الرياضيات للمبرمجين: نظرية الاحتمالات. نظرية الاحتمالات

سيكون هناك أيضًا مهام لـ قرار مستقل، والتي يمكنك رؤية الإجابات عليها.

نظرية الاحتمالية حول أنواع الأحداث واحتمال حدوثها

تدرس نظرية الاحتمالية أنواع الأحداث واحتمالات حدوثها. يعود ظهور نظرية الاحتمالات إلى منتصف القرن السابع عشر، عندما أصبح علماء الرياضيات مهتمين بالمشكلات التي يطرحها المقامرون وبدأوا في دراسة أحداث مثل ظهور الفوز. في عملية حل هذه المشاكل، يتم استخدام مفاهيم مثل الاحتمالية و القيمة المتوقعة. كان العلماء في ذلك الوقت - هيغنز (1629-1695)، وباسكال (1623-1662)، وفيرمات (1601-1665) وبرنولي (1654-1705) مقتنعين بأن الأنماط الواضحة يمكن أن تنشأ على أساس أحداث عشوائية ضخمة. في الوقت نفسه، كانت العمليات الحسابية والتوليفية الأولية كافية للبحث.

لذلك، تشرح نظرية الاحتمالات وتستكشف الأنماط المختلفة التي تخضع لها الأحداث العشوائية والمتغيرات العشوائية. حدث هي أي حقيقة يمكن ذكرها نتيجة للملاحظة أو التجربة. الملاحظة أو التجربة هي تحقيق ظروف معينة يمكن أن يحدث في ظلها حدث ما.

ما تحتاج إلى معرفته لتحديد احتمالية وقوع حدث ما

تنقسم جميع الأحداث التي يلاحظها الناس أو يصنعونها بأنفسهم إلى:

• أحداث موثوقة
• أحداث مستحيلة؛
• الأحداث العشوائية.

أحداث موثوقة تحدث دائمًا عند إنشاء مجموعة معينة من الظروف. على سبيل المثال، إذا عملنا، فإننا نحصل على مكافأة مقابل ذلك، وإذا نجحنا في الامتحانات ونجحنا في المنافسة، فيمكننا الاعتماد بشكل موثوق على إدراجنا في عدد الطلاب. يمكن ملاحظة الأحداث الموثوقة في الفيزياء والكيمياء. في الاقتصاد، ترتبط الأحداث الموثوقة بالبنية الاجتماعية والتشريعات القائمة. على سبيل المثال، إذا قمنا بإيداع أموال في أحد البنوك وأبدينا رغبتنا في استلامها خلال فترة زمنية معينة، فسنحصل على الأموال. ويمكن الاعتماد على هذا كحدث موثوق.

أحداث مستحيلة بالتأكيد لا تحدث إذا تم إنشاء مجموعة معينة من الشروط. على سبيل المثال، لا يتجمد الماء إذا كانت درجة الحرارة زائدة عن 15 درجة مئوية، ولا يتم الإنتاج بدون كهرباء.

الأحداث العشوائية عندما تتحقق مجموعة معينة من الشروط، فإنها قد تحدث أو لا تحدث. على سبيل المثال، إذا ألقينا عملة معدنية مرة واحدة، فقد يسقط شعار النبالة أو لا يسقط، وقد يتم الفوز بتذكرة اليانصيب أو لا يتم الفوز بها، وقد يكون المنتج المصنع معيبًا أو لا يكون. إن ظهور منتج معيب هو حدث عشوائي، وهو أكثر ندرة من إنتاج منتج مناسب.

يرتبط التكرار المتوقع لحدوث الأحداث العشوائية ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الاحتمال. تتم دراسة أنماط حدوث وعدم وقوع الأحداث العشوائية من خلال نظرية الاحتمالات.

إذا تحققت مجموعة من الشروط الضرورية مرة واحدة فقط، فإننا لا نتلقى معلومات كافية حول حدث عشوائي، لأنه قد يحدث أو لا يحدث. إذا تم تنفيذ مجموعة من الشروط عدة مرات، فستظهر الأنماط المعروفة. على سبيل المثال، ليس من الممكن أبدًا معرفة ماكينة القهوة التي سيطلبها العميل التالي في المتجر، ولكن إذا كانت العلامات التجارية لآلات القهوة الأكثر طلبًا لفترة طويلة معروفة، فمن الممكن بناءً على هذه البيانات تنظيم الإنتاج أو العرض لتلبية الطلب.

إن معرفة الأنماط التي تحكم الأحداث العشوائية الجماعية تسمح لنا بالتنبؤ بموعد حدوث هذه الأحداث. على سبيل المثال، كما ذكرنا سابقًا، من المستحيل التنبؤ مسبقًا بنتيجة رمي عملة معدنية، ولكن إذا تم إلقاء العملة عدة مرات، فمن الممكن التنبؤ بسقوط شعار النبالة. قد يكون الخطأ صغيرا.

تُستخدم طرق نظرية الاحتمالات على نطاق واسع في مختلف فروع العلوم الطبيعية، والفيزياء النظرية، والجيوديسيا، وعلم الفلك، ونظرية التحكم الآلي، ونظرية ملاحظة الخطأ، وفي العديد من العلوم النظرية والعملية الأخرى. تستخدم نظرية الاحتمالية على نطاق واسع في تخطيط وتنظيم الإنتاج، وتحليل جودة المنتج، وتحليل العمليات التكنولوجية، والتأمين، وإحصاءات السكان، وعلم الأحياء، والمقذوفات وغيرها من الصناعات.

عادة ما يتم الإشارة إلى الأحداث العشوائية بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية A، B، C، وما إلى ذلك.

الأحداث العشوائية يمكن أن تكون:

• غير متوافق؛
• مشترك.

الأحداث A، B، C... تسمى غير متوافق ، إذا كان من الممكن أن يحدث أحد هذه الأحداث نتيجة لاختبار واحد، ولكن لا يمكن أن يحدث حدثان أو أكثر.

إذا كان وقوع حدث عشوائي واحد لا يستبعد وقوع حدث آخر، يتم استدعاء هذه الأحداث مشترك . على سبيل المثال، إذا تمت إزالة جزء آخر من الحزام الناقل وكان الحدث A يعني "الجزء يفي بالمعيار" والحدث B يعني "الجزء لا يفي بالمعيار"، فإن A وB هما حدثان غير متوافقين. إذا كان الحدث C يعني "أخذ جزء من الصف الثاني"، فإن هذا الحدث مشترك مع الحدث A، ولكنه غير متوافق مع الحدث B.

إذا حدث في كل ملاحظة (اختبار) حدث واحد فقط من الأحداث العشوائية غير المتوافقة، فإن هذه الأحداث تشكل مجموعة كاملة (نظام) من الأحداث .

حدث موثوق هو وقوع حدث واحد على الأقل من مجموعة كاملة من الأحداث.

إذا كانت الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة من الأحداث زوجية غير متناسقة إذن نتيجة للملاحظة يمكن أن يحدث حدث واحد فقط من هذه الأحداث. على سبيل المثال، يجب على الطالب حل مشكلتين عمل اختباري. سيحدث بالتأكيد حدث واحد فقط من الأحداث التالية:

• سيتم حل المشكلة الأولى، ولن يتم حل المشكلة الثانية؛
• سيتم حل المشكلة الثانية ولن يتم حل المشكلة الأولى؛
• سيتم حل كلتا المشكلتين.
• لن يتم حل أي من المشاكل.

تشكل هذه الأحداث مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة .

إذا كانت المجموعة الكاملة من الأحداث تتكون من حدثين غير متوافقين فقط، فسيتم استدعاؤها متضاد أو بديل الأحداث.

يُشار إلى الحدث المقابل للحدث بـ . على سبيل المثال، في حالة رمي عملة معدنية واحدة، قد تظهر الفئة () أو شعار النبالة ().

تسمى الأحداث ممكن على قدم المساواة ، إذا لم يكن لأي منهم مزايا موضوعية. تشكل مثل هذه الأحداث أيضًا المجموعة الكاملة من الأحداث. وهذا يعني أنه نتيجة للملاحظة أو الاختبار، يجب أن يحدث بالتأكيد حدث واحد على الأقل من الأحداث المحتملة.

على سبيل المثال، تتشكل مجموعة كاملة من الأحداث من خلال فقدان الفئة والشعار أثناء رمية واحدة لعملة معدنية، ووجود 0، 1، 2، 3 وأكثر من 3 أخطاء في صفحة نص مطبوعة واحدة.

الاحتمال الكلاسيكي والإحصائي. الصيغ الاحتمالية: الكلاسيكية والإحصائية

التعريف الكلاسيكي للاحتمال.الفرصة أو الحالة المواتية هي الحالة التي يحدث فيها حدث أثناء تنفيذ مجموعة معينة من الظروف أيحدث. يتضمن التعريف الكلاسيكي للاحتمال حسابًا مباشرًا لعدد الحالات أو الفرص المفضلة.

احتمالية وقوع الحدث أقم بتسمية نسبة عدد الفرص المواتية لهذا الحدث إلى عدد جميع الأحداث غير المتوافقة المحتملة على قدم المساواة نالتي يمكن أن تحدث نتيجة لتجربة أو ملاحظة واحدة. صيغة الاحتمال الأحداث أ:

إذا كان من الواضح تمامًا ما هو احتمال وقوع حدث ما، فسيتم الإشارة إلى الاحتمال بحرف صغير ص، دون تحديد تسمية الحدث.

