صيغ الضرب المبسطة. صيغ الضرب المختصرة مع الأمثلة

صيغ الضرب المختصرة.

دراسة صيغ الضرب المختصرة: مربع المجموع ومربع الفرق بين تعبيرين؛ الفرق بين مربعين من التعبيرات؛ مكعب المجموع ومكعب الفرق بين تعبيرين؛ المبالغ والاختلافات بين مكعبات اثنين من التعبيرات.

تطبيق صيغ الضرب المختصرة عند حل الأمثلة.

لتبسيط التعبيرات، وتحليل كثيرات الحدود إلى عوامل، وتقليل كثيرات الحدود إلى الشكل القياسي، يتم استخدام صيغ الضرب المختصرة. يجب حفظ صيغ الضرب المختصرة عن ظهر قلب.

دع أ، ب ر. ثم:

1. مربع مجموع تعبيرين يساويمربع التعبير الأول زائد ضعف ناتج التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أ + ب 2

2. مربع الفرق بين تعبيرين يساويمربع التعبير الأول ناقص ضعف حاصل ضرب التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.

(أ - ب) 2 = أ 2 - 2أ + ب 2

3. فرق المربعاتتعبيران يساوي حاصل ضرب الفرق بين هذين التعبيرين ومجموعهما.

أ 2 - ب 2 = (أ -ب) (أ+ب)

4. مكعب المبلغتعبيران يساوي مكعب التعبير الأول زائد ثلاثة أضعاف ناتج مربع التعبير الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف منتج التعبير الأول ومربع الثاني بالإضافة إلى مكعب التعبير الثاني.

(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3

5. مكعب الفرقتعبيران يساوي مكعب التعبير الأول ناقص ثلاثة أضعاف ناتج مربع التعبير الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف منتج التعبير الأول ومربع الثاني ناقص مكعب التعبير الثاني.

(أ - ب) 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 - ب 3

6. مجموع المكعباتتعبيران يساوي حاصل ضرب مجموع التعبيرين الأول والثاني والمربع غير الكامل للفرق بين هذين التعبيرين.

أ 3 + ب 3 = (أ + ب) (أ 2 - أ ب + ب 2)

7. اختلاف المكعباتتعبيران يساوي حاصل ضرب الفرق بين التعبيرين الأول والثاني في المربع غير الكامل لمجموع هذه التعبيرات.

أ 3 - ب 3 = (أ - ب) (أ 2 + أ + ب 2)

تطبيق صيغ الضرب المختصرة عند حل الأمثلة.

مثال 1.

احسب

أ) باستخدام صيغة مربع مجموع تعبيرين، لدينا

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

ب) باستخدام صيغة مربع الفرق بين تعبيرين نحصل على ذلك

98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604

مثال 2.

احسب

باستخدام صيغة الفرق بين مربعي التعبيرين، نحصل على

مثال 3.

تبسيط التعبير

(س - ص) 2 + (س + ص) 2

دعونا نستخدم الصيغ الخاصة بمربع المجموع ومربع الفرق بين تعبيرين

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

صيغ الضرب المختصرة في جدول واحد:

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أ + ب 2
(أ - ب) 2 = أ 2 - 2أ + ب 2
أ 2 - ب 2 = (أ - ب) (أ+ب)
(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3
(أ - ب) 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 - ب 3
أ 3 + ب 3 = (أ + ب) (أ 2 - أ ب + ب 2)
أ 3 - ب 3 = (أ - ب) (أ 2 + أ + ب 2)

متى الخ. أدناه سننظر إلى الصيغ الأكثر شيوعًا ونحلل كيفية الحصول عليها.

مربع المبلغ

دعونا نقوم بتربيع مجموع اثنين من وحيدات الحد، مثل هذا: \((a+b)^2\). التربيع هو ضرب رقم أو تعبير في نفسه، أي \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). والآن يمكننا ببساطة فتح الأقواس، وضربها كما فعلنا، وإحضار الحدود المتشابهة. نحن نحصل:

وإذا حذفنا الحسابات الوسيطة وكتبنا التعبيرات الأولية والنهائية فقط، نحصل على الصيغة النهائية:

المجموع التربيعي:\((أ+ب)^2=أ^2+2ab+ب^2\)

معظم الطلاب يتعلمونها عن ظهر قلب. والآن أنت تعرف كيفية استخلاص هذه الصيغة، وإذا نسيت فجأة، يمكنك فعل ذلك دائمًا.
حسنًا، ولكن كيفية استخدامه ولماذا هذه الصيغة مطلوبة؟ يتيح لك مربع المجموع كتابة نتيجة تربيع مجموع فترتين بسرعة. لنلقي نظرة على مثال.

مثال . قم بتوسيع الأقواس: \((x+5)^2\)
حل :

لاحظ مدى سرعة الحصول على النتيجة وبجهد أقل في الحالة الثانية. وعندما تتقن هذه الصيغ وغيرها إلى درجة الأتمتة، سيكون الأمر أسرع: يمكنك ببساطة كتابة الإجابة على الفور. ولهذا السبب يطلق عليها اسم صيغ الضرب المخفضة. لذا، فإن معرفتها وتعلم كيفية تطبيقها أمر يستحق العناء بالتأكيد.

فقط في حالة، نلاحظ أنه كما \(أ\)و \(ب\)يمكن أن يكون هناك أي تعبيرات - يبقى المبدأ كما هو. على سبيل المثال:

إذا لم تفهم فجأة بعض التحولات في المثالين الأخيرين، كرر الموضوع.

مثال . قم بتحويل التعبير \((1+5x)^2-12x-1 \) إلى النموذج القياسي.

حل :

إجابة: \(25x^2-2x\).

مهم!من الضروري تعلم كيفية استخدام الصيغ ليس فقط في الاتجاه "الأمامي"، ولكن أيضًا في الاتجاه "العكسي".

مثال . احسب قيمة التعبير \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) بدون آلة حاسبة.

حل :

إجابة: \(250 000\).

الفرق التربيعي

أعلاه وجدنا صيغة مجموع أحاديات الحد. لنجد الآن صيغة الفرق، أي لـ \((a-b)^2\):

وبصيغة أكثر إيجازا لدينا:

الفرق التربيعي: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

يتم استخدامه بنفس الطريقة السابقة.

مثال . بسّط التعبير \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) وأوجد قيمته عند \(a=\frac(17)(8)\).

حل :

إجابة: \(8\).

