أهم خصائص التكامل. الخصائص الأساسية للتكامل غير المحدد

دع الوظيفة ذ = F(س) يتم تعريفه على الفاصل الزمني [ أ, ب ], أ < ب. لنقم بالعمليات التالية:

1) دعونا نقسم [ أ, ب] النقاط أ = س 0 < س 1 < ... < س أنا- 1 < س أنا < ... < س ن = ب على نقطاعات جزئية [ س 0 , س 1 ], [س 1 , س 2 ], ..., [س أنا- 1 , س أنا ], ..., [س ن- 1 , س ن ];

2) في كل من الأجزاء الجزئية [ س أنا- 1 , س أنا ], أنا = 1, 2, ... ن، اختر نقطة عشوائية واحسب قيمة الدالة عند هذه النقطة: F(ض ط ) ;

3) العثور على الأعمال F(ض ط ) · Δ س أنا ، أين هو طول الجزء الجزئي [ س أنا- 1 , س أنا ], أنا = 1, 2, ... ن;

4) دعونا المكياج مجموع لا يتجزأالمهام ذ = F(س) على الجزء [ أ, ب ]:

من وجهة نظر هندسية، هذا المجموع σ هو مجموع مساحات المستطيلات التي تكون قواعدها عبارة عن أجزاء جزئية [ س 0 , س 1 ], [س 1 , س 2 ], ..., [س أنا- 1 , س أنا ], ..., [س ن- 1 , س ن ]، والارتفاعات متساوية F(ض 1 ) , F(ض 2 ), ..., F(ض ن) وفقا لذلك (الشكل 1). دعونا نشير بواسطة λ طول الجزء الجزئي الأطول:

5) أوجد نهاية مجموع التكامل متى λ → 0.

تعريف.إذا كان هناك حد منتهٍ للمجموع التكاملي (1) ولا يعتمد على طريقة تقسيم القطعة [ أ, ب] إلى أجزاء جزئية، ولا من اختيار النقاط ض طفيها، ثم يسمى هذا الحد تكامل محددمن الوظيفة ذ = F(س) على الجزء [ أ, ب] ويشار إليه

هكذا،

في هذه الحالة الوظيفة F(س) يسمى قابل للتكاملعلى [ أ, ب]. أعداد أو بويطلق عليهم الحدود الدنيا والعليا للتكامل، على التوالي، F(س) - وظيفة التكامل، F(س ) dx- التعبير التكاملي، س – متغير التكامل; القطعة المستقيمة [ أ, ب] يسمى فترة التكامل.

النظرية 1.إذا كانت الوظيفة ذ = F(س) مستمرة على الفترة [ أ, ب]، فهو قابل للتكامل في هذه الفترة.

التكامل المحدد الذي له نفس حدود التكامل يساوي صفر:

لو أ > ب، إذن بحكم التعريف، نفترض

2. المعنى الهندسي للتكامل المحدد

دع على المقطع [ أ, ب] تم تحديد دالة مستمرة غير سلبية ذ = F(س ) . شبه منحرف منحني الأضلاعهو شكل يحده أعلاه الرسم البياني للدالة ذ = F(س)، من الأسفل - على طول محور الثور، إلى اليسار واليمين - خطوط مستقيمة س = أو س = ب(الصورة 2).

التكامل المحدد للدالة غير السالبة ذ = F(س) من وجهة نظر هندسية يساوي المساحةشبه منحرف منحني الأضلاع يحده من الأعلى الرسم البياني للدالة ذ = F(س) ، مقاطع الخط الأيسر والأيمن س = أو س = بمن الأسفل - جزء من محور الثور.

