التوقع الرياضي للمتغير العشوائي. خصائص التوقع الرياضي إيجاد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي

الخصائص العددية الأساسية للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة: القيمة المتوقعة، التباين والانحراف المعياري. خصائصهم وأمثلة.

يصف قانون التوزيع (وظيفة التوزيع وسلسلة التوزيع أو كثافة الاحتمالية) السلوك بشكل كامل متغير عشوائي. لكن في عدد من المسائل، يكفي معرفة بعض الخصائص العددية للقيمة قيد الدراسة (على سبيل المثال، قيمتها المتوسطة واحتمال انحرافها عنها) للإجابة على السؤال المطروح. دعونا ننظر في الخصائص العددية الرئيسية للمتغيرات العشوائية المنفصلة.

التعريف 7.1.التوقع الرياضيالمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع منتجات قيمه المحتملة والاحتمالات المقابلة لها:

م(X) = X 1 ر 1 + X 2 ر 2 + … + س ص ص.(7.1)

إذا كان عدد القيم الممكنة للمتغير العشوائي لانهائي، فإذا كانت المتسلسلة الناتجة متقاربة بشكل مطلق.

ملاحظة 1.يُطلق على التوقع الرياضي أحيانًا اسم متوسط ​​الوزنلأنه يساوي تقريبًا الوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي على عدد كبير من التجارب.

ملاحظة 2.ويترتب على تعريف التوقع الرياضي أن قيمته لا تقل عن أصغر قيمة ممكنة للمتغير العشوائي ولا تزيد عن أكبرها.

ملاحظة 3.التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل هو غير عشوائي(ثابت. وسنرى لاحقًا أن الأمر نفسه ينطبق على المتغيرات العشوائية المستمرة.

مثال 1. أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X- عدد الأجزاء القياسية من بين ثلاثة أجزاء تم اختيارها من مجموعة مكونة من 10 أجزاء، بما في ذلك قطعتان معيبتان. لنقم بإنشاء سلسلة توزيع لـ X. من شروط المشكلة يتبع ذلك Xيمكن أن تأخذ القيم 1، 2، 3. ثم

مثال 2. حدد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X- عدد رميات العملة قبل أول ظهور لشعار النبالة. يمكن أن تأخذ هذه الكمية عددًا لا نهائيًا من القيم (مجموعة القيم الممكنة هي مجموعة الأعداد الطبيعية). سلسلة التوزيع الخاصة بها لها الشكل:

X			…	ص	…
ر	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)ص	…

+ (عند الحساب، تم استخدام صيغة مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي مرتين: ، من أين ).

خصائص التوقع الرياضي.

1) التوقع الرياضي للثابت يساوي الثابت نفسه:

م(مع) = مع.(7.2)

دليل. إذا اعتبرنا معكمتغير عشوائي منفصل يأخذ قيمة واحدة فقط معمع الاحتمال ر= 1 إذن م(مع) = مع?1 = مع.

2) يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التوقع الرياضي:

م(تجربة العملاء) = سم(X). (7.3)

دليل. إذا كان المتغير العشوائي Xالمقدمة من سلسلة التوزيع

ثم م(تجربة العملاء) = Cx 1 ر 1 + Cx 2 ر 2 + … + س س ص ص ص = مع(X 1 ر 1 + X 2 ر 2 + … + س ص ص) = سم(X).

التعريف 7.2.يتم استدعاء متغيرين عشوائيين مستقلإذا كان قانون التوزيع لأحدهما لا يعتمد على القيم التي اتخذها الآخر. وإلا المتغيرات العشوائية متكل.

التعريف 7.3.لنتصل نتاج المتغيرات العشوائية المستقلة Xو ي متغير عشوائي س ص، والتي تكون قيمها المحتملة مساوية لحاصل ضرب جميع القيم الممكنة Xلجميع القيم الممكنة ي، والاحتمالات المقابلة تساوي حاصل ضرب احتمالات العوامل.

3) التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية:

م(س ص) = م(X)م(ي). (7.4)

دليل. لتبسيط الحسابات، فإننا نقتصر على الحالة عندما Xو يخذ قيمتين محتملتين فقط:

لذلك، م(س ص) = س 1 ذ 1 ?ص 1 ز 1 + س 2 ذ 1 ?ص 2 ز 1 + س 1 ذ 2 ?ص 1 ز 2 + س 2 ذ 2 ?ص 2 ز 2 = ذ 1 ز 1 (س 1 ص 1 + س 2 ص 2) + + ذ 2 ز 2 (س 1 ص 1 + س 2 ص 2) = (ذ 1 ز 1 + ذ 2 ز 2) (س 1 ص 1 + س 2 ص 2) = م(X)?م(ي).

ملاحظة 1.يمكنك بالمثل إثبات هذه الخاصية لعدد أكبر من القيم المحتملة للعوامل.

ملاحظة 2.الخاصية 3 تنطبق على حاصل ضرب أي عدد من المتغيرات العشوائية المستقلة، وهو ما يتم إثباته عن طريق الاستقراء الرياضي.

التعريف 7.4.دعونا نحدد مجموع المتغيرات العشوائية Xو ي كمتغير عشوائي س+ص، والتي تكون قيمها المحتملة مساوية لمجموع كل قيمة محتملة Xبكل قيمة ممكنة ي; احتمالات هذه المجاميع تساوي منتجات احتمالات المصطلحات (للمتغيرات العشوائية التابعة - منتجات احتمال مصطلح واحد بواسطة احتمال مشروطثانية).

4) التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين (تابع أو مستقل) يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات:

م (س+ص) = م (X) + م (ي). (7.5)

دليل.

دعونا نفكر مرة أخرى في المتغيرات العشوائية المحددة بواسطة سلسلة التوزيع الواردة في إثبات الخاصية 3. ثم القيم المحتملة س+صنكون X 1 + في 1 , X 1 + في 2 , X 2 + في 1 , X 2 + في 2. دعونا نشير إلى احتمالاتها على التوالي ر 11 , ر 12 , ر 21 و ر 22. سوف نجد م(X+ي) = (س 1 + ذ 1)ص 11 + (س 1 + ذ 2)ص 12 + (س 2 + ذ 1)ص 21 + (س 2 + ذ 2)ص 22 =

= س 1 (ص 11 + ص 12) + س 2 (ص 21 + ص 22) + ذ 1 (ص 11 + ص 21) + ذ 2 (ص 12 + ص 22).

دعونا نثبت ذلك ر 11 + ر 22 = ر 1 . والواقع أن الحدث س+صسوف تأخذ القيم X 1 + في 1 أو X 1 + في 2 واحتمال ذلك هو ر 11 + ر 22 يتزامن مع الحدث الذي X = X 1 (احتماله ر 1). وقد ثبت بطريقة مماثلة ذلك ص 21 + ص 22 = ر 2 , ص 11 + ص 21 = ز 1 , ص 12 + ص 22 = ز 2. وسائل،

م(س+ص) = س 1 ص 1 + س 2 ص 2 + ذ 1 ز 1 + ذ 2 ز 2 = م (X) + م (ي).

تعليق. ويترتب على الخاصية 4 أن مجموع أي عدد من المتغيرات العشوائية يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات.

مثال. أوجد التوقع الرياضي لمجموع عدد النقاط التي تم الحصول عليها عند رمي خمسة أحجار نرد.

دعونا نوجد التوقع الرياضي لعدد النقاط التي يتم ظهورها عند رمي حجر النرد:

م(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) نفس الرقم يساوي التوقع الرياضي لعدد النقاط الملقاة على أي حجر نرد. لذلك، من خلال الخاصية 4 م(X)=

تشتت.

من أجل الحصول على فكرة عن سلوك المتغير العشوائي، لا يكفي معرفة توقعه الرياضي فقط. النظر في متغيرين عشوائيين: Xو ي، المحدد بواسطة سلسلة توزيع النموذج

X
ر	0,1	0,8	0,1

ي
ص	0,5	0,5

سوف نجد م(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, م(ي) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. وكما ترى، فإن التوقعات الرياضية لكلا الكميتين متساوية، ولكن إذا كانت جلالة الملك(X) يصف جيدًا سلوك المتغير العشوائي، كونه قيمته المحتملة الأكثر احتمالًا (والقيم المتبقية لا تختلف كثيرًا عن 50)، ثم القيم يتمت إزالته بشكل ملحوظ من م(ي). لذلك، إلى جانب التوقع الرياضي، من المستحسن معرفة مدى انحراف قيم المتغير العشوائي عنه. لتوصيف هذا المؤشر، يتم استخدام التشتت.