فرق المربعات

لذا، فقد تعاملنا مع حالات حاصل ضرب قوسين يحتويان على علامة زائد وقوسين يحتويان على علامة ناقص. الحالة المتبقية هي نتاج قوسين متطابقين بعلامات مختلفة. دعونا نرى ما سيحدث:

لقد حصلنا على الصيغة:

فرق المربعات \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

هذه الصيغة هي واحدة من الأكثر استخدامًا عند العمل بها.

مثال . قم بتقليل الكسر \(\frac(x^2-9)(x-3)\) .

حل :

إجابة: \(س+3\).

مثال .حلل \(25x^4-m^(10) t^6\).
حل :

هذه هي الصيغ الأساسية الثلاث التي تحتاج إلى معرفتها بالضرورة! هناك أيضًا صيغ تحتوي على مكعبات (انظر أعلاه)، ويُنصح أيضًا بتذكرها أو القدرة على استخلاصها بسرعة. نلاحظ أيضًا أنه في الممارسة العملية، غالبًا ما تتم مواجهة العديد من هذه الصيغ في مشكلة واحدة في وقت واحد - وهذا أمر طبيعي. فقط تعلم كيفية ملاحظة الصيغ وتطبيقها بعناية، وسيكون كل شيء على ما يرام.

مثال (متقدم!) .تقليل الكسر.
حل :

\(\frac(x^2-4xy-9+4y^2)(x-2y+3)\)\(=\)		للوهلة الأولى، هذا رعب هادئ ولا يمكن فعل أي شيء حيال ذلك (نحن لا نفكر بجدية في خيار "الاستلقاء والموت"). ومع ذلك، دعونا نحاول تبديل الحدين الأخيرين من البسط وإضافة الأقواس (فقط للتوضيح).
\(\frac((x^2-4xy+4y^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		الآن دعونا نحول المصطلحات الموجودة بين القوسين قليلاً: \(4xy\) نكتب بالشكل \(2 x 2y\)، و \(4y^2\) كـ \((2y)^2\).
\(\frac((x^2-4xy+(2y)^2)-9)(x-2y+3)\)\(=\)		الآن دعونا نلقي نظرة فاحصة ونلاحظ أنه بين القوسين لدينا صيغة للفرق التربيعي، والتي تحتوي على \(a=x\)، \(b=2y\). ننهار على طوله على شكل أقواس في مربع. وفي نفس الوقت، نمثل تسعة في صورة \(3\) مربع.
\(\frac((x-2y)^2-3^2)(x-2y+3)\)\(=\)		مرة أخرى ننظر بعناية إلى البسط... فكر... فكر... ولاحظ صيغة الفرق بين المربعات، والتي تحتوي على \(a=(x-2y)\), \(b=3\) . نحن نحللها إلى منتج بين قوسين.
\(\frac((x-2y-3)(x-2y+3))(x-2y+3)\)\(=\)		والآن نقوم بتبسيط القوس الثاني من البسط والمقام بالكامل.
		الجواب جاهز.

محتوى الدرس

مربع مجموع تعبيرين

هناك عدد من الحالات التي يمكن فيها تبسيط عملية ضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود إلى حد كبير. على سبيل المثال هذا هو الحال (2 س+ 3ذ) 2 .

التعبير (2 س+ 3ذ) 2 هو ضرب كثيرتي الحدود، كل منهما يساوي (2 س+ 3ذ)

(2س+ 3ذ) 2 = (2س+ 3ذ)(2س+ 3ذ)

لقد حصلنا على ضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود. دعونا ننفذها:

(2س+ 3ذ) 2 = (2س+ 3ذ)(2س+ 3ذ) = 4س 2 + 6xy + 6xy + 9ذ 2 = 4س 2 + 12xy+ 9ذ 2

أي أن التعبير (2 س+ 3ذ) 2 يساوي 4س 2 + 12xy + 9ذ 2

(2س+ 3ذ) 2 = 4س 2 + 12xy+ 9ذ 2

دعونا نحل مثالا مماثلا، وهو أبسط:

(أ + ب) 2

تعبير ( أ + ب) 2 هو ضرب كثيرتي الحدود، كل منهما يساوي ( أ + ب)

(أ + ب) 2 = (أ + ب)(أ + ب)

دعونا نفعل هذا الضرب:

(أ + ب) 2 = (أ + ب)(أ + ب) = أ 2 + أب + أب + ب 2 = أ 2 + 2أب + ب 2

أي أن التعبير (أ + ب) 2 يساوي أ 2 + 2أب + ب 2

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب + ب 2

وتبين أن القضية ( أ + ب) 2 يمكن أن تمتد إلى أي أو ب. المثال الأول الذي قمنا بحله وهو (2 س+ 3ذ) 2 يمكن حلها باستخدام الهوية (أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب + ب 2 . للقيام بذلك، تحتاج إلى استبدال بدلا من المتغيرات أو بالمصطلحات المقابلة من التعبير (2 س+ 3ذ) 2 . في هذه الحالة المتغير أيتوافق مع العضو 2 س، والمتغير بيتوافق مع العضو 3 ذ

أ = 2س

ب = 3ذ

وبعد ذلك يمكننا استخدام الهوية (أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب + ب 2 ولكن بدلا من المتغيرات أو بتحتاج إلى استبدال التعبيرات 2 سو3 ذعلى التوالى:

(2س+ 3ذ) 2 = (2س) 2 + 2 × 2 س× 3 ذ + (3ذ) 2 = 4س 2 + 12xy+ 9ذ 2

تمامًا مثل المرة الأخيرة التي حصلنا فيها على كثيرة الحدود 4س 2 + 12xy+ 9ذ 2 . عادة ما يتم كتابة الحل بإيجاز، مع إجراء جميع التحولات الأولية في العقل:

(2س+ 3ذ) 2 = 4س 2 + 12xy+ 9ذ 2

هوية (أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب + ب 2 تسمى صيغة مربع مجموع تعبيرين. يمكن قراءة هذه الصيغة على النحو التالي:

مربع مجموع تعبيرين يساوي مربع التعبير الأول زائد ضعف ناتج التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.

تأمل التعبير (2 + 3) 2. يمكن حسابها بطريقتين: إجراء عملية الجمع بين قوسين وتربيع النتيجة الناتجة، أو استخدام صيغة مربع مجموع تعبيرين.

الطريقة الأولى:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

الطريقة الثانية:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

مثال 2. تحويل التعبير (5 أ+ 3) 2 في كثيرة الحدود.