3. الخصائص الأساسية للتكامل المحدد

1. لا تعتمد قيمة التكامل المحدد على تسمية متغير التكامل:

2. يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التكامل المحدد:

3. التكامل المحدد للمجموع الجبري لدالتين يساوي المجموع الجبري للتكاملات المحددة لهذه الوظائف:

4. إذا كانت الوظيفة ذ = F(س) قابل للتكامل على [ أ, ب] و أ < ب < ج، الذي - التي

5. (يعني نظرية القيمة). إذا كانت الوظيفة ذ = F(س) مستمرة على الفترة [ أ, ب]، ثم في هذا الجزء هناك نقطة من هذا القبيل

4. صيغة نيوتن-لايبنتز

النظرية 2.إذا كانت الوظيفة ذ = F(س) مستمرة على الفترة [ أ, ب] و F(س) أي من مشتقاته العكسية على هذه القطعة، فإن الصيغة التالية صالحة:

من اتصل صيغة نيوتن-لايبنتز.اختلاف F(ب) - F(أ) عادة ما يتم كتابته على النحو التالي:

حيث يسمى الرمز حرف بدل مزدوج.

وبالتالي يمكن كتابة الصيغة (2) على النحو التالي:

مثال 1.حساب التكامل

حل. بالنسبة للتكامل F(س ) = س 2 المشتق العكسي التعسفي له الشكل

نظرًا لأنه يمكن استخدام أي مشتق عكسي في صيغة نيوتن-لايبنتز، لحساب التكامل، فإننا نأخذ المشتق العكسي الذي له أبسط صورة:

5. تغيير المتغير في تكامل محدد

النظرية 3.دع الوظيفة ذ = F(س) مستمرة على الفترة [ أ, ب]. لو:

1) الوظيفة س = φ ( ر) ومشتقتها φ "( ر) مستمرة لـ ؛

2) مجموعة من القيم الوظيفية س = φ ( ر) لأنه الجزء [ أ, ب ];

3) φ ( أ) = أ, φ ( ب) = ب، فإن الصيغة صالحة

من اتصل صيغة لتغيير متغير في تكامل محدد .

على عكس تكامل غير محدد، في هذه الحالة ليس من الضروريللعودة إلى متغير التكامل الأصلي - يكفي فقط العثور على حدود جديدة للتكامل α و β (لهذا تحتاج إلى حل المتغير رالمعادلات φ ( ر) = أو φ ( ر) = ب).

بدلا من الاستبدال س = φ ( ر) يمكنك استخدام الاستبدال ر = ز(س) . في هذه الحالة، إيجاد حدود جديدة للتكامل على متغير ريبسط: α = ز(أ) , β = ز(ب) .

مثال 2. حساب التكامل

حل. دعونا نقدم متغيرًا جديدًا باستخدام الصيغة. وبتربيع طرفي المساواة نحصل على 1+ س = ر 2 ، أين س = ر 2 - 1, dx = (ر 2 - 1)"dt= 2tdt. نجد حدود جديدة للتكامل. للقيام بذلك، دعونا نعوض بالنهايات القديمة في الصيغة س = 3 و س = 8. نحصل على: من أين ر= 2 و α = 2؛ ، أين ر= 3 و β = 3. لذا،

مثال 3.احسب

حل. يترك ش= سجل س، ثم ، الخامس = س. حسب الصيغة (4)

يعد حل التكاملات مهمة سهلة، ولكن فقط لقلة مختارة. هذه المقالة مخصصة لأولئك الذين يريدون تعلم كيفية فهم التكاملات، ولكنهم لا يعرفون شيئًا عنها أو لا يعرفون شيئًا تقريبًا عنها. لا يتجزأ... لماذا هو مطلوب؟ كيفية حساب ذلك؟ ما هي التكاملات المحددة وغير المحددة؟

إذا كان الاستخدام الوحيد الذي تعرفه للتكامل هو استخدام خطاف كروشيه على شكل أيقونة متكاملة للحصول على شيء مفيد من الأماكن التي يصعب الوصول إليها، فمرحبًا بك! تعرف على كيفية حل أبسط التكاملات وغيرها ولماذا لا يمكنك الاستغناء عنها في الرياضيات.