لحساب الاحتمال وفقًا للتعريف الكلاسيكي، من الضروري العثور على عدد جميع الأحداث غير المتوافقة الممكنة بشكل متساوٍ وتحديد عدد الأحداث المؤاتية لتعريف الحدث أ.

مثال 1.أوجد احتمال الحصول على العدد ٥ عند رمي حجر النرد.

حل. ومن المعروف أن الوجوه الستة جميعها لديها نفس الفرصة للوصول إلى القمة. تم وضع علامة على الرقم 5 على جانب واحد فقط. عدد جميع الأحداث غير المتوافقة الممكنة بالتساوي هو 6، منها احتمال واحد فقط هو العدد 5 ( م= 1). وهذا يعني أن الاحتمال المطلوب لتدحرج الرقم 5

مثال 2.صندوق يحتوي على 3 كرات حمراء و12 كرة بيضاء من نفس الحجم. تم أخذ كرة واحدة دون النظر. أوجد احتمال أخذ الكرة الحمراء.

حل. الاحتمالية المطلوبة

ابحث عن الاحتمالات بنفسك ثم انظر إلى الحل

مثال 3.يتم رمي النرد. حدث ب- المتداول رقم زوجي. احسب احتمالية هذا الحدث.

مثال 5.هناك 5 كرات بيضاء و 7 كرات سوداء في الجرة. تم سحب كرة واحدة بشكل عشوائي. حدث أ- يتم سحب كرة بيضاء. حدث ب- يتم سحب كرة سوداء. احسب احتمالات هذه الأحداث.

يُطلق على الاحتمال الكلاسيكي أيضًا اسم الاحتمال المسبق لأنه يتم حسابه قبل بدء الاختبار أو الملاحظة. من الطبيعة المسبقة للاحتمال الكلاسيكي، يتبع عيبها الرئيسي: فقط في حالات نادرة، قبل بدء الملاحظة، من الممكن حساب جميع الأحداث غير المتوافقة المحتملة على قدم المساواة، بما في ذلك الأحداث المواتية. عادة ما تنشأ مثل هذه الفرص في مواقف مشابهة للألعاب.

مجموعات.إذا لم يكن تسلسل الأحداث مهمًا، فسيتم حساب عدد الأحداث المحتملة على أنه عدد المجموعات:

مثال 6.هناك 30 طالبا في المجموعة. يجب على ثلاثة طلاب الذهاب إلى قسم علوم الكمبيوتر لإحضار جهاز كمبيوتر وجهاز عرض. احسب احتمال قيام ثلاثة طلاب محددين بذلك.

حل. نحسب عدد الأحداث المحتملة باستخدام الصيغة (2):

احتمالية ذهاب ثلاثة طلاب محددين إلى القسم:

مثال 7.بيعت 10 الهواتف المحمولة. 3 منهم لديهم عيوب. اختار المشتري هاتفين. احسب احتمالية وجود عيوب في كلا الهاتفين المحددين.

حل. تم العثور على عدد جميع الأحداث الممكنة بالتساوي باستخدام الصيغة (2):

باستخدام نفس الصيغة، نجد عدد الفرص المناسبة لحدث ما:

الاحتمالية المرغوبة لوجود عيوب في كلا الهاتفين المحددين:

أوجد الاحتمال بنفسك ثم انظر إلى الحل

مثال 8.تحتوي أوراق الامتحان على 40 سؤالاً غير مكرر. وأعد الطالب إجابات على 30 منها. تحتوي كل تذكرة على سؤالين. ما احتمال أن يعرف الطالب إجابة السؤالين الموجودين على التذكرة؟

غسلت أمي الإطار

في نهاية طويلة عطلات الصيفحان الوقت للعودة ببطء إلى الرياضيات العليا وفتح ملف Verdov الفارغ رسميًا لبدء إنشاء قسم جديد - . أعترف أن الأسطر الأولى ليست سهلة، لكن الخطوة الأولى هي نصف الطريق، لذلك أقترح على الجميع دراسة المقالة التمهيدية بعناية، وبعد ذلك سيكون إتقان الموضوع أسهل مرتين! أنا لا أبالغ على الإطلاق. …عشية الأول من سبتمبر القادم، أتذكر الصف الأول والتمهيدي…. تشكل الحروف مقاطع لفظية، والمقاطع تشكل كلمات، والكلمات تشكل جملًا قصيرة - غسلت أمي الإطار. يعد إتقان إحصائيات التداول والرياضيات أمرًا سهلاً مثل تعلم القراءة! ومع ذلك، لهذا تحتاج إلى معرفة المصطلحات والمفاهيم والتسميات الأساسية، بالإضافة إلى بعض القواعد المحددة التي هي موضوع هذا الدرس.

لكن أولاً أرجو أن تتقبلوا تهنئتي بالبداية (متابعة، إكمال، ملاحظة حسب الاقتضاء) العام الدراسيوقبول الهدية. أفضل هدية هي كتاب، و عمل مستقلأوصي بالأدبيات التالية:

1) جمورمان ف. نظرية الاحتمالية والإحصاء الرياضي

أسطوري درس تعليمي، والتي طبعت أكثر من عشر طبعات. إنه يتميز بالوضوح والعرض البسيط للغاية للمادة، والفصول الأولى متاحة بالكامل، على ما أعتقد، بالفعل للطلاب في الصفوف 6-7.

2) جمورمان ف. دليل لحل المشاكل في نظرية الاحتمالات و الإحصائيات الرياضية

كتاب حلول لنفس فلاديمير افيموفيتش مع أمثلة ومسائل مفصلة.

بالضرورةقم بتنزيل كلا الكتابين من الإنترنت أو احصل على نسخهما الورقية الأصلية! الإصدار من الستينيات والسبعينيات سيعمل أيضًا، وهو أفضل بالنسبة للدمى. على الرغم من أن عبارة "نظرية الاحتمالية للدمى" تبدو سخيفة إلى حد ما، لأن كل شيء تقريبًا يقتصر على العمليات الحسابية الأولية. لكنهم يتخطون في بعض الأماكن المشتقاتو التكاملات، ولكن هذا في الأماكن فقط.

سأحاول تحقيق نفس الوضوح في العرض، لكن يجب أن أحذر من أن الدورة التدريبية الخاصة بي تهدف إلى ذلك حل المشاكلويتم الاحتفاظ بالحسابات النظرية إلى الحد الأدنى. وبالتالي، إذا كنت بحاجة إلى نظرية مفصلة، ​​​​وإثباتات للنظريات (نعم، نظريات!)، يرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي.

لأولئك الذين يريدون تعلم كيفية حل المشاكل في غضون أيام، تم إنشاؤهادورة مكثفة بصيغة pdf (بناء على مواد الموقع). حسنًا، الآن، دون تأجيل الأمور لفترة طويلة، نبدأ في دراسة Terver وMatstat - اتبعني!

هذا يكفي للبدء =)

أثناء قراءتك للمقالات، من المفيد أن تتعرف (على الأقل لفترة وجيزة) على المهام الإضافية من الأنواع التي تم النظر فيها. على الصفحة حلول جاهزة للرياضيات العليايتم نشر ملفات PDF المقابلة مع أمثلة للحلول. كما سيتم تقديم مساعدة كبيرة IDZ 18.1-18.2 ريابوشكو(أبسط) و تم حل IDZ وفقًا لمجموعة Chudesenko(أكثر صعوبة).

1) كميةحدثين ويسمى الحدث وهو أنه سيحدث أوحدث أوحدث أوكلا الحدثين في نفس الوقت. وفي حال الأحداث غير متوافق، يختفي الخيار الأخير، أي أنه قد يحدث أوحدث أوحدث .

تنطبق القاعدة أيضًا على عدد أكبر من المصطلحات، على سبيل المثال، الحدث هو ما سيحدث مرة على الأقلمن الأحداث ، أ إذا كانت الأحداث غير متوافقة – ثم شيء واحد وشيء واحد فقطحدث من هذا المبلغ: أوحدث ، أوحدث ، أوحدث ، أوحدث ، أوحدث .

هناك العديد من الامثلة:

الأحداث (عند رمي النرد لن تظهر 5 نقاط) هي ما ستظهر أو 1, أو 2, أو 3, أو 4, أو 6 نقاط.

الحدث (سوف يسقط لا أكثرنقطتين) هو أن 1 سوف تظهر أو 2نقاط.

حدث (سيكون هناك عدد زوجي من النقاط) هو ما يظهر أو 2 أو 4 أو 6 نقاط.

الحدث هو أنه سيتم سحب بطاقة حمراء (قلب) من على سطح السفينة أوالدف) والحدث - أنه سيتم استخراج "الصورة" (جاك أوسيدة أوملِك أوبارِع).

الأمر الأكثر إثارة للاهتمام هو الحال مع الأحداث المشتركة:

الحدث هو أنه سيتم سحب النادي من على سطح السفينة أوسبعة أوسبعة من الأندية ووفقا للتعريف المذكور أعلاه، ما لا يقل عن شيء- أو أي نادي أو أي سبعة أو "تقاطعهم" - سبعة أندية. من السهل حساب أن هذا الحدث يتوافق مع 12 نتيجة أولية (9 بطاقات نادي + 3 سبعات متبقية).