التعريف 7.5.التشتت (التشتت)للمتغير العشوائي هو التوقع الرياضي لمربع انحرافه عن توقعه الرياضي:

د(X) = م (X-M(X)))². (7.6)

دعونا نجد تباين المتغير العشوائي X(عدد الأجزاء القياسية من بين تلك المختارة) في المثال 1 من هذه المحاضرة. لنحسب الانحراف التربيعي لكل قيمة محتملة عن التوقع الرياضي:

(1 - 2.4) 2 = 1.96؛ (2 - 2.4) 2 = 0.16؛ (3 - 2.4) 2 = 0.36. لذلك،

ملاحظة 1.عند تحديد التشتت، لا يتم تقييم الانحراف عن المتوسط ​​نفسه، بل يتم تقييم مربعه. يتم ذلك حتى لا تلغي انحرافات العلامات المختلفة بعضها البعض.

ملاحظة 2.ويترتب على تعريف التشتت أن هذه الكمية تأخذ قيمًا غير سالبة فقط.

ملاحظة 3.هناك صيغة لحساب التباين أكثر ملاءمة للحسابات، والتي تم إثبات صحتها في النظرية التالية:

نظرية 7.1.د(X) = م(X²) - م²( X). (7.7)

دليل.

باستخدام ماذا م(X) هي قيمة ثابتة، ومن خواص التوقع الرياضي، نحول الصيغة (7.6) إلى الصورة:

د(X) = م(X-M(X))² = م(X² - 2 X؟M(X) + م²( X)) = م(X²) - 2 م(X)?م(X) + م²( X) =

= م(X²) - 2 م²( X) + م²( X) = م(X²) - م²( X) وهو ما يحتاج إلى إثبات.

مثال. دعونا نحسب تباينات المتغيرات العشوائية Xو يتمت مناقشته في بداية هذا القسم. م(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

م(ي) = (0 2 ?0.5 + 100²?0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. لذا، فإن تباين المتغير العشوائي الثاني أكبر بعدة آلاف المرات من تباين الأول. وهكذا، حتى بدون معرفة قوانين توزيع هذه الكميات، وبناء على قيم التشتت المعروفة يمكننا أن نذكر ذلك Xينحرف قليلاً عن توقعاته الرياضية، بينما يهذا الانحراف مهم جدًا.

خصائص التشتت.

1) التباين قيمة ثابتة معيساوي الصفر:

د (ج) = 0. (7.8)

دليل. د(ج) = م((سم(ج))²) = م((نسخة)²) = م(0) = 0.

2) يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التشتت بتربيعه:

د(تجربة العملاء) = ج² د(X). (7.9)

دليل. د(تجربة العملاء) = م((CX-M(تجربة العملاء))²) = م((CX-CM(X))²) = م(ج²( X-M(X))²) =

= ج² د(X).

3) تباين مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع تباينهما:

د(س+ص) = د(X) + د(ي). (7.10)

دليل. د(س+ص) = م(X² + 2 س ص + ي²) - ( م(X) + م(ي))² = م(X²) + 2 م(X)م(ي) +

+ م(ي²) - م²( X) - 2م(X)م(ي) - م²( ي) = (م(X²) - م²( X)) + (م(ي²) - م²( ي)) = د(X) + د(ي).

النتيجة الطبيعية 1.إن تباين مجموع عدة متغيرات عشوائية مستقلة عن بعضها البعض يساوي مجموع تبايناتها.

النتيجة الطبيعية 2.إن تباين مجموع الثابت والمتغير العشوائي يساوي تباين المتغير العشوائي.

4) إن تباين الفرق بين متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع تبايناتهم:

د(X-Y) = د(X) + د(ي). (7.11)

دليل. د(X-Y) = د(X) + د(-ي) = د(X) + (-1)² د(ي) = د(X) + د(X).