نحن ندرس المفهوم « أساسي »

كان التكامل معروفًا مرة أخرى في مصر القديمة. بالطبع لا في الشكل الحديث، لكن مازال. ومنذ ذلك الحين، كتب علماء الرياضيات العديد من الكتب حول هذا الموضوع. تميزوا بشكل خاص نيوتن و لايبنتز لكن جوهر الأشياء لم يتغير.

كيف نفهم التكاملات من الصفر؟ مستحيل! لفهم هذا الموضوع، ستظل بحاجة إلى معرفة أساسية بأساسيات التحليل الرياضي. لدينا بالفعل معلومات حول، ضرورية لفهم التكاملات، على مدونتنا.

تكامل غير محدد

دعونا نحصل على بعض الوظائف و (خ) .

دالة تكاملية غير محددة و (خ) تسمى هذه الوظيفة و(خ) ، الذي مشتقه يساوي الدالة و (خ) .

بمعنى آخر، التكامل هو مشتق عكسي أو مشتق عكسي. بالمناسبة، اقرأ عن كيفية القيام بذلك في مقالتنا.

يوجد مشتق عكسي لجميع الوظائف المستمرة. أيضًا، غالبًا ما تتم إضافة علامة ثابتة إلى المشتق العكسي، نظرًا لأن مشتقات الوظائف التي تختلف بثبات تتزامن. تسمى عملية إيجاد التكامل بالتكامل.

مثال بسيط:

من أجل عدم حساب المشتقات العكسية للوظائف الأولية باستمرار، فمن الملائم وضعها في جدول واستخدام القيم الجاهزة.

جدول كامل للتكاملات للطلاب

تكامل محدد

عند التعامل مع مفهوم التكامل، فإننا نتعامل مع كميات متناهية الصغر. سيساعد التكامل في حساب مساحة الشكل وكتلة الجسم غير المنتظم والمسافة المقطوعة أثناء الحركة غير المستوية وغير ذلك الكثير. يجب أن نتذكر أن التكامل هو مجموع لا نهائي كمية كبيرةمصطلحات متناهية الصغر.

على سبيل المثال، تخيل رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف.

كيفية العثور على مساحة الشكل الذي يحده الرسم البياني للدالة؟ باستخدام جزء لا يتجزأ! دعونا نقسم شبه المنحرف المنحني، المحدود بمحاور الإحداثيات والرسم البياني للدالة، إلى أجزاء متناهية الصغر. بهذه الطريقة سيتم تقسيم الشكل إلى أعمدة رفيعة. مجموع مساحات الأعمدة سيكون مساحة شبه المنحرف. لكن تذكر أن مثل هذا الحساب سيعطي نتيجة تقريبية. ومع ذلك، كلما كانت الأجزاء أصغر وأضيق، كلما كان الحساب أكثر دقة. إذا قمنا بتقليلها إلى درجة أن الطول يميل إلى الصفر، فإن مجموع مساحات القطع سوف يميل إلى مساحة الشكل. وهذا تكامل محدد، وهو مكتوب على النحو التالي:

تسمى النقطتان a وb بحدود التكامل.

« أساسي »

بالمناسبة! لقرائنا هناك الآن خصم 10٪ على

قواعد لحساب التكاملات للدمى

خصائص التكامل غير المحدد

كيفية حل تكامل غير محدد؟ سننظر هنا إلى خصائص التكامل غير المحدد، والتي ستكون مفيدة عند حل الأمثلة.