الحدث هو أن غدا في الساعة 12.00 سيأتي واحد على الأقل من الأحداث المشتركة القابلة للتلخيص، يسمى:

- أو سيكون هناك مطر فقط / عاصفة رعدية فقط / شمس فقط؛
- أو سيحدث فقط بعض الأحداث (مطر + عاصفة رعدية / مطر + شمس / عاصفة رعدية + شمس)؛
- أو ستظهر الأحداث الثلاثة في وقت واحد.

أي أن الحدث يتضمن 7 نتائج محتملة.

الركن الثاني من جبر الأحداث:

2) العملحدثين ونسمي حدثًا يتكون من حدوث هذه الأحداث معًا، وبعبارة أخرى، الضرب يعني أنه في بعض الظروف سيكون هناك وحدث ، وحدث . ينطبق بيان مماثل على عدد أكبر من الأحداث، على سبيل المثال، يشير العمل إلى أنه سيحدث في ظل ظروف معينة وحدث ، وحدث ، وحدث ، …، وحدث .

فكر في اختبار يتم فيه رمي قطعتين من العملات المعدنية والأحداث التالية:

- سوف تظهر الرؤوس على العملة الأولى؛
- العملة الأولى ستهبط على الرؤوس؛
- سوف تظهر الرؤوس على العملة الثانية؛
- العملة الثانية ستهبط على الرؤوس.

ثم:
وفي اليوم الثاني) سوف تظهر الرؤوس؛
– الحدث هو أنه على كلا العملاتتين (في الأول ووفي الثاني) سيكون رؤوسا؛
- الحدث هو أن العملة الأولى ستهبط على شكل رؤوس والعملة الثانية هي ذيول.
- الحدث هو أن العملة الأولى ستهبط على شكل رؤوس وعلى العملة الثانية يوجد نسر.

ومن السهل أن نرى تلك الأحداث غير متوافق (لأنه، على سبيل المثال، لا يمكن أن يكون رأسين وذيلين في نفس الوقت)والشكل مجموعة كاملة ( منذ أخذها بعين الاعتبار الجميعالنتائج المحتملة لرمي قطعتين من النقود). دعونا نلخص هذه الأحداث : . كيفية تفسير هذا الإدخال؟ بسيط جدًا - الضرب يعني رابطًا منطقيًا و، والإضافة - أو. وهكذا يسهل قراءة المبلغ بلغة بشرية مفهومة: "سيظهر رأسان أواثنين من رؤساء أوالعملة الأولى سوف تهبط على الرؤوس وعلى ذيول 2 أوالعملة الأولى سوف تهبط على الرؤوس وعلى العملة الثانية يوجد نسر"

وكان هذا مثالا عندما في اختبار واحدهناك عدة أشياء متضمنة، في هذه الحالة عملتان معدنيتان. مخطط شائع آخر في المشاكل العملية هو إعادة الاختبار ، على سبيل المثال، عندما يتم رمي نفس حجر النرد ثلاث مرات متتالية. وللتوضيح، خذ بعين الاعتبار الأحداث التالية:

- في الرمية الأولى سوف تحصل على 4 نقاط؛
- في الرمية الثانية سوف تحصل على 5 نقاط؛
– في الرمية الثالثة سوف تحصل على 6 نقاط.

ثم الحدث هو أنه في الرمية الأولى سوف تحصل على 4 نقاط وفي الرمية الثانية سوف تحصل على 5 نقاط وفي اللفة الثالثة سوف تحصل على 6 نقاط. من الواضح أنه في حالة المكعب سيكون هناك مجموعات (نتائج) أكثر بكثير مما لو كنا نرمي عملة معدنية.

...أنا أفهم أنهم ربما لا يفهمون جيدًا أمثلة مثيرة للاهتماملكن هذه أمور كثيراً ما تصادف في المشاكل ولا مفر منها. بالإضافة إلى عملة معدنية ومكعب ومجموعة من أوراق اللعب، وجرار بها كرات متعددة الألوان، والعديد من الأشخاص المجهولين الذين يطلقون النار على هدف، وعامل لا يكل يعمل باستمرار على طحن بعض التفاصيل في انتظارك =)

احتمالية وقوع الحدث

احتمالية وقوع الحدث هو المفهوم المركزي لنظرية الاحتمالات. ...شيء منطقي للغاية، ولكن كان علينا أن نبدأ من مكان ما =) هناك عدة طرق لتعريفه:

;
التعريف الهندسي للاحتمال ;
التعريف الإحصائي للاحتمال .

سأركز في هذه المقالة على التعريف الكلاسيكي للاحتمال، والذي يستخدم على نطاق واسع في المهام التعليمية.

التسميات. يُشار إلى احتمالية وقوع حدث معين بحرف لاتيني كبير، ويتم وضع الحدث نفسه بين قوسين، ليكون بمثابة نوع من الحجة. على سبيل المثال:

كما يتم استخدام الحرف الصغير على نطاق واسع للدلالة على الاحتمال. على وجه الخصوص، يمكنك التخلي عن التسميات المرهقة للأحداث واحتمالاتها لصالح النمط التالي::

- احتمال أن تؤدي رمية العملة إلى ظهور الصورة؛
- احتمال أن تؤدي رمية النرد إلى 5 نقاط؛
– احتمال سحب بطاقة بدلة النادي من على سطح السفينة.

يعد هذا الخيار شائعًا عند حل المشكلات العملية، لأنه يسمح لك بتقليل تسجيل الحل بشكل كبير. كما في الحالة الأولى، من الملائم استخدام الحروف المنخفضة/الحروف المرتفعة "الناطقة" هنا.

لقد خمن الجميع منذ فترة طويلة الأرقام التي كتبتها للتو أعلاه، والآن سنكتشف كيف تحولت:

التعريف الكلاسيكي للاحتمال:

يسمى احتمال وقوع حدث ما في اختبار معين النسبة حيث:

– الرقم الإجماليالجميع ممكن على قدم المساواة, ابتدائينتائج هذا الاختبار، والتي تشكل مجموعة كاملة من الأحداث;

- كمية ابتدائيالنتائج, ملائم حدث.

عند رمي عملة معدنية، يمكن أن تسقط الصورة أو الكتابة - وتتشكل هذه الأحداث مجموعة كاملةوبالتالي فإن العدد الإجمالي للنتائج؛ وفي نفس الوقت كل واحد منهم ابتدائيو ممكن على قدم المساواة. يتم تفضيل الحدث بالنتيجة (الرؤوس). وفقًا للتعريف الكلاسيكي للاحتمال: .

وبالمثل، نتيجة لرمي حجر النرد، قد تظهر نتائج أولية متساوية الإمكانية، وتشكل مجموعة كاملة، ويتم تفضيل الحدث بنتيجة واحدة (رمي الرقم خمسة). لهذا السبب: هذا غير مقبول (على الرغم من أنه لا يُمنع تقدير النسب المئوية في رأسك).

ومن المعتاد استخدام كسور الوحدةومن الواضح أن الاحتمال يمكن أن يختلف داخل . علاوة على ذلك، إذا كان الحدث مستحيل، لو - موثوق، وإذا، فنحن نتحدث عنه عشوائيحدث.

! إذا حصلت، أثناء حل أي مشكلة، على قيمة احتمالية أخرى، فابحث عن الخطأ!

في النهج الكلاسيكي لتحديد الاحتمالية، يتم الحصول على القيم المتطرفة (صفر وواحد) من خلال نفس المنطق تمامًا. اسمح بسحب كرة واحدة عشوائيًا من جرة معينة تحتوي على 10 كرات حمراء. خذ بعين الاعتبار الأحداث التالية:

في تجربة واحدة لن يحدث حدث ذو احتمالية منخفضة.

ولهذا السبب لن تفوز بالجائزة الكبرى في اليانصيب إذا كان احتمال هذا الحدث، على سبيل المثال، 0.00000001. نعم، نعم، إنه أنت – مع التذكرة الوحيدة في تداول معين. ومع ذلك، فإن عددًا أكبر من التذاكر وعددًا أكبر من الرسومات لن يساعدك كثيرًا. ...عندما أخبر الآخرين عن هذا، أسمع دائمًا ردًا: "لكن هناك من يفوز". حسنًا، فلنقم بالتجربة التالية: يرجى شراء تذكرة لأي يانصيب اليوم أو غدًا (لا تتأخر!). وإذا فزت... حسنًا، على الأقل أكثر من 10 كيلوروبل، تأكد من التسجيل - سأشرح لك سبب حدوث ذلك. بالنسبة للنسبة طبعا =)=)

لكن لا داعي للحزن، لأن هناك مبدأ معاكس: إذا كان احتمال وقوع حدث ما قريبًا جدًا من الواحد، فإنه في تجربة واحدة سوف يحدث. تقريبا متأكدسوف يحدث. لذلك، قبل القفز بالمظلة، لا داعي للخوف، بل على العكس، ابتسم! بعد كل شيء، يجب أن تنشأ ظروف رائعة لا يمكن تصورها تمامًا حتى تفشل المظلتان.

على الرغم من أن كل هذا هو غنائي، لأنه اعتمادا على محتوى الحدث، فإن المبدأ الأول قد يكون مبهجا، والثاني - حزين؛ أو حتى كلاهما متوازيان.