يعطي التباين القيمة المتوسطة للانحراف التربيعي لمتغير عشوائي عن المتوسط؛ ولتقييم الانحراف نفسه، يتم استخدام قيمة تسمى الانحراف المعياري.

التعريف 7.6.الانحراف المعياريσ متغير عشوائي Xيسمى الجذر التربيعي للتباين :

مثال. في المثال السابق الانحرافات المعيارية Xو يمتساوية على التوالي

خصائص DSV وخصائصها. التوقع، التباين، الانحراف المعياري

يصف قانون التوزيع المتغير العشوائي بشكل كامل. ومع ذلك، عندما يكون من المستحيل العثور على قانون التوزيع، أو أن ذلك غير مطلوب، يمكنك الاكتفاء بإيجاد قيم تسمى الخصائص العددية للمتغير العشوائي. وتحدد هذه القيم بعض القيمة المتوسطة التي تتجمع حولها قيم المتغير العشوائي، ودرجة تشتتها حول هذه القيمة المتوسطة.

التوقع الرياضيالمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع منتجات جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي واحتمالاتها.

يوجد التوقع الرياضي إذا كانت المتسلسلة الموجودة على الجانب الأيمن من المساواة متقاربة بشكل مطلق.

ومن وجهة نظر الاحتمالية يمكننا القول أن التوقع الرياضي يساوي تقريباً الوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي.

مثال. قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل معروف. أوجد التوقع الرياضي.

X
ص	0.2	0.3	0.1	0.4

حل:

9.2 خصائص التوقع الرياضي

1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه.

2. يمكن إخراج العامل الثابت كعلامة على التوقع الرياضي.

3. التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية.

تنطبق هذه الخاصية على عدد عشوائي من المتغيرات العشوائية.

4. التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات.

تنطبق هذه الخاصية أيضًا على عدد عشوائي من المتغيرات العشوائية.

دعونا نجري تجارب مستقلة، فإن احتمال وقوع الحدث A يساوي p.

نظرية.التوقع الرياضي M(X) لعدد تكرارات الحدث A في n من التجارب المستقلة يساوي حاصل ضرب عدد التجارب واحتمال وقوع الحدث في كل تجربة.

مثال. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي Z إذا كانت التوقعات الرياضية لـ X وY معروفة: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

حل:

9.3 تشتت المتغير العشوائي المنفصل

ومع ذلك، لا يمكن وصف التوقع الرياضي بشكل كامل عملية عشوائية. بالإضافة إلى التوقع الرياضي، من الضروري إدخال قيمة تميز انحراف قيم المتغير العشوائي عن التوقع الرياضي.

وهذا الانحراف يساوي الفرق بين المتغير العشوائي وتوقعه الرياضي. وفي هذه الحالة، يكون التوقع الرياضي للانحراف صفرًا. ويفسر ذلك حقيقة أن بعض الانحرافات المحتملة تكون إيجابية، والبعض الآخر سلبي، ونتيجة لإلغائها المتبادل يتم الحصول على الصفر.

التشتت (التشتت)للمتغير العشوائي المنفصل هو التوقع الرياضي لمربع انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي.

من الناحية العملية، هذه الطريقة لحساب التباين غير مريحة، لأن يؤدي إلي كميات كبيرةقيم المتغير العشوائي إلى حسابات مرهقة.

ولذلك، يتم استخدام طريقة أخرى.

نظرية. التباين يساوي الفرق بين مربع التوقع الرياضي للمتغير العشوائي X ومربع توقعه الرياضي.

دليل. مع الأخذ في الاعتبار أن التوقع الرياضي M(X) ومربع التوقع الرياضي M2(X) هما كميتان ثابتتان، يمكننا أن نكتب:

مثال. أوجد تباين متغير عشوائي متقطع معطى في قانون التوزيع.

X
× 2
ر	0.2	0.3	0.1	0.4

حل: .

9.4 خصائص التشتت

1. تباين القيمة الثابتة هو صفر. .

2. يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التشتت بتربيعها. .