• مشتق التكامل يساوي التكامل:

• يمكن إخراج الثابت من تحت علامة التكامل:

• تكامل المجموع يساوي مجموع التكاملات. وهذا ينطبق أيضًا على الفرق:

خصائص التكامل المحدد

• الخطية:

• تتغير إشارة التكامل إذا بدلت حدود التكامل:

• في أينقاط أ, بو مع:

لقد اكتشفنا بالفعل أن التكامل المحدد هو نهاية المجموع. ولكن كيف يمكن الحصول على قيمة محددة عند حل مثال؟ لهذا هناك صيغة نيوتن-لايبنتز:

أمثلة على حل التكاملات

أدناه سننظر في التكامل غير المحدد والأمثلة مع الحلول. نقترح عليك معرفة تعقيدات الحل بنفسك، وإذا كان هناك شيء غير واضح، اطرح الأسئلة في التعليقات.

لتعزيز المادة، شاهد مقطع فيديو حول كيفية حل التكاملات عمليًا. لا تيأس إذا لم يتم إعطاء التكامل على الفور. اتصل بخدمة احترافية للطلاب، وسيكون أي تكامل ثلاثي أو منحني على سطح مغلق في حدود طاقتك.

تُستخدم هذه الخصائص لإجراء تحويلات التكامل من أجل اختزاله إلى أحد التكاملات الأولية وإجراء مزيد من العمليات الحسابية.

1. مشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل:

2. تفاضل التكامل غير المحدد يساوي التكامل:

3. التكامل غير المحدد للتفاضل لوظيفة معينة يساوي مجموع هذه الوظيفة وثابت اعتباطي:

4. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:

علاوة على ذلك، ≠ 0

5. تكامل المجموع (الفرق) يساوي مجموع (الفرق) التكاملات:

6. الخاصية عبارة عن مزيج من الخاصيتين 4 و5:

علاوة على ذلك، أ ≠ 0 ˄ ب ≠ 0

7. خاصية الثبات للتكامل غير المحدد:

اذا ثم

8. الملكية:

اذا ثم

في الواقع، هذه الخاصية هي حالة خاصة من التكامل باستخدام طريقة التغيير المتغير، والتي سيتم مناقشتها بمزيد من التفصيل في القسم التالي.

لنلقي نظرة على مثال:

أولاً قمنا بتطبيق الخاصية 5، ثم الخاصية 4، ثم استخدمنا جدول المشتقات العكسية وحصلنا على النتيجة.

تدعم خوارزمية الآلة الحاسبة المتكاملة عبر الإنترنت جميع الخصائص المذكورة أعلاه وستجد بسهولة حلاً مفصلاً للتكامل الخاص بك.

تتحدث هذه المقالة بالتفصيل عن الخصائص الرئيسية للتكامل المحدد. تم إثباتها باستخدام مفهوم تكامل ريمان ودربوكس. يتم حساب التكامل المحدد بفضل 5 خصائص. يتم استخدام العناصر المتبقية لتقييم التعبيرات المختلفة.

قبل الانتقال إلى الخصائص الرئيسية للتكامل المحدد، من الضروري التأكد من أن أ لا يتجاوز ب.

الخصائص الأساسية للتكامل المحدد

التعريف 1

الدالة y = f (x) المحددة عند x = a تشبه المساواة العادلة ∫ a a f (x) d x = 0.

الدليل 1

ومن هذا نرى أن قيمة التكامل ذو النهايتين المتقابلتين تساوي صفرًا. وهذا نتيجة لتكامل ريمان، لأن كل مجموع تكامل σ لأي قسم على الفترة [ a ; a ] وأي اختيار للنقاط ζ i يساوي صفر، لأن x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n مما يعني أننا نجد أن نهاية الدوال التكاملية هي صفر.

التعريف 2

بالنسبة إلى دالة قابلة للتكامل في الفاصل الزمني [a؛ b ] ، الشرط ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x محقق.

الدليل 2

بمعنى آخر، إذا قمت بتبديل الحدين العلوي والسفلي للتكامل، فإن قيمة التكامل ستتغير إلى القيمة المقابلة. هذا العقارمأخوذة من تكامل ريمان. ومع ذلك، يبدأ ترقيم قسم المقطع من النقطة x = b.

التعريف 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x ينطبق على الوظائف القابلة للتكامل من النوع y = f (x) و y = g (x) المحددة في الفاصل الزمني [ a ; ب ] .

الدليل 3

اكتب المجموع المتكامل للدالة y = f (x) ± g (x) للتقسيم إلى مقاطع مع اختيار معين للنقاط ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

حيث σ f و σ g عبارة عن مجموع متكامل للوظائف y = f (x) و y = g (x) لتقسيم المقطع. بعد تجاوز الحد عند lect = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 نحصل على ذلك lim ẫ → 0 σ = lim ẫ → 0 σ f ± σ g = lim ẫ → 0 σ g ± lim ẫ → 0 σ g .

من تعريف ريمان، هذا التعبير مكافئ.

التعريف 4

مد العامل الثابت إلى ما بعد إشارة التكامل المحدد. دالة متكاملة من الفاصل الزمني [أ؛ b ] بقيمة عشوائية k لديها عدم مساواة عادلة بالشكل ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

الدليل 4

برهان خاصية التكامل المحددة يشبه البرهان السابق:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim σ → 0 σ = lim ẫ → 0 (k · σ f) = k · lim ẫ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

التعريف 5

إذا كانت دالة من الصيغة y = f (x) قابلة للتكامل على فترة x مع ∈ x, b ∈ x، فإننا نحصل على أن ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d س.

الدليل 5

تعتبر الخاصية صالحة لـ c ∈ a؛ ب، ل ج ≥ أ و ج ≥ ب. والدليل مشابه للخصائص السابقة.

التعريف 6

عندما تكون الوظيفة قابلة للتكامل من المقطع [a؛ b ]، فهذا ممكن لأي مقطع داخلي c؛ د ∈ أ ; ب.

الدليل 6

يعتمد الدليل على خاصية Darboux: إذا تمت إضافة نقاط إلى قسم موجود من قطعة ما، فلن ينخفض ​​مجموع Darboux السفلي، ولن يزيد الجزء العلوي.

التعريف 7

عندما تكون الدالة قابلة للتكامل في [a; b ] من f (x) ≥ 0 f (x) ≥ 0 لأي قيمة x ∈ a ; b ، ثم نحصل على ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≥ 0 .

يمكن إثبات الخاصية باستخدام تعريف تكامل ريمان: أي مجموع متكامل لأي اختيار لنقاط تقسيم المقطع والنقاط ζ i بشرط أن تكون f (x) ≥ 0 f (x) ≥ 0 غير سالبة .

الدليل 7

إذا كانت الدالتان y = f (x) و y = g (x) قابلة للتكامل في الفترة [ a ; ب ]، فإن المتباينات التالية تعتبر صحيحة:

∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; ب ∫ أ ب f (x) د س ≥ ∫ أ ب ز (x) د س , f (x) ≥ ز (x) ∀ س ∈ أ ; ب

وبفضل البيان نعلم أن التكامل جائز. سيتم استخدام هذه النتيجة الطبيعية في إثبات الخصائص الأخرى.

التعريف 8

بالنسبة لدالة متكاملة y = f (x) من الفاصل الزمني [ a ; b ] لدينا متباينة عادلة بالشكل ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b f (x) d x .

الدليل 8

لدينا ذلك - f (x) ≥ f (x) ≥ f (x) . من الخاصية السابقة وجدنا أن المتراجحة يمكن تكاملها حدًا تلو الآخر وهي تتوافق مع متباينة بالشكل - ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b f (x) d x . يمكن كتابة هذه المتباينة المزدوجة بصيغة أخرى: ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b f (x) d x .

التعريف 9

عندما يتم دمج الدالتين y = f (x) و y = g (x) من الفاصل الزمني [ a ; b ] لـ g (x) ≥ 0 لأي x ∈ a ; b ، حصلنا على متباينة من الصيغة m · ∫ a b g (x) d x ≥ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≥ M · ∫ a b g (x) d x , حيث m = m i n x ∈ a ; ب و (س) و م = م أ س س ∈ أ ; ب و (خ) .

الدليل 9

يتم تنفيذ الإثبات بطريقة مماثلة. تعتبر M و m أكبر وأصغر قيم للدالة y = f (x) المحددة من المقطع [a؛ b ] ، ثم m ≥ f (x) ≥ M . من الضروري ضرب عدم المساواة المزدوجة بالدالة y = g (x)، والتي ستعطي قيمة عدم المساواة المزدوجة بالصيغة m g (x) ≥ f (x) g (x) ≥ M g (x). من الضروري دمجها في الفاصل الزمني [a؛ ب ] ، ثم نحصل على البيان المراد إثباته.

عاقبة: بالنسبة لـ g (x) = 1، تأخذ المتراجحة الشكل m · b - a ≥ ∫ a b f (x) d x ≥ M · (b - a) .

الصيغة المتوسطة الأولى

التعريف 10

بالنسبة لـ y = f (x) قابلة للتكامل على الفاصل الزمني [ a ; ب ] مع m = m i n x ∈ a ; ب و (س) و م = م أ س س ∈ أ ; ب و (س) هناك رقم μ ∈ م؛ M ، الذي يناسب ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

عاقبة: عندما تكون الدالة y = f (x) متصلة من الفاصل الزمني [ a ; ب ]، ثم هناك رقم ج ∈ أ؛ ب، الذي يحقق المساواة ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

الصيغة المتوسطة الأولى في شكل معمم

التعريف 11

عندما تكون الدالتان y = f (x) و y = g (x) قابلة للتكامل من الفاصل الزمني [ a ; ب ] مع m = m i n x ∈ a ; ب و (س) و م = م أ س س ∈ أ ; b f (x) , و g (x) > 0 لأي قيمة x ∈ a ; ب. من هنا نجد أن هناك عددًا μ ∈ m؛ M , الذي يحقق المساواة ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

صيغة المتوسط ​​الثاني

التعريف 12

عندما تكون الدالة y = f (x) قابلة للتكامل من الفاصل الزمني [ a ; b ]، و y = g (x) رتيب، إذن هناك رقم c ∈ a؛ b ، حيث نحصل على مساواة عادلة بالشكل ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

دالة المشتقة العكسية والتكامل غير المحدد

الحقيقة 1. التكامل هو الإجراء العكسي للتمايز، أي استعادة دالة من المشتق المعروف لهذه الدالة. وهكذا تم استعادة الوظيفة F(س) يسمى مشتق مضادللوظيفة F(س).

التعريف 1. الوظيفة F(س F(س) في فترة ما X، إذا لجميع القيم سمن هذه الفترة تتحقق المساواة F "(س)=F(س) أي هذه الوظيفة F(س) هو مشتق من وظيفة المشتق العكسي F(س). .

على سبيل المثال، الدالة F(س) = خطيئة س هو مشتق عكسي للوظيفة F(س) = كوس س على خط الأعداد بأكمله، لأنه لأي قيمة لـ x (الخطيئة س)" = (كوس س) .

التعريف 2. التكامل غير المحدد للدالة F(س) هي مجموعة جميع مشتقاتها المضادة. في هذه الحالة، يتم استخدام التدوين

∫

F(س)dx

,

أين هي العلامة ∫ تسمى علامة التكامل، الدالة F(س) - وظيفة التكامل، و F(س)dx - تعبير التكامل.

وهكذا إذا F(س) - بعض المشتقات المضادة ل F(س) ، الذي - التي

∫

F(س)dx = F(س) +ج

أين ج - ثابت تعسفي (ثابت).