لنستخدم صيغة مربع مجموع تعبيرين:

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب + ب 2

(5أ+ 3) 2 = (5أ) 2 + 2 × 5 × 3 + 3 2 = 25أ 2 + 30أ + 9

وسائل، (5أ+ 3) 2 = 25أ 2 + 30أ + 9.

دعونا نحاول حل هذا المثال دون استخدام مربع صيغة المجموع. يجب أن نحصل على نفس النتيجة:

(5أ+ 3) 2 = (5أ+ 3)(5أ+ 3) = 25أ 2 + 15أ + 15أ + 9 = 25أ 2 + 30أ + 9

صيغة مربع مجموع تعبيرين لها معنى هندسي. نتذكر أنه لحساب مساحة المربع علينا رفع ضلعه للقوة الثانية.

على سبيل المثال، مساحة المربع مع الجانب أسوف تكون متساوية أ 2. إذا قمت بزيادة جانب المربع ب، فإن المساحة ستكون مساوية ( أ + ب) 2

خذ بعين الاعتبار الشكل التالي:

لنتخيل أن جانب المربع الموضح في هذا الشكل قد زاد بمقدار ب. المربع له جميع الجوانب متساوية. إذا زاد جانبه ب، ثم ستزداد الجوانب المتبقية أيضًا بمقدار ب

والنتيجة هي مربع جديد، وهو أكبر من المربع السابق. لرؤيتها بوضوح، دعونا نكمل الجوانب المفقودة:

لحساب مساحة هذا المربع، يمكنك حساب المربعات والمستطيلات الموجودة فيه بشكل منفصل، ثم إضافة النتائج.

أولا يمكنك حساب مربع مع الجانب أ- مساحتها ستكون متساوية أ 2. ثم يمكنك حساب المستطيلات ذات الجوانب أو ب- سيكونون متساوين أب. ثم يمكنك حساب المربع مع الجانب ب

والنتيجة هي مجموع المناطق التالية:

أ 2 + أب + أب + ب 2

يمكن استبدال مجموع مساحات المستطيلات المتطابقة بضرب 2 أب، وهو ما يعني حرفيا ""كرر مساحة المستطيل ab مرتين"" . جبريا، يتم الحصول على ذلك عن طريق جلب مصطلحات مماثلة أبو أب. والنتيجة هي التعبير أ 2 + 2أب+ ب 2 ، وهو الجانب الأيمن من صيغة مربع مجموع تعبيرين:

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب+ ب 2

مربع الفرق بين تعبيرين

صيغة الفرق التربيعي بين تعبيرين هي كما يلي:

(أ - ب) 2 = أ 2 − 2أب + ب 2

مربع الفرق بين تعبيرين يساوي مربع التعبير الأول ناقص ضعف حاصل ضرب التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.

يتم اشتقاق صيغة مربع الفرق بين تعبيرين بنفس الطريقة التي يتم بها اشتقاق صيغة مربع مجموع التعبيرين. تعبير ( أ - ب) 2 هو نتاج اثنين من كثيرات الحدود، كل منهما يساوي ( أ - ب)

(أ - ب) 2 = (أ - ب)(أ - ب)

إذا قمت بإجراء هذا الضرب، فستحصل على كثيرة الحدود أ 2 − 2أب + ب 2

(أ - ب) 2 = (أ - ب)(أ - ب) = أ 2 − أب− أب+ ب 2 = أ 2 − 2أب + ب 2

مثال 1. تحويل التعبير (7 س− 5) 2 في كثيرة الحدود.

لنستخدم صيغة مربع الفرق بين تعبيرين:

(أ - ب) 2 = أ 2 − 2أب + ب 2

(7س− 5) 2 = (7س) 2 − 2 × 7 س × 5 + 5 2 = 49س 2 − 70س + 25

وسائل، (7س− 5) 2 = 49س 2 + 70س + 25.

دعونا نحاول حل هذا المثال دون استخدام صيغة الفرق التربيعي. يجب أن نحصل على نفس النتيجة:

(7س− 5) 2 = (7س− 5) (7س− 5) = 49س 2 − 35س − 35س + 25 = 49س 2 − 70س+ 25.

صيغة مربع الفرق بين تعبيرين لها أيضًا معنى هندسي. إذا كانت مساحة المربع مع الجانب أيساوي أ 2، ثم مساحة المربع الذي تم تقليل ضلعه ب، سيكون مساوياً لـ ( أ - ب) 2

خذ بعين الاعتبار الشكل التالي:

لنتخيل أن جانب المربع الموضح في هذا الشكل قد تم تصغيره بمقدار ب. المربع له جميع الجوانب متساوية. إذا تم تخفيض جانب واحد من قبل ب، فإن الجوانب المتبقية ستنخفض أيضًا بمقدار ب

والنتيجة هي مربع جديد، وهو أصغر من المربع السابق. تم تسليط الضوء عليه باللون الأصفر في الشكل. وضلعها متساوي أ− بلأن الجانب القديم أانخفض بنسبة ب. لحساب مساحة هذا المربع يمكنك من المساحة الأصلية للمربع أ 2ـ طرح مساحات المستطيلات التي تم الحصول عليها في عملية تصغير جوانب المربع القديم. لنعرض هذه المستطيلات:

ثم يمكنك كتابة التعبير التالي: المربع القديم أ 2 منطقة ناقص أبمنطقة ناقص ( أ - ب)ب

أ 2 − أب − (أ - ب)ب

دعونا نوسع الأقواس في التعبير ( أ - ب)ب

أ 2 − أب − أب + ب 2

دعونا نلقي نظرة على مصطلحات مماثلة:

أ 2 − 2أب + ب 2

والنتيجة هي التعبير أ 2 − 2أب + ب 2 ، وهو الجانب الأيمن من صيغة مربع الفرق بين تعبيرين:

(أ - ب) 2 = أ 2 − 2أب + ب 2

تسمى صيغ المجموع التربيعي والفرق التربيعي بشكل عام صيغ الضرب المختصرة. يمكن لهذه الصيغ تبسيط وتسريع عملية ضرب كثيرات الحدود بشكل كبير.

قلنا سابقًا أنه عند النظر إلى عضو في كثيرة الحدود بشكل منفصل، يجب أن يؤخذ في الاعتبار مع الإشارة الموجودة أمامه.

ولكن عند استخدام صيغ الضرب المختصرة، لا ينبغي اعتبار إشارة كثير الحدود الأصلي بمثابة إشارة لهذا المصطلح نفسه.