ربما هذا يكفي الآن، في الصف مسائل الاحتمالية الكلاسيكيةسوف نحصل على أقصى استفادة من الصيغة. وفي الجزء الأخير من هذه المقالة، سنتناول نظرية مهمة:

مجموع احتمالات الأحداث التي تكون المجموعة الكاملة يساوي واحدًا. بشكل تقريبي، إذا كانت الأحداث تشكل مجموعة كاملة، فمع احتمال 100%، سيحدث أحدها. في أبسط الحالات، يتم تشكيل مجموعة كاملة من الأحداث المعاكسة، على سبيل المثال:

- نتيجة لرمي العملة المعدنية، سوف تظهر الرؤوس؛
– ستكون نتيجة رمي العملة المعدنية هي الرؤوس.

وفقا للنظرية:

ومن الواضح تمامًا أن هذه الأحداث ممكنة بنفس القدر واحتمالاتها واحدة .

نظرًا لتساوي الاحتمالات، غالبًا ما يتم استدعاء الأحداث الممكنة بشكل متساوٍ محتمل بنفس القدر . وهنا اعصار اللسان لتحديد درجة التسمم =)

مثال على المكعب: الأحداث متضادة إذن .

تعتبر النظرية قيد النظر ملائمة لأنها تتيح لك العثور بسرعة على احتمالية الحدث المعاكس. لذا، إذا كان احتمال ظهور الرقم خمسة معروفًا، فمن السهل حساب احتمال عدم ظهوره:

وهذا أبسط بكثير من تلخيص احتمالات خمس نتائج أولية. بالمناسبة، بالنسبة للنتائج الأولية، هذه النظرية صحيحة أيضًا:
. على سبيل المثال، إذا كان احتمال أن يصيب مطلق النار الهدف، فهو احتمال أن يخطئ.

! في نظرية الاحتمالات، من غير المرغوب فيه استخدام الحروف لأي أغراض أخرى.

تكريما ليوم المعرفة، لن أسأل العمل في المنزل=) ولكن من المهم جدًا أن تتمكن من الإجابة على الأسئلة التالية:

- ما هي أنواع الأحداث الموجودة؟
– ما هي الصدفة والاحتمال المتساوي لحدث ما؟
– كيف تفهم مصطلحات توافق/عدم توافق الأحداث؟
– ما هي مجموعة كاملة من الأحداث، والأحداث المعاكسة؟
- ماذا يعني جمع وضرب الأحداث؟
– ما هو جوهر التعريف الكلاسيكي للاحتمال؟
- لماذا تعتبر نظرية جمع احتمالات الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة مفيدة؟

لا، لا تحتاج إلى حشر أي شيء، فهذه مجرد أساسيات نظرية الاحتمالات - وهو نوع من التمهيدي الذي سوف يتناسب بسرعة مع رأسك. ولكي يحدث هذا في أقرب وقت ممكن، أقترح عليك أن تتعرف على الدروس

ما هو الاحتمال؟

في المرة الأولى التي واجهت فيها هذا المصطلح، لم أكن لأفهم ما هو. لذلك، سأحاول أن أشرح بوضوح.

الاحتمال هو احتمال وقوع الحدث الذي نريده.

على سبيل المثال، قررت الذهاب إلى منزل أحد الأصدقاء، وتتذكر المدخل وحتى الأرضية التي يعيش عليها. لكني نسيت رقم الشقة وموقعها. والآن أنت واقف على الدرج، وأمامك أبواب يمكنك الاختيار من بينها.

ما هو احتمال (احتمال) أنك إذا قمت بقرع جرس الباب الأول، فإن صديقك سيجيب على الباب نيابة عنك؟ لا يوجد سوى شقق، وصديق يعيش خلف واحدة منها فقط. مع فرصة متساوية يمكننا اختيار أي باب.

ولكن ما هي هذه الفرصة؟

الباب، الباب الأيمن. احتمالية التخمين من خلال قرع جرس الباب الأول: . أي أنك ستخمن بدقة مرة واحدة من كل ثلاثة.

نريد أن نعرف، بعد أن اتصلنا مرة واحدة، كم مرة سنخمن الباب؟ دعونا نلقي نظرة على جميع الخيارات:

1. أنت إتصلت الأولباب
2. أنت إتصلت الثانيباب
3. أنت إتصلت الثالثباب

الآن دعونا نلقي نظرة على جميع الخيارات التي يمكن أن يكون فيها الصديق:

أ. خلف الأولالباب
ب. خلف الثانيالباب
الخامس. خلف الثالثالباب

دعونا نقارن جميع الخيارات في شكل جدول. تشير علامة الاختيار إلى الخيارات عندما يتزامن اختيارك مع موقع صديق، وعلامة تقاطع - عندما لا يتطابق.

كيف ترى كل شيء ربما خياراتموقع صديقك واختيارك للباب الذي تريد الاتصال به.

أ نتائج إيجابية للجميع . أي أنك ستخمن مرة واحدة من خلال قرع جرس الباب مرة واحدة، أي. .

هذا هو الاحتمال - نسبة النتيجة الإيجابية (عندما يتزامن اختيارك مع موقع صديقك) إلى عدد الأحداث المحتملة.

التعريف هو الصيغة. يُشار إلى الاحتمال عادةً بالرمز p، وبالتالي:

ليس من المناسب جدًا كتابة مثل هذه الصيغة، لذلك سنحسب - عدد النتائج الإيجابية، و - العدد الإجمالي للنتائج.

يمكن كتابة الاحتمال كنسبة مئوية، وللقيام بذلك، عليك ضرب النتيجة الناتجة في:

ربما لفتت انتباهك كلمة "النتائج". نظرًا لأن علماء الرياضيات يطلقون على الإجراءات المختلفة (في حالتنا، مثل هذا الإجراء هو جرس الباب) تجارب، فإن نتيجة هذه التجارب تسمى عادة النتيجة.

حسنًا، هناك نتائج إيجابية وأخرى سلبية.

دعنا نعود إلى مثالنا. لنفترض أننا قرعنا أحد الأبواب، لكن شخصًا غريبًا فتحه لنا. لم نخمن بشكل صحيح. ما احتمال أن يفتح لنا صديقنا أحد الأبواب المتبقية إذا قرعنا؟

إذا كنت تعتقد ذلك، فهذا خطأ. دعونا معرفة ذلك.

لدينا بابان متبقيان. لذلك لدينا الخطوات الممكنة:

1) اتصل الأولباب
2) اتصل الثانيباب

الصديق، رغم كل هذا، هو بالتأكيد وراء أحدهم (بعد كل شيء، لم يكن وراء من اتصلنا به):

أ) صديق ل الأولالباب
ب) صديق ل الثانيالباب

لنرسم الجدول مرة أخرى:

كما ترون، هناك خيارات فقط، منها مواتية. أي أن الاحتمال متساوي.

ولم لا؟

الوضع الذي نظرنا فيه هو مثال على الأحداث التابعةالحدث الأول هو جرس الباب الأول، والحدث الثاني هو جرس الباب الثاني.

وسميت تابعة لأنها تؤثر على الأفعال التالية. بعد كل شيء، إذا رد أحد الأصدقاء على جرس الباب بعد الرنة الأولى، فما هو احتمال أن يكون خلف أحد الصديقين الآخرين؟ يمين، .

ولكن إذا كانت هناك أحداث تابعة، فلا بد أن تكون هناك أيضًا مستقل؟ هذا صحيح، يحدث ذلك.

مثال الكتاب المدرسي هو رمي عملة معدنية.

1. إرم عملة معدنية مرة واحدة. ما هو احتمال الحصول على الرؤوس، على سبيل المثال؟ هذا صحيح - لأن هناك كل الخيارات (إما الصورة أو الكتابة، سنهمل احتمالية هبوط العملة على حافتها)، لكنه يناسبنا فقط.
2. لكنها جاءت رؤساء. حسنا، دعونا رميها مرة أخرى. ما هو احتمال الحصول على الرؤوس الآن؟ لم يتغير شيء، كل شيء هو نفسه. كم عدد الخيارات؟ اثنين. كم نحن سعداء؟ واحد.

ودعها تأتي على الأقل ألف مرة على التوالي. احتمال الحصول على الرؤوس مرة واحدة سيكون هو نفسه. هناك دائما خيارات، وأخرى مواتية.

من السهل التمييز بين الأحداث التابعة والأحداث المستقلة:

1. إذا تم تنفيذ التجربة مرة واحدة (رمي عملة معدنية مرة واحدة، قرع جرس الباب مرة واحدة، وما إلى ذلك)، فإن الأحداث تكون دائمًا مستقلة.
2. إذا تم إجراء تجربة عدة مرات (رمي عملة معدنية مرة واحدة، وقرع جرس الباب عدة مرات)، فإن الحدث الأول يكون دائمًا مستقلاً. وبعد ذلك، إذا تغير عدد النتائج المواتية أو عدد جميع النتائج، فإن الأحداث مستقلة، وإذا لم تكن كذلك، فهي مستقلة.

دعونا نتدرب على تحديد الاحتمالية قليلًا.

مثال 1.