3. إن تباين مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع تباينات هذه المتغيرات. .

4. إن تباين الفرق بين متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع تباينات هذه المتغيرات. .

نظرية. إن تباين عدد تكرارات الحدث A في n من التجارب المستقلة، التي يكون احتمال p لحدوث الحدث فيها ثابتًا، يساوي حاصل ضرب عدد المحاولات في احتمالات الحدوث وعدم حدوثه. وقوع الحدث في كل تجربة.

9.5 الانحراف المعياري للمتغير العشوائي المنفصل

الانحراف المعيارييسمى المتغير العشوائي X بالجذر التربيعي للتباين.

نظرية. الانحراف المعياري لمجموع عدد محدود من المتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات الانحرافات المعيارية لهذه المتغيرات.

1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه م (ق) = ج .
2. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع الرياضي: م (CX) = سم (X)
3. التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية: م(XY)=م(X) م(Y).
4. التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات: م(س+ص)=م(س)+م(ص).

نظرية. التوقع الرياضي M(x) لعدد تكرارات الأحداث A في n من التجارب المستقلة يساوي حاصل ضرب هذه التجارب في احتمال وقوع الأحداث في كل تجربة: M(x) = np.

يترك X - المتغير العشوائي و م (س) - توقعاتها الرياضية. دعونا نعتبر الفرق كمتغير عشوائي جديد س - م(س).

الانحراف هو الفرق بين المتغير العشوائي وتوقعه الرياضي.

الانحراف لديه قانون التوزيع التالي:

الحل: لنجد التوقع الرياضي:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

لنكتب قانون توزيع الانحراف التربيعي:

الحل: دعونا نوجد التوقع الرياضي لـ M(x): M(x)=2 0.1+3 0.6+5 0.3=3.5

لنكتب قانون توزيع المتغير العشوائي X2

× 2
ص	0.1	0.6	0.3

دعونا نجد التوقع الرياضي م (× 2): م (× 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

التباين المطلوب هو D(x)=M(x 2)- 2 =13.3-(3.5) 2 =1.05

خصائص التشتت:

1. تباين قيمة ثابتة مع يساوي الصفر: د(ج)=0
2. يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التشتت بتربيعها. د(Cx)=ج 2 د(س)
3. إن تباين مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي مجموع تباينات هذه المتغيرات. د(X 1 +X 2 +...+X n)=د(X 1)+د(X 2)+...+د(X n)
4. التباين توزيع ثنائييساوي حاصل ضرب عدد المحاولات واحتمال وقوع أو عدم وقوع حدث في تجربة واحدة D(X)=npq

ولتقدير تشتت القيم المحتملة للمتغير العشوائي حول قيمته المتوسطة، بالإضافة إلى التشتت، يتم استخدام بعض الخصائص الأخرى أيضًا. وتشمل هذه الانحراف المعياري.

الانحراف المعياري للمتغير العشوائي Xيسمى الجذر التربيعي للتباين :

σ(X) = √D(X) (4)

مثال. يتم إعطاء المتغير العشوائي X بواسطة قانون التوزيع

X
ص	0.1	0.4	0.5

أوجد الانحراف المعياري σ(x)

الحل: دعونا نوجد التوقع الرياضي لـ X: M(x)=2 0.1+3 0.4+10 0.5=6.4
لنجد التوقع الرياضي لـ X 2: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
لنجد التباين: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
الانحراف المعياري المطلوب σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

نظرية. الانحراف المعياري لمجموع عدد محدود من المتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات الانحرافات المعيارية لهذه المتغيرات:

مثال. على رف 6 كتب، 3 كتب في الرياضيات و3 في الفيزياء. يتم اختيار ثلاثة كتب عشوائيا. أوجد قانون توزيع عدد كتب الرياضيات على الكتب المختارة. أوجد التوقع الرياضي والتباين لهذا المتغير العشوائي.

د(X)= م(X 2) - م(X) 2 = 2.7 – 1.5 2 = 0.45

متغير عشوائييسمى المتغير بالمتغير الذي، نتيجة لكل اختبار، يأخذ قيمة واحدة غير معروفة سابقًا، اعتمادًا على أسباب عشوائية. يُشار إلى المتغيرات العشوائية بالأحرف اللاتينية الكبيرة: $X,\Y,\Z,\\dots $ وفقًا لنوعها، يمكن أن تكون المتغيرات العشوائية منفصلةو مستمر.

المتغير العشوائي المنفصل- هذا متغير عشوائي لا يمكن أن تكون قيمه أكثر من قابلة للعد، أي إما منتهية أو قابلة للعد. نعني بقابلية العد أنه يمكن ترقيم قيم المتغير العشوائي.

مثال 1 . فيما يلي أمثلة للمتغيرات العشوائية المنفصلة:

أ) عدد الضربات على الهدف بلقطات $n$، هنا القيم المحتملة هي $0,\1,\dots ,\n$.

ب) عدد الشعارات التي تم إسقاطها عند رمي العملة المعدنية، هنا القيم المحتملة هي $0,\1,\\dots ,\n$.

ج) عدد السفن القادمة على متنها (مجموعة من القيم المعدودة).

د) عدد المكالمات التي تصل إلى PBX (مجموعة من القيم القابلة للعد).

1. قانون التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل.

يمكن للمتغير العشوائي المنفصل $X$ أن يأخذ القيم $x_1,\dots ,\ x_n$ مع الاحتمالات $p\left(x_1\right),\ \dots ,\p\left(x_n\right)$. يسمى المراسلات بين هذه القيم واحتمالاتها قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل. كقاعدة عامة، يتم تحديد هذه المراسلات باستخدام جدول، يشير السطر الأول منه إلى القيم $x_1,\dots ,\ x_n$، ويحتوي السطر الثاني على الاحتمالات $p_1,\dots ,\p_n$ المقابلة لـ هذه القيم.

$\begin(صفيف)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(صفيف)$

مثال 2 . دع المتغير العشوائي $X$ هو عدد النقاط التي تم رميها عند رمي حجر النرد. مثل هذا المتغير العشوائي $X$ يمكن أن يأخذ القيم التالية: $1,\2,\3,\4,\5,\6$. احتمالات كل هذه القيم تساوي 1/6$. ثم قانون التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي $X$:

$\begin(صفيف)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(صفيف)$

تعليق. نظرًا لأنه في قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل $X$، تشكل الأحداث $1,\2,\dots,\6$ مجموعة كاملة من الأحداث، فإن مجموع الاحتمالات يجب أن يساوي واحدًا، أي $ \sum(p_i)=1$.

2. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي متقطع.

توقع وجود متغير عشوائييحدد معناها "المركزي". بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل، يتم حساب التوقع الرياضي على أنه مجموع حاصل ضرب القيم $x_1,\dots ,\x_n$ والاحتمالات $p_1,\dots ,\p_n$ المقابلة لهذه القيم، أي : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. في أدب اللغة الإنجليزية، يتم استخدام رمز آخر $E\left(X\right)$.

خصائص التوقع الرياضي$M\يسار(X\يمين)$:

1. يقع $M\left(X\right)$ بين الأصغر و أعلى القيمالمتغير العشوائي $X$.
2. التوقع الرياضي للثابت يساوي الثابت نفسه، أي. $M\left(C\right)=C$.
3. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع الرياضي: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع توقعاتها الرياضية: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي منتج توقعاتها الرياضية: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

مثال 3 . لنجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي $X$ من المثال $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\فوق (6))=3.5.$$

يمكننا أن نلاحظ أن $M\left(X\right)$ يقع بين القيمتين الأصغر (1$) والأكبر (6$) للمتغير العشوائي $X$.

مثال 4 . ومن المعروف أن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي $X$ يساوي $M\left(X\right)=2$. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي $3X+5$.

باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه، نحصل على $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ كدوت 2 +5 = 11 دولارًا.

مثال 5 . ومن المعروف أن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي $X$ يساوي $M\left(X\right)=4$. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي $2X-9$.

باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه، نحصل على $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ كدوت 4 -9=-1$.

3. تشتت متغير عشوائي منفصل.

يمكن للقيم المحتملة للمتغيرات العشوائية ذات التوقعات الرياضية المتساوية أن تتفرق بشكل مختلف حول قيمها المتوسطة. على سبيل المثال، في مجموعتين من الطلاب المعدل التراكميبالنسبة لامتحان نظرية الاحتمالات، اتضح أنه يساوي 4، ولكن في مجموعة واحدة تبين أن الجميع طلاب جيدون، وفي المجموعة الأخرى لم يكن هناك سوى طلاب C وطلاب ممتازين. ولذلك فإن هناك حاجة إلى خاصية عددية للمتغير العشوائي تبين مدى انتشار قيم المتغير العشوائي حول توقعه الرياضي. هذه الخاصية هي التشتت.

تباين المتغير العشوائي المنفصل$X$ يساوي:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

في الأدب الإنجليزي يتم استخدام الترميز $V\left(X\right)،\Var\left(X\right)$. في كثير من الأحيان يتم حساب التباين $D\left(X\right)$ باستخدام الصيغة $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ يسار(X \يمين)\يمين))^2$.

خصائص التشتت$D\يسار(X\يمين)$:

1. يكون التباين دائمًا أكبر من أو يساوي الصفر، أي. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. تباين الثابت هو صفر، أي. $D\left(C\right)=0$.
3. يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التشتت بشرط أن تكون مربعة، أي. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. إن تباين مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي مجموع تبايناتها، أي. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. إن تباين الفرق بين المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي مجموع تبايناتها، أي. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

مثال 6 . لنحسب تباين المتغير العشوائي $X$ من المثال $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\فوق (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\حوالي 2.92.$$

مثال 7 . ومن المعروف أن تباين المتغير العشوائي $X$ يساوي $D\left(X\right)=2$. أوجد تباين المتغير العشوائي $4X+1$.

باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه، نجد $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ يسار(X\يمين)=16\cdot 2=32$.

مثال 8 . ومن المعروف أن تباين المتغير العشوائي $X$ يساوي $D\left(X\right)=3$. أوجد تباين المتغير العشوائي $3-2X$.

باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه، نجد $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ يسار(X\يمين)=4\cdot 3=12$.

4. دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصل.

إن طريقة تمثيل المتغير العشوائي المنفصل في شكل سلسلة توزيع ليست الوحيدة، والأهم من ذلك أنها ليست عالمية، حيث لا يمكن تحديد متغير عشوائي مستمر باستخدام سلسلة التوزيع. هناك طريقة أخرى لتمثيل المتغير العشوائي وهي دالة التوزيع.

وظيفة التوزيعيسمى المتغير العشوائي $X$ دالة $F\left(x\right)$، والتي تحدد احتمالية أن يأخذ المتغير العشوائي $X$ قيمة أقل من قيمة ثابتة $x$، أي $F\ يسار (x\يمين)=P\يسار(X< x\right)$

خصائص وظيفة التوزيع:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي $X$ قيمًا من الفاصل الزمني $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ يساوي الفرق بين قيم دالة التوزيع في نهايات هذا الفاصل الزمني: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - غير متناقص.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \يمين)=1\ )$.

مثال 9 . دعونا نجد دالة التوزيع $F\left(x\right)$ لقانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل $X$ من المثال $2$.

$\begin(صفيف)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(صفيف)$

إذا كان $x\le 1$، فمن الواضح أن $F\left(x\right)=0$ (بما في ذلك $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

إذا 1 دولار< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

إذا 2 دولار< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

إذا 3 دولار< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

إذا 4 دولار< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

إذا 5 دولار< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

إذا كان $x > 6$، فإن $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\يمين)+P\left(X=5\يمين)+P\left(X=6\يمين)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1 دولار.

إذن $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ في\ س\لو 1,\\
1/6، في 1< x\le 2,\\
1/3،\في\2< x\le 3,\\
1/2، في\ 3< x\le 4,\\
2/3،\في\4< x\le 5,\\
5/6،\في\4< x\le 5,\\
1,\ل\س > 6.
\end(matrix)\right.$

التوقع الرياضي (القيمة المتوسطة) للمتغير العشوائي X المعطى على مساحة احتمالية منفصلة هو الرقم m =M[X]=∑x i p i إذا كانت المتسلسلة متقاربة تمامًا.