لفهم معنى مجموعة المشتقات العكسية للدالة باعتبارها تكاملًا غير محدد، فإن القياس التالي مناسب. يجب أن يكون هناك باب (باب خشبي تقليدي). وظيفتها هي أن تكون "بابًا". ما هو الباب مصنوع من؟ مصنوع من الخشب. وهذا يعني أن مجموعة المشتقات العكسية للدالة "ليكون بابًا"، أي تكاملها غير المحدد، هي الدالة "ليكون شجرة + C"، حيث C ثابت، والذي يمكن في هذا السياق تشير، على سبيل المثال، إلى نوع الشجرة. فكما يصنع الباب من الخشب باستخدام بعض الأدوات، يتم "صنع" مشتقة دالة من دالة مشتقة عكسية باستخدام الصيغ التي تعلمناها أثناء دراسة المشتقة .

ثم يكون جدول وظائف الأشياء المشتركة والمشتقات العكسية المقابلة لها ("أن تكون بابًا" - "أن تكون شجرة"، "أن تكون ملعقة" - "أن تكون معدنًا"، وما إلى ذلك) مشابهًا لجدول الدوال الأساسية. التكاملات غير المحددة، والتي سيتم تقديمها أدناه. يسرد جدول التكاملات غير المحددة الوظائف الشائعة مع الإشارة إلى المشتقات العكسية التي "تُصنع" منها هذه الوظائف. في جزء من المسائل المتعلقة بإيجاد التكامل غير المحدد، يتم إعطاء التكاملات التي يمكن تكاملها مباشرة دون بذل الكثير من الجهد، أي باستخدام جدول التكاملات غير المحددة. في المسائل الأكثر تعقيدًا، يجب أولاً تحويل التكامل بحيث يمكن استخدام تكاملات الجدول.

الحقيقة 2. عند استعادة دالة كمشتق عكسي، يجب أن نأخذ في الاعتبار ثابتًا اعتباطيًا (ثابت) ج، ولكي لا تكتب قائمة من المشتقات العكسية بثوابت مختلفة من 1 إلى ما لا نهاية، عليك أن تكتب مجموعة من المشتقات العكسية ذات ثابت اختياري جمثلا هكذا: 5 س³+ج. لذلك، يتم تضمين ثابت تعسفي (ثابت) في التعبير عن المشتق العكسي، حيث يمكن أن يكون المشتق العكسي دالة، على سبيل المثال، 5 س³+4 أو 5 س³+3 وعند التفريق فإن 4 أو 3 أو أي ثابت آخر يذهب إلى الصفر.

دعونا نطرح مشكلة التكامل: لهذه الوظيفة F(س) العثور على مثل هذه الوظيفة F(س), الذي مشتقيساوي F(س).

مثال 1.أوجد مجموعة المشتقات العكسية للدالة

حل. بالنسبة لهذه الوظيفة، المشتق العكسي هو الوظيفة

وظيفة F(س) يسمى مشتق عكسي للوظيفة F(س)، إذا كان المشتق F(س) مساوي ل F(س) أو وهو نفس الشيء التفاضلي F(س) متساوي F(س) dx، أي.

(2)

وبالتالي، فإن الدالة هي مشتق عكسي للدالة. ومع ذلك، فهو ليس المشتق المضاد الوحيد لـ . كما أنها بمثابة وظائف

أين مع- ثابت تعسفي. ويمكن التحقق من ذلك عن طريق التمايز.

وبالتالي، إذا كان هناك مشتقة عكسية واحدة للدالة، فإن لها عددًا لا نهائيًا من المشتقات العكسية التي تختلف بحد ثابت. جميع المشتقات العكسية للدالة مكتوبة في النموذج أعلاه. هذا يتبع من النظرية التالية.

النظرية (البيان الرسمي للحقيقة 2).لو F(س) - المشتق العكسي للوظيفة F(س) في فترة ما X، ثم أي مشتق مضاد آخر لـ F(س) على نفس الفاصل الزمني يمكن تمثيله في النموذج F(س) + ج، أين مع- ثابت تعسفي.