على سبيل المثال، إذا أعطيت التعبير (5 س − 2ذ) 2 ونريد استخدام الصيغة (أ - ب) 2 = أ 2 − 2أب + ب 2 ، ثم بدلاً من ذلك بتحتاج إلى استبدال 2 ذ، وليس -2 ذ. هذه هي ميزة العمل مع الصيغ التي لا ينبغي نسيانها.

(5س − 2ذ) 2
أ = 5س
ب = 2ذ
(5س − 2ذ) 2 = (5س) 2 − 2 × 5 س× 2 ذ + (2ذ) 2 = 25س 2 − 20xy + 4ذ 2

إذا عوضنا بـ -2 ذ، فهذا يعني أنه تم استبدال الفرق بين قوسي التعبير الأصلي بالمجموع:

(5س − 2ذ) 2 = (5س + (−2ذ)) 2

وفي هذه الحالة، لا تحتاج إلى استخدام صيغة الفرق التربيعي، بل صيغة المجموع التربيعي:

(5س + (−2ذ) 2
أ = 5س
ب = −2ذ
(5س + (−2ذ)) 2 = (5س) 2 + 2 × 5 س× (−2 ذ) + (−2ذ) 2 = 25س 2 − 20xy + 4ذ 2

قد يكون الاستثناء تعبيرات النموذج (س− (−ذ)) 2 . في هذه الحالة، باستخدام الصيغة (أ - ب) 2 = أ 2 − 2أب + ب 2 بدلاً من بيجب استبداله (- ذ)

(س− (−ذ)) 2 = س 2 − 2 × س× (− ذ) + (−ذ) 2 = س 2 + 2xy + ذ 2

لكن تربيع تعبيرات النموذج س − (−ذ)، سيكون أكثر ملاءمة لاستبدال الطرح بالإضافة س+ص. ثم سيأخذ التعبير الأصلي الشكل ( س+ذ) 2 وسيكون من الممكن استخدام صيغة مربع المجموع بدلاً من الفرق:

(س+ذ) 2 = س 2 + 2xy + ذ 2

مكعب المجموع ومكعب الفرق

صيغ مكعب مجموع تعبيرين ومكعب الفرق بين تعبيرين هي كما يلي:

(أ + ب) 3 = أ 3 + 3أ 2 ب + 3أب 2 + ب 3

(أ - ب) 3 = أ 3 − 3أ 2 ب + 3أب 2 − ب 3

يمكن قراءة صيغة المكعب لمجموع تعبيرين على النحو التالي:

مكعب مجموع تعبيرين يساوي مكعب التعبير الأول زائد ثلاثة أضعاف منتج مربع التعبير الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف منتج التعبير الأول ومربع الثاني بالإضافة إلى مكعب التعبير التعبير الثاني.

ويمكن قراءة صيغة مكعب الفرق بين تعبيرين على النحو التالي:

مكعب الفرق بين تعبيرين يساوي مكعب التعبير الأول ناقص ثلاثة أضعاف ناتج مربع التعبير الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف ناتج التعبير الأول ومربع الثاني ناقص مكعب التعبير التعبير الثاني.

عند حل المشكلات، من المستحسن حفظ هذه الصيغ عن ظهر قلب. إذا كنت لا تتذكر، فلا مشكلة! يمكنك إزالتها بنفسك. نحن نعرف بالفعل كيفية القيام بذلك.

دعونا نشتق صيغة مكعب المجموع بأنفسنا:

(أ + ب) 3

تعبير ( أ + ب) 3 هو منتج ثلاث كثيرات الحدود، كل منها يساوي ( أ+ ب)

(أ + ب) 3 = (أ+ ب)(أ+ ب)(أ+ ب)

لكن التعبير ( أ + ب) 3 يمكن أيضًا كتابتها كـ (أ+ ب)(أ+ ب) 2

(أ + ب) 3 = (أ+ ب)(أ+ ب) 2

في هذه الحالة العامل ( أ+ ب) 2 هو مربع مجموع التعبيرين. مربع المجموع هذا يساوي التعبير أ 2 + 2أب + ب 2 .

ثم ( أ + ب) 3 يمكن كتابتها كـ (أ+ ب)(أ 2 + 2أب + ب 2) .

(أ + ب) 3 = (أ+ ب)(أ 2 + 2أب + ب 2)

وهذا يعني ضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود. دعونا ننفذها:

(أ + ب) 3 = (أ+ ب)(أ 2 + 2أب + ب 2) = أ 3 + 2أ 2 ب + أب 2 + أ 2 ب + 2أب 2 + ب 3 = أ 3 + 3أ 2 ب + 3أب 2 + ب 3

وبالمثل، يمكنك استخلاص صيغة مكعب الفرق بين تعبيرين:

(أ - ب) 3 = (أ - ب)(أ 2 − 2أب + ب 2) = أ 3 − 2أ 2 ب + أب 2 − أ 2 ب + 2أب 2 − ب 3 = أ 3 − 3أ 2 ب+ 3أب 2 − ب 3

مثال 1. تحويل التعبير ( س+ 1) 3 في كثيرة الحدود.

(أ + ب) 3 = أ 3 + 3أ 2 ب + 3أب 2 + ب 3

(س+ 1) 3 = س 3+3× س 2 × 1 + 3 × س× 1 2 + 1 3 = س 3 + 3س 2 + 3س + 1

دعونا نحاول حل هذا المثال دون استخدام صيغة المكعب لمجموع تعبيرين

(س+ 1) 3 = (س+ 1)(س+ 1)(س+ 1) = (س+ 1)(س 2 + 2س + 1) = س 3 + 2س 2 + س + س 2 + 2س + 1 = س 3 + 3س 2 + 3س + 1

مثال 2. تحويل التعبير (6أ 2 + 3ب 3) 3 في كثير الحدود.

دعونا نستخدم صيغة المكعب لمجموع تعبيرين:

(أ + ب) 3 = أ 3 + 3أ 2 ب + 3أب 2 + ب 3

(6أ 2 + 3ب 3) 3 = (6أ 2) 3 + 3 × (6 أ 2) 2×3 ب 3 + 3 × 6 أ 2 × (3ب 3) 2 + (3ب 3) 3 = 216أ 6 + 3 × 36 أ 4×3 ب 3 + 3 × 6 أ 2×9 ب 6 + 27ب 9

مثال 3. تحويل التعبير ( ن 2 − 3) 3 في كثيرة الحدود.