الغرض من الخدمة. استخدام الخدمة عبر الإنترنت ويتم حساب التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري(انظر المثال). بالإضافة إلى ذلك، يتم رسم رسم بياني لوظيفة التوزيع F(X).

خصائص التوقع الرياضي للمتغير العشوائي

1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي نفسه: M[C]=C, C – ثابت؛
2. م = ج م [X]
3. التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع توقعاتها الرياضية: M=M[X]+M[Y]
4. التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي منتج توقعاتها الرياضية: M=M[X] M[Y] إذا كان X و Y مستقلين.

خصائص التشتت

1. تباين القيمة الثابتة هو صفر: D(c)=0.
2. يمكن إخراج العامل الثابت من تحت علامة التشتت بتربيعه: D(k*X)= k 2 D(X).
3. إذا كان المتغيران العشوائيان X وY مستقلين، فإن تباين المجموع يساوي مجموع التباينات: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. إذا كانت المتغيرات العشوائية X وY تابعة: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. الصيغة الحسابية التالية صالحة للتشتت:
   د(X)=م(X 2)-(M(X)) 2

مثال. التوقعات والتباينات الرياضية لمتغيرين عشوائيين مستقلين X و Y معروفة: M(x)=8، M(Y)=7، D(X)=9، D(Y)=6. أوجد التوقع الرياضي والتباين للمتغير العشوائي Z=9X-8Y+7.
حل. بناءً على خصائص التوقع الرياضي: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
بناءً على خصائص التشتت: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

خوارزمية لحساب التوقع الرياضي

خصائص المتغيرات العشوائية المنفصلة: يمكن إعادة ترقيم جميع قيمها الأعداد الطبيعية; قم بتعيين كل قيمة احتمالًا غير الصفر.

1. نقوم بضرب الأزواج واحدًا تلو الآخر: x i بواسطة p i .
2. أضف منتج كل زوج x i p i .
   على سبيل المثال، بالنسبة لـ n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصلوتدريجيًا، يزداد فجأة عند تلك النقاط التي تكون احتمالاتها إيجابية.

المثال رقم 1.

× ط	1	3	4	7	9
باي	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

نجد التوقع الرياضي باستخدام الصيغة m = ∑x i p i .
التوقع M[X].
م[س] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
نجد التباين باستخدام الصيغة d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
التباين د[X].
د[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
الانحراف المعياري σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

المثال رقم 2. يحتوي المتغير العشوائي المنفصل على سلسلة التوزيع التالية:

X	-10	-5	0	5	10
ر	أ	0,32	2أ	0,41	0,03

أوجد قيمة a والتوقع الرياضي والانحراف المعياري لهذا المتغير العشوائي.

حل. تم العثور على قيمة a من العلاقة: Σp i = 1
Σp ط = أ + 0.32 + 2 أ + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 أ = 1
0.76 + 3 أ = 1 أو 0.24=3 أ ، من حيث أ = 0.08

المثال رقم 3. حدد قانون توزيع المتغير العشوائي المتقطع إذا كان تباينه معروفا، و x 1 × 1 =6؛ × 2 =9؛ س 3 = س؛ × 4 = 15
ع 1 =0.3؛ ص 2 =0.3؛ ع 3 =0.1؛ ع 4 =0.3
د(س)=12.96

حل.
هنا تحتاج إلى إنشاء صيغة للعثور على التباين d(x):
د(س) = س 1 2 ص 1 + س 2 2 ص 2 + س 3 2 ص 3 + س 4 2 ص 4 -م(س) 2
حيث التوقع m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
لبياناتنا
م(س)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
أو -9/100 (× 2 -20×+96)=0
وبناء على ذلك، علينا إيجاد جذور المعادلة، وسيكون هناك اثنان منها.
× 3 = 8، × 3 = 12
اختر ما يناسب الشرط ×1 × 3 = 12

قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل
× 1 =6؛ × 2 =9؛ × 3 = 12؛ × 4 = 15
ع 1 =0.3؛ ص 2 =0.3؛ ع 3 =0.1؛ ع 4 =0.3