، ديناميكي حراري، كيميائي، طور، إلخ: انظر... ... القاموس الموسوعيفي علم المعادن

المحتويات 1 التعريف الكلاسيكي 2 التعريف من خلال طاقة النظام 3 أنواع التوازن ... ويكيبيديا

التحولات الطورية هذه المقالة جزء من سلسلة الديناميكا الحرارية. مفهوم الطور توازن الطور انتقال الطور الكمي أقسام الديناميكا الحرارية مبادئ الديناميكا الحرارية معادلة الحالة ... ويكيبيديا

توازن النظام الميكانيكي- هذه حالة تكون فيها جميع نقاط النظام الميكانيكي في حالة سكون بالنسبة للنظام المرجعي قيد النظر. إذا كان الإطار المرجعي بالقصور الذاتي، يسمى التوازن مطلق، إذا غير بالقصور الذاتي - نسبي.

للعثور على شروط التوازن على الاطلاق صلبمن الضروري تقسيمها عقليا إلى عدد كبير من العناصر الصغيرة إلى حد ما، كل منها يمكن تمثيله بنقطة مادية. تتفاعل كل هذه العناصر مع بعضها البعض - وتسمى قوى التفاعل هذه داخلي. بالإضافة إلى ذلك، يمكن للقوى الخارجية أن تؤثر على عدد من النقاط في الجسم.

وفقًا لقانون نيوتن الثاني، لكي يصبح تسارع نقطة ما صفرًا (وتسارع نقطة في حالة السكون صفرًا)، يجب أن يكون المجموع الهندسي للقوى المؤثرة على تلك النقطة صفرًا. إذا كان الجسم في حالة سكون، فإن جميع نقاطه (عناصره) تكون أيضًا في حالة سكون. لذلك، لأي نقطة من الجسم يمكننا أن نكتب:

أين هو المجموع الهندسي لجميع القوى الخارجية والداخلية المؤثرة أناالعنصر الرابع من الجسم .

المعادلة تعني أنه لكي يكون الجسم في حالة توازن، من الضروري والكافي أن يكون المجموع الهندسي لجميع القوى المؤثرة على أي عنصر في هذا الجسم مساويًا للصفر.

ومن هذا يسهل الحصول على الشرط الأول لتوازن الجسم (نظام الأجسام). للقيام بذلك، يكفي تلخيص المعادلة لجميع عناصر الجسم:

.

المجموع الثاني يساوي صفرًا وفقًا لقانون نيوتن الثالث: المجموع المتجه لجميع القوى الداخلية للنظام يساوي صفرًا، لأن أي قوة داخلية تتوافق مع قوة مساوية لها في المقدار ومعاكسة لها في الاتجاه.

لذلك،

.

الشرط الأول لتوازن الجسم الصلب(أنظمة الأجسام)هي المساواة مع الصفر للمجموع الهندسي لجميع القوى الخارجية المطبقة على الجسم.

وهذا الشرط ضروري ولكنه غير كاف. من السهل التحقق من ذلك من خلال تذكر الحركة الدورانية لزوج من القوى، التي يكون مجموعها الهندسي صفرًا أيضًا.

الشرط الثاني لتوازن الجسم الصلبهي المساواة مع الصفر لمجموع لحظات جميع القوى الخارجية المؤثرة على الجسم بالنسبة لأي محور.

وبالتالي فإن شروط توازن الجسم الصلب في حالة وجود عدد تعسفي من القوى الخارجية تبدو كما يلي:

.

سأفكر نقطة ماديةوالتي تكون حركتها محدودة بحيث لا تتمتع إلا بدرجة واحدة من الحرية.

وهذا يعني أنه يمكن تحديد موضعه باستخدام كمية واحدة، مثل الإحداثي x. ومن الأمثلة على ذلك كرة تنزلق بدون احتكاك على طول سلك ثابت منحني في مستوى رأسي (الشكل 26.1 أ).

مثال آخر هو كرة متصلة بنهاية الزنبرك، تنزلق دون احتكاك إلى دليل أفقي (الشكل 26.2، أ).

تؤثر القوة المحافظة على الكرة: في الحالة الأولى هي قوة الجاذبية، وفي الحالة الثانية هي القوة المرنة لزنبرك مشوه. تظهر الرسوم البيانية للطاقة المحتملة في الشكل. 26.1، ب و26.2، ب.