(أ - ب) = أ 3 − 3أ 2 ب + 3أب 2 − ب 3

(ن 2 − 3) 3 = (ن 2) 3 − 3 × ( ن 2) 2 × 3 + 3 × ن 2 × 3 2 − 3 3 = ن 6 − 9ن 4 + 27ن 2 − 27

مثال 4. تحويل التعبير (2س 2 − س 3) 3 في كثير الحدود.

دعونا نستخدم صيغة مكعب الفرق بين تعبيرين:

(أ - ب) = أ 3 − 3أ 2 ب + 3أب 2 − ب 3

(2س 2 − س 3) 3 = (2س 2) 3 − 3 × (2 س 2) 2× س 3 + 3 × 2 س 2×( س 3) 2 − (س 3) 3 =
8س 6 − 3 × 4 س 4× س 3 + 3 × 2 س 2× س 6 − س 9 =
8س 6 − 12س 7 + 6س 8 − س 9

ضرب الفرق بين تعبيرين في مجموعهما

هناك مسائل تحتاج فيها إلى ضرب الفرق بين تعبيرين في مجموعهما. على سبيل المثال:

(أ - ب)(أ + ب)

وفي هذا التعبير فرق بين تعبيرين أو بمضروبا في مجموع نفس التعبيرين. دعونا نفعل هذا الضرب:

(أ - ب)(أ + ب) = أ 2 + أب − أب − ب 2 = أ 2 − ب 2

أي أن التعبير (أ - ب)(أ + ب) يساوي أ 2 − ب 2

(أ - ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2

نلاحظ أنه عندما نضرب الفرق بين تعبيرين في مجموعهما، نحصل على الفرق بين مربعي هذين التعبيرين.

حاصل ضرب الفرق بين تعبيرين ومجموعهما يساوي الفرق بين مربعي هذين التعبيرين.

يحدث (أ - ب)(أ + ب) يمكن توزيعها على أي شخص أو ب. ببساطة، إذا كنت تحتاج عند حل مشكلة ما إلى مضاعفة الفرق بين تعبيرين في مجموعهما، فيمكن استبدال هذا الضرب بفرق مربعات هذه التعبيرات.

مثال 1. إجراء الضرب (2س − 5)(2س + 5)

في هذا المثال، الفرق في التعبيرات هو 2 سو5 مضروبة في مجموع نفس التعبيرات. ثم حسب الصيغة (أ - ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2 لدينا:

(2س − 5)(2س + 5) = (2س) 2 − 5 2

دعونا نحسب الجانب الأيمن، نحصل على 4 س 2 − 25

(2س − 5)(2س + 5) = (2س) 2 − 5 2 = 4س 2 − 25

دعونا نحاول حل هذا المثال دون استخدام الصيغة (أ - ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2 . سنحصل على نفس النتيجة 4 س 2 − 25

(2س − 5)(2س + 5) = 4س 2 − 10س + 10س − 25 = 4س 2 − 25

مثال 2. إجراء الضرب (4س − 5ذ)(4س + 5ذ)

(أ - ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2

(4س − 5ذ)(4س + 5ذ) = (4س) 2 − (5ذ) 2 = 16س 2 − 25ذ 2

مثال 3. إجراء الضرب (2أ+ 3ب)(2أ− 3ب)

دعونا نستخدم صيغة ضرب الفرق بين تعبيرين في مجموعهما:

(أ - ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2

(2أ+ 3ب)(2أ - 3ب) = (2أ) 2 − (3ب) 2 = 4أ 2 − 9ب 2

في هذا المثال، مجموع المصطلحات هو 2 أو3 بكان يقع في وقت سابق من اختلاف هذه الشروط. وفي الصيغة (أ - ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2 يقع الفرق في وقت سابق.

لا فرق بين كيفية ترتيب العوامل ( أ - ب) الخامس ( أ + ب) في الصيغة. يمكن كتابتها كما (أ - ب)(أ + ب) ، لذا (أ + ب)(أ - ب) . وستظل النتيجة متساوية أ 2 − ب 2- لأن الناتج لا يتغير من إعادة ترتيب العوامل.

لذلك في هذا المثال، العوامل (2 أ+ 3ب) و 2 أ - 3ب) يمكن كتابتها كـ (2أ+ 3ب)(2أ - 3ب) ، لذا (2أ - 3ب)(2أ+ 3ب) . وستظل النتيجة 4 أ 2 − 9ب 2 .

مثال 3. إجراء الضرب (7 + 3س)(3س − 7)

دعونا نستخدم صيغة ضرب الفرق بين تعبيرين في مجموعهما:

(أ - ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2

(7 + 3س)(3س − 7) = (3س) 2 − 7 2 = 9س 2 − 49

مثال 4. إجراء الضرب (س 2 − ذ 3)(س 2 + ذ 3)

(أ - ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2

(س 2 − ذ 3)(س 2 + ذ 3) = (س 2) 2 − (ذ 3) 2 = س 4 − ذ 6

مثال 5. إجراء الضرب (−5س− 3ذ)(5س− 3ذ)

في التعبير (-5 س− 3ذ) نضع −1 بين قوسين، فيكون التعبير الأصلي على الشكل التالي:

(−5س− 3ذ)(5س− 3ذ) = −1(5س + 3ذ)(5س − 3ذ)

عمل (5س + 3ذ)(5س − 3ذ) استبدله بفرق المربعات:

(−5س− 3ذ)(5س− 3ذ) = −1(5س + 3ذ)(5س − 3ذ) = −1((5س) 2 − (3ذ) 2)

تم وضع الفرق بين المربعات بين قوسين. إذا لم يتم ذلك، فسيتبين أن −1 يتم ضربه فقط بـ (5 س) 2 . وهذا سيؤدي إلى خطأ وتغيير في قيمة التعبير الأصلي.

(−5س− 3ذ)(5س− 3ذ) = −1(5س + 3ذ)(5س − 3ذ) = −1((5س) 2 − (3ذ) 2) = −1(25س 2 − 9س 2)

الآن اضرب −1 في التعبير الموجود بين قوسين واحصل على النتيجة النهائية:

(−5س− 3ذ)(5س− 3ذ) = −1(5س + 3ذ)(5س − 3ذ) = −1((5س) 2 − (3ذ) 2) =
−1(25س 2 − 9ذ 2) = −25س 2 + 9ذ 2

ضرب الفرق بين تعبيرين في المربع الجزئي لمجموعهما

هناك مسائل تحتاج فيها إلى ضرب الفرق بين تعبيرين في المربع الجزئي لمجموعهما. هذه القطعة تبدو مثل هذا:

(أ - ب)(أ 2 + أب + ب 2)

متعدد الحدود الأول ( أ - ب) هو الفرق بين تعبيرين، والثاني كثير الحدود (أ 2 + أب + ب 2) هو المربع الجزئي لمجموع هذين التعبيرين.