في المثال التالي، ننتقل إلى جدول التكاملات، الذي سيتم ذكره في الفقرة 3، بعد خصائص التكامل غير المحدد. نقوم بذلك قبل قراءة الجدول بأكمله حتى يتضح جوهر ما سبق. وبعد الجدول والخصائص، سنستخدمها بالكامل أثناء التكامل.

مثال 2.ابحث عن مجموعات من وظائف المشتقات العكسية:

حل. نجد مجموعات من الدوال المشتقة العكسية التي "تُصنع" منها هذه الدوال. عند ذكر الصيغ من جدول التكاملات، في الوقت الحالي فقط اقبل وجود مثل هذه الصيغ هناك، وسوف ندرس جدول التكاملات غير المحددة نفسه بشكل أعمق قليلاً.

1) تطبيق الصيغة (7) من جدول التكاملات ن= 3، نحصل على

2) استخدام الصيغة (10) من جدول التكاملات ن= 1/3، لدينا

3) منذ

ثم حسب الصيغة (7) مع ن= -1/4 نجد

ليست الوظيفة نفسها مكتوبة تحت علامة التكامل. F، ومنتجه بالتفاضل dx. يتم ذلك في المقام الأول من أجل الإشارة إلى المتغير الذي يتم البحث عن المشتق العكسي به. على سبيل المثال،

, ;

هنا في كلتا الحالتين يكون التكامل مساويًا لـ ، لكن تكاملاته غير المحددة في الحالات قيد النظر تكون مختلفة. في الحالة الأولى، تعتبر هذه الوظيفة بمثابة دالة للمتغير سوفي الثانية - كوظيفة ض .

تسمى عملية إيجاد التكامل غير المحدد للدالة بتكامل تلك الوظيفة.

المعنى الهندسي للتكامل غير المحدد

لنفترض أننا بحاجة إلى العثور على منحنى ص = و (س)ونحن نعلم بالفعل أن ظل الزاوية المماسية عند كل نقطة من نقاطها هو دالة معينة و (خ)حدود هذه النقطة.

وفقا للمعنى الهندسي للمشتق، ظل زاوية ميل المماس عند نقطة معينة من المنحنى ص = و (س)يساوي قيمة المشتقة واو"(خ). لذلك نحن بحاجة إلى العثور على مثل هذه الوظيفة و(خ)، لأي منهم F"(x)=f(x). الوظيفة المطلوبة في المهمة و(خ)هو مشتق مضاد ل و (خ). لا يتم استيفاء شروط المشكلة بمنحنى واحد، بل بمجموعة من المنحنيات. ص = و (س)- أحد هذه المنحنيات، وأي منحنى آخر يمكن الحصول عليه منه بالانتقال الموازي على طول المحور أوي.

دعنا نسمي الرسم البياني لوظيفة المشتق العكسي لـ و (خ)منحنى متكامل. لو F"(x)=f(x)، ثم الرسم البياني للوظيفة ص = و (س)هناك منحنى متكامل.

الحقيقة 3. يتم تمثيل التكامل غير المحدد هندسيًا بواسطة عائلة جميع منحنيات التكامل ، كما في الصورة أدناه. يتم تحديد مسافة كل منحنى من أصل الإحداثيات بواسطة ثابت التكامل التعسفي ج.

خصائص التكامل غير المحدد

الحقيقة 4. النظرية 1. مشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل، وتفاضله يساوي التكامل.

الحقيقة 5. النظرية 2. التكامل غير المحدد لتفاضل الوظيفة F(س) يساوي الدالة F(س) حتى مدة ثابتة ، أي.

(3)

توضح النظريات 1 و 2 أن التمايز والتكامل عمليتان عكسيتان.

الحقيقة 6. النظرية 3. يمكن إخراج العامل الثابت في التكامل من إشارة التكامل غير المحدد ، أي.