يتم رمي العملة مرتين. ما هو احتمال الحصول على الرأس مرتين على التوالي؟

حل:

دعونا نفكر في كل شيء الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر
2. رؤساء ذيول
3. ذيول رؤساء
4. ذيول ذيول

كما ترون، هناك خيارات فقط. ومن هؤلاء لا نرضى إلا. أي أن الاحتمال:

إذا كان الشرط يطلب منك ببساطة إيجاد الاحتمال، فيجب أن تكون الإجابة في شكل كسر عشري. ولو تم تحديد أن الإجابة يجب أن تعطى كنسبة مئوية، لضربنا في.

إجابة:

مثال 2.

في علبة الشوكولاتة، يتم تعبئة جميع الشوكولاتة في نفس الغلاف. ومع ذلك، من الحلويات - مع المكسرات، مع براندي، مع الكرز، مع الكراميل والنوجا.

ما هو احتمال أن تأخذ حلوى واحدة وتحصل على حلوى بالمكسرات؟ أعط إجابتك كنسبة مئوية.

حل:

كم عدد النتائج المحتملة هناك؟ .

أي أنك إذا أخذت حلوى واحدة، فستكون واحدة من تلك المتوفرة في الصندوق.

كم عدد النتائج الإيجابية؟

لأن العلبة تحتوي فقط على الشوكولاتة بالمكسرات.

إجابة:

مثال 3.

في علبة بالونات. منها الأبيض والأسود.

1. ما هو احتمال سحب كرة بيضاء؟
2. أضفنا المزيد من الكرات السوداء إلى الصندوق. ما هو احتمال سحب كرة بيضاء الآن؟

حل:

أ) لا يوجد سوى كرات في الصندوق. منهم الأبيض.

الاحتمال هو:

ب) يوجد الآن المزيد من الكرات في الصندوق. وهناك عدد مماثل من البيض المتبقين - .

إجابة:

الاحتمال الإجمالي

احتمال جميع الأحداث الممكنة يساوي ().

لنفترض أن هناك كرات حمراء وخضراء في صندوق. ما هو احتمال سحب كرة حمراء؟ الكرة الخضراء؟ الكرة الحمراء أم الخضراء؟

احتمال سحب كرة حمراء

الكرة الخضراء:

الكرة الحمراء أو الخضراء:

كما ترون، فإن مجموع كل الأحداث المحتملة يساوي (). إن فهم هذه النقطة سيساعدك على حل العديد من المشاكل.

مثال 4.

توجد علامات في الصندوق: الأخضر، الأحمر، الأزرق، الأصفر، الأسود.

ما هو احتمال عدم رسم علامة حمراء؟

حل:

دعونا نحسب الرقم نتائج مواتية.

ليست علامة حمراء، وهذا يعني الأخضر أو ​​الأزرق أو الأصفر أو الأسود.

احتمال كل الأحداث. واحتمال الأحداث التي نعتبرها غير مواتية (عندما نخرج علامة حمراء) هو .

ومن ثم، فإن احتمال سحب قلم فلوماستر غير أحمر هو .

إجابة:

احتمال عدم وقوع حدث يساوي مطروحًا منه احتمال وقوع الحدث.

قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة

أنت تعرف بالفعل ما هي الأحداث المستقلة.

ماذا لو كنت بحاجة إلى إيجاد احتمال وقوع حدثين مستقلين (أو أكثر) على التوالي؟

لنفترض أننا نريد أن نعرف ما هو احتمال أننا إذا رمينا عملة معدنية مرة واحدة، سنرى الصورة مرتين؟

لقد نظرنا بالفعل - .

ماذا لو ألقينا قطعة نقود مرة واحدة؟ ما هو احتمال رؤية النسر مرتين على التوالي؟

إجمالي الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر النسر
2. رؤوس-رؤوس-ذيول
3. رؤوس-ذيول-رؤوس
4. رؤساء ذيول ذيول
5. ذيول-رؤوس-رؤوس
6. ذيول-رؤوس-ذيول
7. ذيول-ذيول-رؤوس
8. ذيول ذيول ذيول

لا أعرف عنك، لكنني ارتكبت أخطاء عدة مرات عند تجميع هذه القائمة. رائع! والخيار الوحيد (الأول) يناسبنا.

بالنسبة لخمس رميات، يمكنك عمل قائمة بالنتائج المحتملة بنفسك. لكن علماء الرياضيات ليسوا مجتهدين مثلك.

لذلك، لاحظوا أولاً ثم أثبتوا أن احتمالية حدوث تسلسل معين من الأحداث المستقلة في كل مرة تقل بمقدار احتمالية حدث واحد.

بعبارة أخرى،

دعونا نلقي نظرة على مثال نفس العملة المشؤومة.

احتمال الحصول على رؤوس في التحدي؟ . الآن نقوم بقلب العملة مرة واحدة.

ما هو احتمال الحصول على رؤوس متتالية؟

لا تعمل هذه القاعدة فقط إذا طُلب منا إيجاد احتمال حدوث نفس الحدث عدة مرات متتالية.

إذا أردنا إيجاد تسلسل الذيل-الرأس-الذيل للرميات المتتالية، فسنفعل الشيء نفسه.

احتمال الحصول على ذيول هو , رؤوس - .

احتمال الحصول على تسلسل TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

يمكنك التحقق من ذلك بنفسك عن طريق عمل جدول.

قاعدة إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة.

حتى يوقفوا! تعريف جديد.

دعونا معرفة ذلك. دعونا نأخذ عملتنا المعدنية البالية ونرميها مرة واحدة.
الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر النسر
2. رؤوس-رؤوس-ذيول
3. رؤوس-ذيول-رؤوس
4. رؤساء ذيول ذيول
5. ذيول-رؤوس-رؤوس
6. ذيول-رؤوس-ذيول
7. ذيول-ذيول-رؤوس
8. ذيول ذيول ذيول

لذا، فإن الأحداث غير المتوافقة هي تسلسل معين للأحداث. - هذه أحداث غير متوافقة.

إذا أردنا تحديد احتمال وقوع حدثين (أو أكثر) غير متوافقين، فإننا نضيف احتمالات هذه الأحداث.

عليك أن تفهم أن الرؤوس أو الذيول هما حدثان مستقلان.

إذا أردنا تحديد احتمال حدوث تسلسل (أو أي تسلسل آخر)، فإننا نستخدم قاعدة ضرب الاحتمالات.
ما هو احتمال الحصول على رأس في الرمية الأولى وكتابة في الرمية الثانية والثالثة؟

ولكن إذا أردنا أن نعرف ما هو احتمال الحصول على واحدة من عدة تسلسلات، على سبيل المثال، عندما تظهر الرؤوس مرة واحدة بالضبط، أي. الخيارات، ثم يجب علينا جمع احتمالات هذه التسلسلات.

مجموع الخيارات تناسبنا.

يمكننا الحصول على نفس الشيء عن طريق جمع احتمالات حدوث كل تسلسل:

وبالتالي، فإننا نضيف الاحتمالات عندما نريد تحديد احتمالية حدوث تسلسلات معينة وغير متسقة من الأحداث.

هناك قاعدة رائعة تساعدك على تجنب الخلط بين متى تضرب ومتى تضيف:

دعونا نعود إلى المثال الذي قمنا فيه بإلقاء عملة معدنية مرة واحدة وأردنا معرفة احتمال رؤية الصورة مرة واحدة.
ما الذي سيحدث؟

يجب أن تسقط:
(رؤوس وذيول وذيول) أو (ذيول ورؤوس وذيول) أو (ذيول وذيول ورؤوس).
هكذا اتضح:

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 5.

هناك أقلام رصاص في الصندوق. الأحمر والأخضر والبرتقالي والأصفر والأسود. ما هو احتمال رسم أقلام الرصاص الحمراء أو الخضراء؟

حل:

ما الذي سيحدث؟ علينا أن نسحب (أحمر أو أخضر).

الآن أصبح الأمر واضحًا، فلنجمع احتمالات هذه الأحداث:

إجابة:

مثال 6.

إذا ألقي حجر النرد مرتين، فما احتمال الحصول على العدد الإجمالي 8؟

حل.

كيف يمكننا الحصول على النقاط؟

(و) أو (و) أو (و) أو (و) أو (و).

احتمال الحصول على وجه واحد (أي) هو .

نحسب الاحتمال:

إجابة:

تمرين.

أعتقد أنك الآن تفهم متى تحتاج إلى حساب الاحتمالات، ومتى تضيفها، ومتى تضربها. أليس كذلك؟ دعونا نتدرب قليلا.

مهام:

لنأخذ مجموعة بطاقات تحتوي على بطاقات تتضمن البستوني والقلوب و13 مضربًا و13 ماسة. من إلى الآس من كل دعوى.

1. ما هو احتمال سحب الأندية على التوالي (نضع البطاقة الأولى التي تم سحبها مرة أخرى في المجموعة ونقوم بخلطها)؟
2. ما هو احتمال سحب البطاقة السوداء (البستوني أو الهراوات)؟
3. ما هو احتمال رسم صورة (جاك، الملكة، الملك أو الآس)؟
4. ما هو احتمال رسم صورتين متتاليتين (نزيل البطاقة الأولى المسحوبة من المجموعة)؟
5. ما هو احتمال، عند أخذ ورقتين، لجمع مجموعة - (جاك، الملكة أو الملك) والآس؟التسلسل الذي يتم سحب البطاقات به لا يهم.