المربع الجزئي للمجموع هو متعدد الحدود من النموذج أ 2 + أب + ب 2 . إنه مشابه للمربع المعتاد للمجموع أ 2 + 2أب + ب 2

على سبيل المثال، التعبير 4س 2 + 6xy + 9ذ 2 هو المربع غير الكامل لمجموع التعبيرات 2 سو3 ذ .

والواقع أن المصطلح الأول من التعبير 4س 2 + 6xy + 9ذ 2 ، وهي 4 س 2 هو مربع التعبير 2 س، منذ (2 س) 2 = 4س 2. الفصل الثالث من التعبير 4س 2 + 6xy + 9ذ 2 ، وهي 9 ذ 2 هو مربع التعبير 3 ذ، منذ (3 ذ) 2 = 9ذ 2. عضو في الوسط 6 xy، هو نتاج التعبيرات 2 سو3 ذ.

لذلك، دعونا نضاعف الفرق ( أ - ب) بواسطة المربع غير الكامل للمجموع أ 2 + أب + ب 2

(أ - ب)(أ 2 + أب + ب 2) = أ(أ 2 + أب + ب 2) − ب(أ 2 + أب + ب 2) =
أ 3 + أ 2 ب + أب 2 − أ 2 ب − أب 2 − ب 3 = أ 3 − ب 3

أي أن التعبير (أ - ب)(أ 2 + أب + ب 2) يساوي أ 3 − ب 3

(أ - ب)(أ 2 + أب + ب 2) = أ 3 − ب 3

تسمى هذه الهوية صيغة ضرب الفرق بين تعبيرين في المربع الجزئي لمجموعهما. يمكن قراءة هذه الصيغة على النحو التالي:

حاصل ضرب الفرق بين تعبيرين والمربع الجزئي لمجموعهما يساوي الفرق بين مكعبات هذه التعبيرات.

مثال 1. إجراء الضرب (2س − 3ذ)(4س 2 + 6xy + 9ذ 2)

متعدد الحدود الأول (2 س − 3ذ) هو الفرق بين تعبيرين 2 سو3 ذ. كثير الحدود الثاني 4س 2 + 6xy + 9ذ 2 هذا هو المربع الجزئي لمجموع التعبيرين 2 سو3 ذ. يتيح لك ذلك استخدام الصيغة دون إجراء حسابات طويلة (أ - ب)(أ 2 + أب + ب 2) = أ 3 − ب 3 . في حالتنا، الضرب (2س − 3ذ)(4س 2 + 6xy + 9ذ 2) يمكن استبداله بفرق المكعبات 2 سو3 ذ

(2س − 3ذ)(4س 2 + 6xy + 9ذ 2) = (2س) 3 − (3ذ) 3 = 8س 3 − 27ذ 3

(أ - ب)(أ 2 + أب+ ب 2) = أ 3 − ب 3 . سوف نحصل على نفس النتيجة، ولكن الحل سيكون أطول:

(2س − 3ذ)(4س 2 + 6xy + 9ذ 2) = 2س(4س 2 + 6xy + 9ذ 2) − 3ذ(4س 2 + 6xy + 9ذ 2) =
8× 3 + 12س 2 ذ + 18xy 2 − 12س 2 ذ − 18xy 2 − 27ذ 3 = 8س 3 − 27ذ 3

مثال 2. إجراء الضرب (3 − س)(9 + 3س + س 2)

كثير الحدود الأول (3 - س) هو الفرق بين تعبيرين، ومتعدد الحدود الثاني هو المربع الجزئي لمجموع هذين التعبيرين. وهذا يسمح لنا باستخدام الصيغة (أ - ب)(أ 2 + أب + ب 2) = أ 3 − ب 3

(3 − س)(9 + 3س + س 2) = 3 3 − س 3 = 27 − س 3

ضرب مجموع تعبيرين في المربع الجزئي للفرق بينهما

هناك مسائل تحتاج فيها إلى ضرب مجموع تعبيرين في المربع الجزئي للفرق بينهما. هذه القطعة تبدو مثل هذا:

(أ + ب)(أ 2 − أب + ب 2)

متعدد الحدود الأول ( أ + ب (أ 2 − أب + ب 2) هو المربع غير الكامل للفرق بين هذين التعبيرين.

المربع الجزئي للفرق هو متعدد الحدود من النموذج أ 2 − أب + ب 2 . يبدو وكأنه مربع الفرق العادي أ 2 − 2أب + ب 2 إلا أن فيه حاصل ضرب التعبيرين الأول والثاني لا يتضاعف.

على سبيل المثال، التعبير 4س 2 − 6xy + 9ذ 2 هو المربع غير الكامل للفرق بين التعبيرات 2 سو3 ذ.

(2س) 2 − 2س× 3 ذ + (3ذ) 2 = 4س 2 − 6xy + 9ذ 2

دعنا نعود إلى المثال الأصلي. دعونا نضاعف المبلغ أ + ببواسطة المربع الجزئي للفرق أ 2 − أب + ب 2

(أ + ب)(أ 2 − أب + ب 2) = أ(أ 2 - أب + ب 2) + ب(أ 2 − أب + ب 2) =
أ 3 − أ 2 ب + أب 2 + أ 2 ب − أب 2 + ب 3 = أ 3 + ب 3

أي أن التعبير (أ + ب)(أ 2 − أب + ب 2) يساوي أ 3 + ب 3

(أ + ب)(أ 2 − أب + ب 2) = أ 3 + ب 3

تسمى هذه الهوية صيغة ضرب مجموع تعبيرين في المربع غير الكامل للفرق بينهما. يمكن قراءة هذه الصيغة على النحو التالي:

حاصل ضرب مجموع تعبيرين والمربع الجزئي للفرق بينهما يساوي مجموع مكعبات هذه التعبيرات.