بما أن الكرات تتحرك على طول السلك دون احتكاك، فإن القوة التي يؤثر بها السلك على الكرة تكون في كلتا الحالتين متعامدة مع سرعة الكرة، وبالتالي لا تؤثر على الكرة. وبالتالي فإن الحفاظ على الطاقة يحدث:

ومن (26.1) يترتب على ذلك أن: الطاقة الحركيةلا يمكن أن تزيد إلا بسبب انخفاض الطاقة المسلية. لذلك، إذا كانت الكرة في مثل هذه الحالة حيث تكون سرعتها صفرًا والطاقة المحتملة لها قيمة دنيا، فلن تتمكن من التحرك بدون تأثير خارجي، أي ستكون في حالة توازن.

تتوافق الحدود الدنيا لـ U مع القيم المتساوية في الرسوم البيانية (في الشكل 26.2 يوجد طول المجموعة غير المشوهة) وشرط الحد الأدنى من الطاقة المحتملة له الشكل

ووفقا لـ t (22.4)، فإن الشرط (26.2) يعادل حقيقة أن

(في الحالة التي تكون فيها U دالة لمتغير واحد فقط، ). وبالتالي، فإن الموضع المقابل لأدنى طاقة محتملة له خاصية أن القوة المؤثرة على الجسم تساوي صفرًا.

في الحالة الموضحة في الشكل. 26.1، الشروط (26.2) و (26.3) مستوفاة أيضًا لـ x تساوي (أي للحد الأقصى لـ U). سيكون موضع الكرة الذي تحدده هذه القيمة متوازنًا أيضًا. ومع ذلك، فإن هذا التوازن، على عكس التوازن عند، سيكون غير مستقر: يكفي إزالة الكرة قليلاً من هذا الموضع وستنشأ قوة ستحرك الكرة بعيدًا عن الموضع . يتم توجيه القوى التي تنشأ عندما يتم إزاحة الكرة من موضع التوازن المستقر (الذي من أجله) بطريقة تميل إلى إعادة الكرة إلى موضع التوازن.

وبمعرفة نوع الدالة t التي تعبر عن الطاقة الكامنة، يمكننا التوصل إلى عدد من الاستنتاجات حول طبيعة حركة الجسيم. دعونا نشرح ذلك باستخدام الرسم البياني الموضح في الشكل. 26.1، ب. إذا كانت الطاقة الإجمالية لها القيمة الموضحة في الشكل، فيمكن للجسيم أن يتحرك إما في المدى من إلى أو في المدى من إلى ما لا نهاية. ولا يمكن للجسيم أن ينفذ إلى المنطقة، إذ لا يمكن أن تصبح طاقة الوضع أكبر من الطاقة الكلية (وإذا حدث ذلك فإن الطاقة الحركية تصبح سلبية). وبالتالي، تمثل المنطقة حاجزًا محتملًا لا يمكن للجسيم أن يخترق من خلاله كمية معينة من الطاقة الإجمالية. وتسمى المنطقة بئر محتملة.

إذا كان الجسيم لا يستطيع التحرك بعيدًا إلى ما لا نهاية أثناء حركته، فإن الحركة تسمى محدودة. إذا تمكن الجسيم من الذهاب إلى الحد المطلوب، فإن الحركة تسمى لا نهائية. يخضع الجسيم الموجود في بئر محتمل لحركة محدودة. حركة الجسيمات مع السلبية الطاقة الكاملةفي المجال المركزي للقوى الجاذبة (من المفترض أن الطاقة الكامنة تختفي عند اللانهاية).

من المعروف أنه لتحقيق توازن النظام مع الاتصالات المثالية فمن الضروري والكافي أن أو. (7)

وبما أن اختلافات الإحداثيات المعممة مستقلة عن بعضها البعض، وبشكل عام، لا تساوي الصفر، فمن الضروري أن
,
,…,
.

لتحقيق توازن النظام مع القيود الهولونومية والثابتة والمثالية، من الضروري والكافي أن تكون جميع القوى المعممة المقابلة للإحداثيات المعممة المختارة مساوية للصفر.