الإجابات:

1. في مجموعة البطاقات لكل قيمة، يعني ذلك:
2. تعتمد الأحداث على بعضها البعض، لأنه بعد سحب البطاقة الأولى، انخفض عدد البطاقات الموجودة في المجموعة (كما انخفض عدد "الصور"). يوجد إجمالي الرافعات والملكات والملوك والآص في المجموعة في البداية، مما يعني احتمال رسم "صورة" بالبطاقة الأولى:

   نظرًا لأننا قمنا بإزالة البطاقة الأولى من المجموعة، فهذا يعني أن هناك بالفعل بطاقات متبقية في المجموعة، بما في ذلك الصور. احتمالية رسم صورة بالبطاقة الثانية:

   نظرًا لأننا مهتمون بالموقف عندما نخرج "صورة" و"صورة" من سطح السفينة، فنحن بحاجة إلى مضاعفة الاحتمالات:

   إجابة:

3. بعد سحب البطاقة الأولى، سيقل عدد البطاقات الموجودة في المجموعة، وبالتالي يناسبنا خياران:
   1) البطاقة الأولى هي الآس، والثانية هي جاك أو الملكة أو الملك
   2) نخرج جاك أو ملكة أو ملكًا بالبطاقة الأولى وآصًا بالبطاقة الثانية. (الآس و (جاك أو الملكة أو الملك)) أو ((جاك أو الملكة أو الملك) و الآس). لا تنس تقليل عدد البطاقات الموجودة في المجموعة!

إذا تمكنت من حل جميع المشاكل بنفسك، فأنت عظيم! الآن سوف تتمكن من حل مسائل نظرية الاحتمالات في امتحان الدولة الموحدة مثل المكسرات!

نظرية الاحتمالات. مستوى متوسط

لنلقي نظرة على مثال. لنفترض أننا رمينا حجر النرد. أي نوع من العظام هذا، هل تعلم؟ هذا ما يسمونه المكعب ذو الأرقام على وجوهه. كم عدد الوجوه، العديد من الأرقام: من إلى كم؟ قبل.

لذلك نحن نرمي النرد ونريد أن يأتي أو. ونحن نحصل عليه.

في نظرية الاحتمالات يقولون ما حدث الحدث الميمون(يجب عدم الخلط بينه وبين الازدهار).

إذا حدث ذلك، فإن الحدث سيكون مناسبا أيضا. في المجمل، يمكن أن يحدث حدثان إيجابيان فقط.

كم منهم غير مواتية؟ نظرًا لوجود إجمالي الأحداث المحتملة، فهذا يعني أن الأحداث غير المواتية هي أحداث (هذا إذا أو سقط).

تعريف:

الاحتمال هو نسبة عدد الأحداث المواتية إلى عدد جميع الأحداث المحتملة. وهذا يعني أن الاحتمال يوضح نسبة جميع الأحداث الممكنة التي تكون مواتية.

يُشار إلى الاحتمالية بحرف لاتيني (على ما يبدو من كلمة انجليزيةالاحتمال - الاحتمال).

من المعتاد قياس الاحتمالية كنسبة مئوية (انظر المواضيع و). للقيام بذلك، يجب ضرب قيمة الاحتمال. في مثال النرد، الاحتمال.

وبالنسبة : .

أمثلة (قرر بنفسك):

1. ما هو احتمال ظهور الصورة عند رمي قطعة نقود؟ ما هو احتمال هبوط الرؤوس؟
2. ما هو احتمال الحصول على عدد زوجي عند رمي حجر النرد؟ أيهما غريب؟
3. في علبة أقلام رصاص بسيطة باللونين الأزرق والأحمر. نرسم قلم رصاص واحد بشكل عشوائي. ما هو احتمال الحصول على واحدة بسيطة؟

حلول:

1. كم عدد الخيارات الموجودة؟ الرؤوس والذيول - اثنان فقط. كم منهم مواتية؟ واحد فقط هو النسر. لذلك الاحتمال

   إنه نفس الشيء مع ذيول: .

2. إجمالي الخيارات: (كم عدد جوانب المكعب، والعديد من الخيارات المختلفة). المفضلة: (هذه كلها أرقام زوجية:).
   احتمالا. وبطبيعة الحال، نفس الشيء مع الأرقام الفردية.
3. المجموع: . ملائم: . احتمالا: .

الاحتمال الإجمالي

جميع أقلام الرصاص الموجودة في الصندوق باللون الأخضر. ما هو احتمال رسم قلم رصاص أحمر؟ لا توجد فرص: احتمال (بعد كل شيء، أحداث مواتية -).

مثل هذا الحدث يسمى مستحيل.

ما هو احتمال رسم قلم رصاص أخضر؟ يوجد بالضبط نفس عدد الأحداث المواتية مثل إجمالي الأحداث (جميع الأحداث مواتية). وبالتالي فإن الاحتمال يساوي أو.

مثل هذا الحدث يسمى موثوق.

إذا كان الصندوق يحتوي على أقلام رصاص باللونين الأخضر والأحمر، فما احتمال الرسم باللون الأخضر أو ​​الأحمر؟ مرة أخرى. لنلاحظ ما يلي: احتمال سحب اللون الأخضر متساوٍ، والأحمر متساوٍ.

باختصار، هذه الاحتمالات متساوية تمامًا. إنه، مجموع احتمالات كل الأحداث الممكنة يساوي أو.

مثال:

في علبة أقلام رصاص منها الأزرق والأحمر والأخضر والسادة والأصفر والباقي برتقالي. ما هو احتمال عدم الرسم باللون الأخضر؟

حل:

نتذكر أن كل الاحتمالات تضيف ما يصل. واحتمال الحصول على اللون الأخضر متساوي. وهذا يعني أن احتمال عدم رسم اللون الأخضر متساوي.

تذكر هذه الخدعة:احتمال عدم وقوع حدث يساوي مطروحًا منه احتمال وقوع الحدث.

الأحداث المستقلة وقاعدة الضرب

تقلب عملة معدنية مرة واحدة وتريد أن تظهر لك الصورة في المرتين. ما هو احتمال هذا؟

دعنا نستعرض جميع الخيارات الممكنة ونحدد عددها:

رؤوس - رؤوس، رؤوس - ذيول، رؤوس - ذيول، ذيول - ذيول. ماذا بعد؟

إجمالي الخيارات. من بين هؤلاء، واحد فقط يناسبنا: النسر النسر. في المجمل، الاحتمال متساوي.

بخير. الآن دعونا نقلب عملة معدنية مرة واحدة. قم بالحسابات بنفسك. حدث؟ (إجابة).

ربما لاحظت أنه مع إضافة كل رمية لاحقة، ينخفض ​​الاحتمال بمقدار النصف. القاعدة العامة تسمى قاعدة الضرب:

تتغير احتمالات الأحداث المستقلة.

ما هي الأحداث المستقلة؟ كل شيء منطقي: هؤلاء هم الذين لا يعتمدون على بعضهم البعض. على سبيل المثال، عندما نرمي عملة معدنية عدة مرات، في كل مرة يتم إجراء رمية جديدة، لا تعتمد نتيجتها على جميع الرميات السابقة. يمكننا بسهولة رمي عملتين مختلفتين في نفس الوقت.

مزيد من الأمثلة:

1. يتم رمي النرد مرتين. ما هو احتمال الحصول عليه في المرتين؟
2. يتم رمي العملة مرة واحدة. ما هو احتمال ظهور الصورة على الوجه في المرة الأولى ثم الكتابة على الوجه مرتين؟
3. يرمي اللاعب قطعتين من النرد. ما هو احتمال أن يكون مجموع الأرقام الموجودة عليها متساويا؟

الإجابات:

1. الأحداث مستقلة، مما يعني أن قاعدة الضرب تعمل: .
2. احتمال الرؤوس متساوي. احتمال ذيول هو نفسه. تتضاعف:
3. لا يمكن الحصول على 12 إلا إذا تم دحرجة اثنين -ki: .

الأحداث غير المتوافقة وقاعدة الإضافة

الأحداث التي تكمل بعضها البعض إلى حد الاحتمال الكامل تسمى غير متوافقة. وكما يوحي الاسم، لا يمكن أن يحدثا في وقت واحد. على سبيل المثال، إذا قمنا بقلب عملة معدنية، فمن الممكن أن تظهر الصورة أو الكتابة.

مثال.

في علبة أقلام رصاص منها الأزرق والأحمر والأخضر والسادة والأصفر والباقي برتقالي. ما هو احتمال الرسم باللون الأخضر أو ​​الأحمر؟

حل .

احتمال الرسم بقلم رصاص أخضر متساوي. أحمر - .

الأحداث المواتية للجميع: أخضر + أحمر. وهذا يعني أن احتمال الرسم باللون الأخضر أو ​​الأحمر متساوي.

يمكن تمثيل نفس الاحتمال في هذا النموذج: .

هذه هي قاعدة الإضافة:احتمالات الأحداث غير المتوافقة تضيف ما يصل.

مشاكل من النوع المختلط

مثال.

يتم رمي العملة مرتين. ما هو احتمال أن تكون نتائج اللفات مختلفة؟

حل .

وهذا يعني أنه إذا كانت النتيجة الأولى هي الرؤوس، فيجب أن تكون النتيجة الثانية الذيل، والعكس صحيح. اتضح أن هناك زوجين من الأحداث المستقلة، وهذه الأزواج غير متوافقة مع بعضها البعض. كيف لا تحتار بشأن مكان الضرب ومكان الإضافة.

هناك قاعدة بسيطة لمثل هذه المواقف. حاول وصف ما سيحدث باستخدام أدوات العطف "AND" أو "OR". على سبيل المثال، في هذه الحالة:

يجب أن يأتي (الرؤوس والذيول) أو (الذيول والرؤوس).

حيثما يوجد حرف العطف "و" يكون الضرب، وحيثما يكون "أو" يكون الجمع:

جربها بنفسك:

1. ما هو احتمال أنه إذا ألقيت قطعة نقد مرتين، فإن العملة ستستقر على نفس الجانب في المرتين؟
2. يتم رمي النرد مرتين. ما هو احتمال الحصول على مجموع النقاط؟

حلول:

1. (سقطت الرؤوس وسقط الذيل) أو (سقطت الرؤوس وسقط الذيول): .
2. ما هي الخيارات؟ و. ثم:
   أسقطت (و) أو (و) أو (و): .

مثال آخر:

إرم عملة معدنية مرة واحدة. ما هو احتمال ظهور الرؤوس مرة واحدة على الأقل؟

حل:

أوه، كيف لا أريد أن أخوض في الخيارات... الرؤوس-أذيل-أذيل، رؤوس-أذيل-أذيل،...ولكن ليس هناك حاجة! دعونا نتذكر حول الاحتمال الكلي. هل تذكر؟ ما هو احتمال أن النسر لن تسقط أبدا؟ الأمر بسيط: الرؤوس تطير طوال الوقت، وهذا هو السبب.

نظرية الاحتمالات. باختصار عن الأشياء الرئيسية

الاحتمال هو نسبة عدد الأحداث المواتية إلى عدد جميع الأحداث المحتملة.

أحداث مستقلة

يكون الحدثان مستقلين إذا كان وقوع أحدهما لا يغير من احتمال وقوع الآخر.

الاحتمال الإجمالي

احتمال جميع الأحداث الممكنة يساوي ().

احتمال عدم وقوع حدث يساوي مطروحًا منه احتمال وقوع الحدث.

قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة

احتمال تسلسل معين من الأحداث المستقلة يساوي حاصل ضرب احتمالات كل حدث

أحداث غير متوافقة

الأحداث غير المتوافقة هي تلك التي لا يمكن أن تحدث في وقت واحد نتيجة للتجربة. يشكل عدد من الأحداث غير المتوافقة مجموعة كاملة من الأحداث.

احتمالات الأحداث غير المتوافقة تضيف ما يصل.

بعد وصف ما يجب أن يحدث، باستخدام أدوات العطف "AND" أو "OR"، بدلاً من "AND" نضع علامة الضرب، وبدلاً من "OR" نضع علامة الجمع.

المقالات 2/3 المتبقية متاحة فقط للطلاب الأذكياء!

كن طالبًا في YouClever،

الاستعداد لامتحان الدولة الموحدة أو امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات بسعر "فنجان قهوة شهريًا"،

واحصل أيضًا على وصول غير محدود إلى الكتاب المدرسي "YouClever"، وبرنامج الإعداد (المصنف) "100gia"، غير محدود محاكمة امتحان الدولة الموحدةو OGE و 6000 مشكلة مع تحليل الحلول والخدمات الأخرى YouClever و 100gia.

عندما يتم رمي قطعة نقود، يمكننا القول إنها ستستقر على الصورة، أو احتمالا هذا هو 1/2. وبطبيعة الحال، هذا لا يعني أنه إذا تم رمي قطعة نقود 10 مرات، فإنها بالضرورة ستهبط على الصورة 5 مرات. إذا كانت العملة "عادلة" وإذا تم رميها عدة مرات، فستهبط الصورة قريبة جدًا في نصف المرات. وبالتالي فإن هناك نوعين من الاحتمالات: تجريبي و نظري .

الاحتمال التجريبي والنظري

إذا رميت عملة معدنية عدد كبير منمرة - لنقل 1000 - وبإحصاء عدد مرات رمي ​​الرؤوس، يمكننا تحديد احتمالية رمي الرؤوس. إذا تم رمي الرؤوس 503 مرات، فيمكننا حساب احتمال سقوطها:
503/1000 أو 0.503.

هذا تجريبي تعريف الاحتمال. يأتي تعريف الاحتمال هذا من مراقبة البيانات ودراستها وهو شائع جدًا ومفيد جدًا. وإليكم على سبيل المثال بعض الاحتمالات التي تم تحديدها تجريبيا:

1. احتمالية إصابة المرأة بسرطان الثدي هي 1/11.

2. إذا قبلت شخصًا مصابًا بنزلة برد، فإن احتمال إصابتك بنزلة برد أيضًا هو 0.07.

3. الشخص الذي تم إطلاق سراحه للتو من السجن لديه فرصة 80٪ للعودة إلى السجن.

إذا أخذنا في الاعتبار رمي عملة معدنية وأخذنا في الاعتبار أنه من المحتمل أن تظهر الصورة أو الكتابة، فيمكننا حساب احتمال الحصول على الصورة: 1/2، وهذا تعريف نظري للاحتمال. فيما يلي بعض الاحتمالات الأخرى التي تم تحديدها نظريًا باستخدام الرياضيات:

1. إذا كان هناك 30 شخصًا في غرفة، فإن احتمال أن يكون لاثنين منهم نفس تاريخ الميلاد (باستثناء السنة) هو 0.706.

2. خلال الرحلة تلتقي بشخص ما، وأثناء الحديث تكتشف أن لديك صديق مشترك. رد الفعل النموذجي: "هذا لا يمكن أن يكون!" في الواقع، هذه العبارة غير مناسبة، لأن احتمال حدوث مثل هذا الحدث مرتفع جدًا - ما يزيد قليلاً عن 22٪.

وبالتالي، يتم تحديد الاحتمالات التجريبية من خلال الملاحظة وجمع البيانات. يتم تحديد الاحتمالات النظرية من خلال التفكير الرياضي. إن أمثلة الاحتمالات التجريبية والنظرية، مثل تلك التي تمت مناقشتها أعلاه، وخاصة تلك التي لا نتوقعها، تقودنا إلى أهمية دراسة الاحتمالات. قد تسأل: "ما هو الاحتمال الحقيقي؟" في الواقع، لا يوجد شيء من هذا القبيل. يمكن تحديد الاحتمالات ضمن حدود معينة تجريبيا. وقد تتطابق أو لا تتطابق مع الاحتمالات التي نحصل عليها من الناحية النظرية. هناك مواقف يكون فيها تحديد نوع واحد من الاحتمالات أسهل بكثير من تحديد نوع آخر. على سبيل المثال، سيكون كافيًا العثور على احتمال الإصابة بنزلة برد باستخدام الاحتمال النظري.

حساب الاحتمالات التجريبية

دعونا نفكر أولاً في التعريف التجريبي للاحتمال. المبدأ الأساسي الذي نستخدمه لحساب هذه الاحتمالات هو كما يلي.

المبدأ P (تجريبي)

إذا حدث في تجربة تم فيها إجراء n من الملاحظات، حدوث موقف أو حدث E مرات m في n من الملاحظات، فيقال إن الاحتمال التجريبي للحدث هو P (E) = m/n.

مثال 1 المسح الاجتماعي. عقدت دراسة تجريبيةلتحديد عدد الأشخاص الذين يستخدمون اليد اليسرى واليمنى والأشخاص الذين لديهم أيدي متساوية في النمو، وتظهر النتائج في الرسم البياني.

أ) حدد احتمال أن يكون الشخص أيمن.

ب) حدد احتمال أن يكون الشخص أعسر.

ج) تحديد احتمال أن يكون الشخص يتقن كلتا يديه بشكل متساوٍ.

د) تقتصر معظم بطولات اتحاد البولينج الاحترافية على 120 لاعبًا. بناءً على بيانات هذه التجربة، كم عدد اللاعبين الذين يمكن أن يستخدموا اليد اليسرى؟

حل

أ) عدد الأشخاص الذين يستخدمون اليد اليمنى هو 82، وعدد الأشخاص الذين يستخدمون اليد اليسرى هو 17، وعدد الذين يتقنون كلتا اليدين بشكل متساوٍ هو 1. إجمالي عدد الملاحظات هو 100، وبالتالي فإن الاحتمال أن الشخص يستخدم يده اليمنى هو P
P = 82/100 أو 0.82 أو 82%.

ب) احتمال أن يكون الشخص أعسر هو P، حيث
P = 17/100 أو 0.17 أو 17%.

ج) احتمال أن يتقن الشخص كلتا يديه بالتساوي هو P، حيث
P = 1/100، أو 0.01، أو 1%.

د) 120 لاعبًا، ومن (ب) يمكننا أن نتوقع أن 17% منهم أعسر. من هنا
17% من 120 = 0.17.120 = 20.4،
أي أنه يمكننا أن نتوقع أن يكون حوالي 20 لاعبًا أعسرًا.

مثال 2 رقابة جودة . من المهم جدًا أن تحافظ الشركة المصنعة على جودة منتجاتها مستوى عال. في الواقع، تقوم الشركات بتعيين مفتشي مراقبة الجودة لضمان هذه العملية. الهدف هو إنتاج أقل عدد ممكن من المنتجات المعيبة. ولكن بما أن الشركة تنتج آلاف المنتجات يوميًا، فلا يمكنها تحمل تكاليف اختبار كل منتج لتحديد ما إذا كان به عيب أم لا. لمعرفة النسبة المئوية للمنتجات المعيبة، تقوم الشركة باختبار عدد أقل بكثير من المنتجات.
الوزارة زراعةوتشترط الولايات المتحدة أن تنبت 80% من البذور التي يبيعها المزارعون. لتحديد نوعية البذور التي تنتجها شركة زراعية، يتم زراعة 500 بذرة من تلك التي تم إنتاجها. وبعد ذلك تم حساب أن 417 بذرة قد نبتت.

أ) ما هو احتمال أن تنبت البذرة؟

ب) هل تفي البذور بالمعايير الحكومية؟

حلأ) نعلم أنه من أصل 500 بذرة زرعت، نبتت 417 بذرة. احتمال إنبات البذور P، و
P = 417/500 = 0.834 أو 83.4%.

ب) بما أن نسبة البذور النابتة تجاوزت 80% كما هو مطلوب، فإن البذور مطابقة للمعايير الحكومية.

مثال 3 تقييمات التلفزيون. وفقا للإحصاءات، هناك 105.500.000 أسرة لديها أجهزة تلفزيون في الولايات المتحدة. يتم جمع ومعالجة معلومات حول عرض البرامج كل أسبوع. في أسبوع واحد، تابعت 7,815,000 أسرة المسلسل الكوميدي الناجح "Everybody Loves Raymond" على شبكة CBS، واستمعت 8,302,000 أسرة إلى المسلسل الناجح "Law & Order" على شبكة NBC (المصدر: Nielsen Media Research). ما هو احتمال أن يتم ضبط تلفزيون إحدى الأسر على أغنية "Everybody Loves Raymond" خلال أسبوع معين؟ على أغنية "Law & Order"؟

حلاحتمال ضبط التلفزيون في منزل واحد على أغنية "Everybody Loves Raymond" هو P، و
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
فرصة ضبط تلفزيون الأسرة على Law & Order هي P و
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
وتسمى هذه النسب التقييمات.

الاحتمال النظري

لنفترض أننا نجري تجربة، مثل رمي عملة معدنية أو رمي السهام، أو سحب بطاقة من مجموعة أوراق اللعب، أو اختبار جودة المنتجات على خط التجميع. تسمى كل نتيجة محتملة لمثل هذه التجربة الخروج . تسمى مجموعة كل النواتج الممكنة مساحة النتيجة . حدث إنها مجموعة من النتائج، أي مجموعة فرعية من مساحة النتائج.

مثال 4 رمي السهام. لنفترض أنه في تجربة رمي السهام، أصاب السهم هدفًا. ابحث عن كل مما يلي:

ب) مساحة النتيجة

حل
أ) النتائج هي: الضرب باللون الأسود (B)، والضرب باللون الأحمر (R)، والضرب باللون الأبيض (B).

ب) مساحة النتائج هي (ضرب أسود، ضرب أحمر، ضرب أبيض)، والتي يمكن كتابتها ببساطة كـ (H، K، B).

مثال 5 رمي النرد. النرد عبارة عن مكعب له ستة جوانب، كل منها به من نقطة إلى ست نقاط.


لنفترض أننا نرمي حجر النرد. يجد
أ) النتائج
ب) مساحة النتيجة

حل
أ) النتائج: 1، 2، 3، 4، 5، 6.
ب) مساحة النتيجة (1، 2، 3، 4، 5، 6).

نشير إلى احتمال حدوث الحدث E كـ P(E). على سبيل المثال، يمكن الإشارة إلى "العملة المعدنية ستهبط على الرؤوس" بالرمز H. ثم يمثل P(H) احتمال هبوط العملة على الرؤوس. عندما يكون لجميع نتائج التجربة نفس احتمالية الحدوث، يقال إنها متساوية في الاحتمال. لرؤية الاختلافات بين الأحداث التي لها نفس القدر من الاحتمال والأحداث التي ليست كذلك، فكر في الهدف الموضح أدناه.

بالنسبة للهدف أ، تكون أحداث ضرب الأسود والأحمر والأبيض محتملة بنفس القدر، حيث أن القطاعات الأسود والأحمر والأبيض هي نفسها. ومع ذلك، بالنسبة للهدف B، فإن المناطق ذات هذه الألوان ليست هي نفسها، أي أن ضربها ليس محتملًا بنفس القدر.

المبدأ P (نظري)

إذا كان الحدث E يمكن أن يحدث بـ m طرق خارج n من النتائج المحتملة بنفس القدر من فضاء النتيجة S، إذن الاحتمال النظري الأحداث، P (E) هو
ف(ه) = م / ن.

مثال 6ما هو احتمال رمي حجر النرد للحصول على الرقم 3؟

حلهناك 6 نتائج محتملة متساوية على حجر النرد وهناك احتمال واحد فقط لرمي الرقم 3. إذن الاحتمال P سيكون P(3) = 1/6.

مثال 7ما هو احتمال ظهور رقم زوجي على حجر النرد؟

حلالحدث هو رمي عدد زوجي. يمكن أن يحدث هذا بثلاث طرق (إذا حصلت على 2 أو 4 أو 6). عدد النتائج المحتملة بالتساوي هو 6. ثم الاحتمال P (زوجي) = 3/6، أو 1/2.

سوف نستخدم عددًا من الأمثلة التي تشتمل على مجموعة بطاقات قياسية مكونة من 52 بطاقة. تتكون هذه المجموعة من البطاقات الموضحة في الشكل أدناه.

مثال 8ما هو احتمال سحب الآس من مجموعة أوراق تم خلطها جيدًا؟

حلهناك 52 نتيجة (عدد البطاقات في المجموعة)، وهي متساوية في الاحتمال (إذا تم خلط المجموعة جيدًا)، وهناك 4 طرق لرسم الآس، لذا وفقًا لمبدأ P، فإن الاحتمال
P(رسم الآس) = 4/52، أو 1/13.

مثال 9لنفترض أننا اخترنا، دون النظر، كرة واحدة من كيس به 3 كرات حمراء و4 كرات خضراء. ما هو احتمال اختيار الكرة الحمراء؟

حلهناك 7 نتائج محتملة متساوية لسحب أي كرة، وبما أن عدد طرق سحب الكرة الحمراء هو 3، فإننا نحصل على
P(اختيار الكرة الحمراء) = 3/7.

العبارات التالية هي نتائج من المبدأ P.

خصائص الاحتمال

أ) إذا كان الحدث E لا يمكن أن يحدث، فإن P(E) = 0.
ب) إذا كان الحدث E مؤكد الحدوث فإن P(E) = 1.
ج) احتمال وقوع الحدث E هو رقم من 0 إلى 1: 0 ≥ P(E) ≥ 1.

على سبيل المثال، في عملية رمي العملة، يكون احتمال سقوط العملة على حافتها صفرًا. احتمال أن تكون العملة إما صورة أو كتابة هو احتمال 1.

مثال 10لنفترض أنه تم سحب بطاقتين من مجموعة مكونة من 52 بطاقة. ما هو احتمال أن يكون كلاهما قمتين؟

حلعدد طرق سحب ورقتين من مجموعة من 52 بطاقة تم خلطها جيدًا هو 52 C 2 . بما أن 13 من أصل 52 بطاقة هي بستوني، فإن عدد الطرق m لسحب بستونيتين هو 13 C 2 . ثم،
P(سحب قمتين) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

مثال 11لنفترض أنه تم اختيار 3 أشخاص عشوائيًا من مجموعة مكونة من 6 رجال و4 نساء. ما هو احتمال اختيار رجل وامرأتين؟

حلعدد طرق اختيار ثلاثة أشخاص من مجموعة مكونة من 10 أشخاص هو 10ج3. يمكن اختيار رجل واحد بـ 6 طرق C 1، ويمكن اختيار امرأتين بـ 4 طرق C 2. وفقًا للمبدأ الأساسي للعد، فإن عدد الطرق لاختيار رجل واحد وامرأتين هو 6 ج 1. 4 ج2 . إذن، احتمال اختيار رجل وامرأتين هو
ف = 6 ج 1 . 4 ج2 / 10 ج3 = 3/10.

مثال 12 رمي النرد. ما هو احتمال ظهور إجمالي 8 على حجري نرد؟

حلكل حجر نرد له 6 نتائج محتملة. يتم مضاعفة النتائج، مما يعني أن هناك 6.6 أو 36 طريقة محتملة يمكن من خلالها ظهور الأرقام الموجودة على حجري النرد. (من الأفضل أن تكون المكعبات مختلفة، لنقل أن أحدهما أحمر والآخر أزرق - وهذا سيساعد على تصور النتيجة.)

تظهر أزواج الأرقام التي يصل مجموعها إلى 8 في الشكل أدناه. هناك 5 طرق ممكنة للحصول على مجموع يساوي 8، وبالتالي فإن الاحتمال هو 5/36.