مثال 1. إجراء الضرب (2س + 3ذ)(4س 2 − 6xy + 9ذ 2)

متعدد الحدود الأول (2 س + 3ذ) هو مجموع تعبيرين 2 سو3 ذ، ومتعدد الحدود الثاني 4س 2 − 6xy + 9ذ 2 هذا هو المربع غير الكامل للفرق بين هذه التعبيرات. يتيح لك ذلك استخدام الصيغة دون إجراء حسابات طويلة (أ + ب)(أ 2 − أب + ب 2) = أ 3 + ب 3 . في حالتنا، الضرب (2س + 3ذ)(4س 2 − 6xy + 9ذ 2) يمكن استبداله بمجموع المكعبات 2 سو3 ذ

(2س + 3ذ)(4س 2 − 6xy + 9ذ 2) = (2س) 3 + (3ذ) 3 = 8س 3 + 27ذ 3

دعونا نحاول حل نفس المثال دون استخدام الصيغة (أ + ب)(أ 2 − أب+ ب 2) = أ 3 + ب 3 . سوف نحصل على نفس النتيجة، ولكن الحل سيكون أطول:

(2س + 3ذ)(4س 2 − 6xy + 9ذ 2) = 2س(4س 2 − 6xy + 9ذ 2) + 3ذ(4س 2 − 6xy + 9ذ 2) =
8س 3 − 12س 2 ذ + 18xy 2 + 12س 2 ذ − 18xy 2 + 27ذ 3 = 8س 3 + 27ذ 3

مثال 2. إجراء الضرب (2س+ ذ)(4س 2 − 2xy + ذ 2)

متعدد الحدود الأول (2 س+ ذ) هو مجموع تعبيرين، ومتعدد الحدود الثاني (4س 2 − 2xy + ذ 2) هو المربع غير الكامل للفرق بين هذه التعبيرات. وهذا يسمح لنا باستخدام الصيغة (أ + ب)(أ 2 − أب+ ب 2) = أ 3 + ب 3

(2س+ ذ)(4س 2 − 2xy + ذ 2) = (2س) 3 + ذ 3 = 8س 3 + ذ 3

(2س+ ذ)(4س 2 − 2xy + ذ 2) = 2س(4س 2 − 2xy + ذ 2) + ذ(4س 2 − 2xy + ذ 2) =
8س 3 − 4س 2 ذ + 2xy 2 + 4س 2 ذ − 2xy 2 + ذ 3 = 8س 3 + ذ 3

مهام الحل المستقل

هل أعجبك الدرس؟
انضم الينا مجموعة جديدةفكونتاكتي وابدأ في تلقي إشعارات حول الدروس الجديدة

تُستخدم صيغ الضرب المختصرة (FMF) لمضاعفة الأرقام والتعبيرات وضربها. غالبًا ما تسمح لك هذه الصيغ بإجراء العمليات الحسابية بشكل أكثر إحكاما وسرعة.

في هذه المقالة، سنقوم بإدراج الصيغ الأساسية للضرب المختصر، وتجميعها في جدول، والنظر في أمثلة لاستخدام هذه الصيغ، وكذلك التركيز على مبادئ إثبات صيغ الضرب المختصر.

لأول مرة يتم مناقشة موضوع FSU في إطار مقرر الجبر للصف السابع. فيما يلي 7 صيغ أساسية.

صيغ الضرب المختصرة

صيغة مربع المجموع: أ + ب 2 = أ 2 + 2 أ ب + ب 2
صيغة فرق المربع: أ - ب 2 = أ 2 - 2 أ ب + ب 2
صيغة المجموع المكعب: أ + ب 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3
صيغة مكعب الفرق: أ - ب 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 - ب 3
صيغة فرق المربع: أ 2 - ب 2 = أ - ب أ + ب
صيغة مجموع المكعبات: أ 3 + ب 3 = أ + ب أ 2 - أ ب + ب 2
صيغة الفرق بين المكعبات: أ 3 - ب 3 = أ - ب أ 2 + أ ب + ب 2

يمكن أن تكون الحروف a، b، c في هذه التعبيرات أي أرقام أو متغيرات أو تعبيرات. لسهولة الاستخدام، من الأفضل حفظ الصيغ السبعة الأساسية عن ظهر قلب. دعونا نضعهم في طاولة ونعرضهم أدناه، ونحيطهم بإطار.

تسمح لك الصيغ الأربع الأولى بحساب المربع أو المكعب لمجموع أو الفرق بين تعبيرين، على التوالي.

الصيغة الخامسة تحسب الفرق بين مربعات التعبيرات بضرب مجموعها والفرق.

تقوم الصيغتان السادسة والسابعة، على التوالي، بضرب مجموع التعبيرات وفرقها في المربع غير الكامل للفرق والمربع غير الكامل للمجموع.

تسمى صيغة الضرب المختصرة أحيانًا بمعرفات الضرب المختصرة. وهذا ليس بغريب، فكل مساواة هي هوية.

عند حل الأمثلة العملية، غالبًا ما يتم استخدام صيغ الضرب المختصرة مع تبديل الجانبين الأيسر والأيمن. وهذا مناسب بشكل خاص عند تحليل كثيرة الحدود.

صيغ الضرب المختصرة الإضافية

دعونا لا نقتصر على دورة الجبر للصف السابع ونضيف بعض الصيغ الأخرى إلى جدول FSU الخاص بنا.

أولاً، دعونا نلقي نظرة على صيغة نيوتن ذات الحدين.

أ + ب ن = ج ن 0 · أ ن + ج ن 1 · أ ن - 1 · ب + ج ن 2 · أ ن - 2 · ب 2 + . . + ج ن ن - 1 · أ · ب ن - 1 + ج ن ن · ب ن

هنا C n k هي المعاملات ذات الحدين التي تظهر في السطر رقم n في مثلث باسكال. يتم حساب المعاملات ذات الحدين باستخدام الصيغة:

ج ن ك = ن ! ك! · (ن - ك) ! = ن (ن - 1) (ن - 2) . . (ن - (ك - 1)) ك !

كما نرى، فإن FSF لمربع ومكعب الفرق والمجموع هو حالة خاصة من صيغة نيوتن ذات الحدين لـ n=2 وn=3 على التوالي.

ولكن ماذا لو كان هناك أكثر من حدين في المجموع الذي يجب رفعه إلى قوة؟ ستكون صيغة مربع مجموع ثلاثة أو أربعة حدود أو أكثر مفيدة.

أ 1 + أ 2 + . . + أ ن 2 = أ 1 2 + أ 2 2 + . . + أ ن 2 + 2 أ 1 أ 2 + 2 أ 1 أ 3 + . . + 2 أ 1 أ ن + 2 أ 2 أ 3 + 2 أ 2 أ 4 + . . + 2 أ 2 أ ن + 2 أ ن - 1 أ ن

هناك صيغة أخرى قد تكون مفيدة وهي صيغة الفرق بين القوى العددية لفترين.