حالة القوى المحتملة:

إذا كان النظام في مجال قوة محتملة، إذن

,
,…,

,
,…,

أي أن مواضع توازن النظام لا يمكن أن تكون إلا لقيم الإحداثيات المعممة التي تعمل القوة من أجلها شوالطاقة المحتملة صلها قيم متطرفة ( الأعلىأو دقيقة).

مفهوم استقرار التوازن.

بعد تحديد المواضع التي يمكن أن يكون فيها النظام في حالة توازن، من الممكن تحديد أي من هذه المواضع يمكن تحقيقه وأيها غير قابل للتحقيق، أي تحديد الموضع المستقر وأي الموضع غير المستقر.

بشكل عام، ضروري علامة على استقرار التوازن وفقًا لـ Lyapunov يمكن صياغتها على النحو التالي:

دعونا نخرج النظام من وضع التوازن من خلال توفير قيم معاملية صغيرة للإحداثيات المعممة وسرعاتها. إذا ظلت الإحداثيات المعممة وسرعاتها، بعد مزيد من الدراسة للنظام، صغيرة الحجم، أي أن النظام لا ينحرف بعيدًا عن موضع التوازن، فإن موضع التوازن هذا يكون مستقرًا.

الظروف الكافية لاستقرار التوازن يتم تحديد النظام نظرية لاغرانج-ديريتشليت :

إذا كانت الطاقة الكامنة في موضع التوازن لنظام ميكانيكي ذي توصيلات مثالية لها قيمة دنيا، فإن موضع التوازن هذا يكون مستقرًا.

,
- مستمر.

دعونا نقدم المعادلات (16) من § 107 و (35) أو (38) بالصيغة:

دعونا نبين أنه من هذه المعادلات، التي هي نتيجة للقوانين المنصوص عليها في الفقرة 74، يتم الحصول على جميع النتائج الأولية للإحصائيات.

1. إذا كان النظام الميكانيكي في حالة سكون، فإن سرعات جميع نقاطه تساوي الصفر، وبالتالي، حيث O هي أي نقطة. ثم المعادلات (40) تعطي:

وبالتالي فإن الشروط (40) هي شروط ضرورية لتوازن أي نظام ميكانيكي. تحتوي هذه النتيجة، على وجه الخصوص، على مبدأ الترسيخ المذكور في الفقرة 2.

لكن بالنسبة لأي نظام، من الواضح أن الشروط (40) ليست شروط توازن كافية. على سبيل المثال، إذا ظهر في الشكل. 274 نقطة حرة، ثم تحت تأثير القوى يمكن أن تتحرك تجاه بعضها البعض، على الرغم من استيفاء الشروط (40) لهذه القوى.

سيتم عرض الشروط الضرورية والكافية لتوازن النظام الميكانيكي في الفقرتين 139 و144.

2. دعونا نثبت أن الشروط (40) ليست ضرورية فحسب، بل هي أيضًا شروط توازن كافية للقوى المؤثرة على جسم جامد تمامًا. دع الجسم الصلب الحر الساكن يبدأ في التأثير عليه من خلال نظام قوى يحقق الشروط (40)، حيث O هي أي نقطة، أي على وجه الخصوص، النقطة C. ثم تعطي المعادلات (40) ، وبما أن الجسم هو كان في البداية ساكنًا، ثم عند النقطة C يكون ساكنًا ولا يمكن للجسم أن يدور إلا بالسرعة الزاوية c حول محور لحظي معين (انظر الفقرة 60). ثم، وفقا للصيغة (33)، فإن الجسم سوف يكون . ولكن هناك إسقاطاً للمتجه على المحور، ومنذ ذلك الحين ومن حيث يتبع ذلك، أي أنه إذا تحققت الشروط (40) بقي الجسم في حالة سكون.

3. من النتائج السابقة، على وجه الخصوص، يتبع الأحكام الأولية 1 و 2، الواردة في الفقرة 2، لأنه من الواضح أن القوتين الموضحتين في الشكل. 2، مستوفية الشروط (40) ومتوازنة، وأنه إذا أضفنا (أو طرحنا منها) نظام قوى متوازن إلى القوى المؤثرة على الجسم، أي مستوفية الشروط (40)، فلا هذه الشروط ولا المعادلات ( 40) تحديد حركة الجسم لن يتغير.