أ ن - ب ن = أ - ب أ ن - 1 + أ ن - 2 ب + أ ن - 3 ب 2 + . . + أ 2 ب ن - 2 + ب ن - 1

تنقسم هذه الصيغة عادة إلى صيغتين - للقوى الزوجية والفردية، على التوالي.

حتى بالنسبة للمؤشرات التي يبلغ طولها 2 متر:

أ 2 م - ب 2 م = أ 2 - ب 2 أ 2 م - 2 + أ 2 م - 4 ب 2 + أ 2 م - 6 ب 4 + . . + ب 2 م - 2

بالنسبة للأسس الفردية 2m+1:

أ 2 م + 1 - ب 2 م + 1 = أ 2 - ب 2 أ 2 م + أ 2 م - 1 ب + أ 2 م - 2 ب 2 + . . + ب 2 م

صيغ الفرق بين المربعات والفرق بين المكعبات، كما خمنت، هي حالات خاصة لهذه الصيغة لـ n = 2 وn = 3، على التوالي. لاختلاف المكعبات، يتم استبدال b أيضًا بـ - b.

كيفية قراءة صيغ الضرب المختصرة؟

سنقدم الصيغ المناسبة لكل صيغة، ولكن أولا سوف نفهم مبدأ قراءة الصيغ. الطريقة الأكثر ملاءمة للقيام بذلك هي باستخدام مثال. لنأخذ الصيغة الأولى لمربع مجموع رقمين.

أ + ب 2 = أ 2 + 2 أ ب + ب 2 .

يقولون: مربع مجموع التعبيرين a و b يساوي مجموع مربع التعبير الأول، ضعف حاصل ضرب التعبيرين ومربع التعبير الثاني.

تتم قراءة كافة الصيغ الأخرى بالمثل. لمربع الفرق أ - ب 2 = أ 2 - 2 أ ب + ب 2 نكتب:

مربع الفرق بين تعبيرين a وb يساوي مجموع مربعات هذه التعبيرات مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب التعبيرين الأول والثاني.

دعونا نقرأ الصيغة أ + ب 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3. مكعب مجموع تعبيرين a وb يساوي مجموع مكعبات هذين التعبيرين، ثلاثة أضعاف منتج مربع التعبير الأول في الثاني، وثلاثة أضعاف منتج مربع التعبير الثاني في التعبير الأول.

لننتقل إلى قراءة صيغة الفرق بين المكعبات أ - ب 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 - ب 3. مكعب الفرق بين تعبيرين a وb يساوي مكعب التعبير الأول ناقص المنتج الثلاثي لمربع التعبير الأول والثاني، بالإضافة إلى المنتج الثلاثي لمربع التعبير الثاني والتعبير الأول ، ناقص مكعب التعبير الثاني.

الصيغة الخامسة a 2 - b 2 = a - b a + b (فرق المربعات) تقرأ هكذا: الفرق بين مربعي التعبيرين يساوي حاصل ضرب الفرق ومجموع التعبيرين.

للراحة، تسمى التعبيرات مثل a 2 + a b + b 2 و a 2 - a b + b 2، على التوالي، المربع غير الكامل للمجموع والمربع غير الكامل للفرق.

مع أخذ ذلك في الاعتبار، يمكن قراءة صيغ مجموع المكعبات والفرق بينها كما يلي:

مجموع مكعبات تعبيرين يساوي حاصل ضرب مجموع هذين التعبيرين والمربع الجزئي للفرق بينهما.

الفرق بين مكعبي تعبيرين يساوي حاصل ضرب الفرق بين هذين التعبيرين والمربع الجزئي لمجموعهما.

دليل على FSU

إثبات FSU أمر بسيط للغاية. بناءً على خصائص الضرب، سنضرب أجزاء الصيغ الموجودة بين قوسين.

على سبيل المثال، النظر في صيغة الفرق التربيعي.

أ - ب 2 = أ 2 - 2 أ ب + ب 2 .

لرفع تعبير إلى القوة الثانية، عليك ضرب هذا التعبير بنفسه.

أ - ب 2 = أ - ب أ - ب .

دعونا نوسع الأقواس:

أ - ب أ - ب = أ 2 - أ ب - ب أ + ب 2 = أ 2 - 2 أ ب + ب 2 .

تم إثبات الصيغة. تم إثبات وحدات FSU المتبقية بالمثل.

أمثلة على تطبيق FSU

الغرض من استخدام صيغ الضرب المختصرة هو الضرب بسرعة وإيجاز ورفع التعبيرات إلى القوى. ومع ذلك، هذا ليس النطاق الكامل لتطبيق FSU. يتم استخدامها على نطاق واسع في تقليل التعبيرات، وتقليل الكسور، وتحليل كثيرات الحدود. دعونا نعطي أمثلة.

مثال 1. الاتحاد الفيدرالي لكرة القدم

لنبسط التعبير 9 y - (1 + 3 y) 2.

دعونا نطبق صيغة مجموع المربعات ونحصل على:

9 ص - (1 + 3 ص) 2 = 9 ص - (1 + 6 ص + 9 ص 2) = 9 ص - 1 - 6 ص - 9 ص 2 = 3 ص - 1 - 9 ص 2

مثال 2. الاتحاد الفيدرالي لكرة القدم

دعونا نبسط الكسر 8 × 3 - ض 6 4 × 2 - ض 4.

نلاحظ أن التعبير في البسط هو فرق المكعبات، وفي المقام هو فرق المربعات.

8 x 3 - ض 6 4 x 2 - ض 4 = 2 س - ض (4 x 2 + 2 x ض + ض 4) 2 x - ض 2 x + ض .

نحن نخفض ونحصل على:

8 × 3 - ض 6 4 × 2 - ض 4 = (4 × 2 + 2 × ض + ض 4) 2 س + ض 4

تساعد وحدات FSU أيضًا في حساب قيم التعبيرات. الشيء الرئيسي هو أن تكون قادرًا على ملاحظة مكان تطبيق الصيغة. دعونا نعرض هذا مع مثال.

دعونا نقوم بتربيع الرقم 79. بدلا من الحسابات المرهقة، دعونا نكتب:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

يبدو انه، عملية حسابية معقدةيتم تنفيذها بسرعة فقط باستخدام صيغ الضرب المختصرة وجداول الضرب.

آخر نقطة مهمة- تحديد مربع ذات الحدين. يمكن تحويل التعبير 4 x 2 + 4 x - 3 إلى 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . وتستخدم هذه التحولات على نطاق واسع في التكامل.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter