مساحة السطح الجانبية للهرم المستقيم متساوية. مساحة السطح الجانبية للأهرامات المختلفة

ما الشكل الذي نسميه الهرم؟ أولاً، إنه متعدد السطوح. ثانيا، عند قاعدة هذا متعدد السطوح يوجد مضلع تعسفي، وجوانب الهرم (الوجوه الجانبية) لها بالضرورة شكل مثلثات تتقارب عند قمة واحدة مشتركة. والآن بعد أن فهمنا المصطلح، دعونا نتعرف على كيفية إيجاد مساحة سطح الهرم.

ومن الواضح أن مساحة سطح هذا الجسم الهندسي تتكون من مجموع مساحات القاعدة وكامل سطحه الجانبي.

حساب مساحة قاعدة الهرم

يعتمد اختيار صيغة الحساب على شكل المضلع الموجود أسفل هرمنا. يمكن أن تكون منتظمة، أي ذات جوانب متساوية الطول، أو غير منتظمة. دعونا نفكر في كلا الخيارين.

القاعدة عبارة عن مضلع منتظم

من الدورة المدرسية نعرف:

• مساحة المربع ستكون مساوية لطول ضلعه المربع؛
• مساحة المثلث متساوي الأضلاع تساوي مربع جانبه مقسومًا على 4 ومضروبًا في الجذر التربيعي لثلاثة.

ولكن هناك أيضا صيغة عامة، لحساب مساحة أي مضلع منتظم (Sn): تحتاج إلى ضرب محيط هذا المضلع (P) في نصف قطر الدائرة المبينة فيه (r)، ثم قسمة النتيجة على اثنين: Sn= 1/2 ف * ص.

يوجد في القاعدة مضلع غير منتظم

مخطط العثور على مساحته هو تقسيم المضلع بأكمله أولاً إلى مثلثات، وحساب مساحة كل واحد منهم باستخدام الصيغة: 1/2a*h (حيث a هي قاعدة المثلث، h هو الارتفاع المنخفض إلى هذه القاعدة)، قم بجمع كافة النتائج.

مساحة السطح الجانبية للهرم

والآن لنحسب مساحة السطح الجانبي للهرم أي مجموع مساحات جميع أضلاعه الجانبية. هناك أيضًا خياران هنا.

1. دعونا يكون لدينا هرم تعسفي، أي. واحد مع مضلع غير منتظم في قاعدته. ثم عليك حساب مساحة كل وجه على حدة وإضافة النتائج. نظرًا لأن جوانب الهرم، بحكم التعريف، لا يمكن أن تكون إلا مثلثات، فسيتم الحساب باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه: S=1/2a*h.
2. دع هرمنا يكون صحيحا، أي. وفي قاعدته مضلع منتظم، وبروز قمة الهرم في مركزه. بعد ذلك، لحساب مساحة السطح الجانبي (Sb)، يكفي إيجاد نصف منتج محيط المضلع الأساسي (P) وارتفاع (h) الجانب الجانبي (نفس الشيء بالنسبة لجميع الوجوه ): Sb = 1/2 ف*ح. يتم تحديد محيط المضلع عن طريق جمع أطوال جميع أضلاعه.

يتم إيجاد المساحة الكلية للهرم العادي من خلال جمع مساحة قاعدته مع مساحة السطح الجانبي بأكمله.

أمثلة

على سبيل المثال، دعونا نحسب جبريًا مساحات أسطح العديد من الأهرامات.

مساحة سطح الهرم الثلاثي

في قاعدة هذا الهرم يوجد مثلث. باستخدام الصيغة So=1/2a*h نجد مساحة القاعدة. نستخدم نفس الصيغة لإيجاد مساحة كل وجه من وجوه الهرم، الذي له أيضًا شكل مثلث، ونحصل على 3 مساحات: S1 وS2 وS3. مساحة السطح الجانبي للهرم هي مجموع المساحات كلها: Sb = S1+ S2+ S3. وبجمع مساحات الجوانب والقاعدة نحصل على المساحة السطحية الكلية للهرم المطلوب: Sp= So+ Sb.

مساحة سطح الهرم الرباعي

مساحة السطح الجانبي هي مجموع 4 حدود: Sb = S1+ S2+ S3+ S4، ويتم حساب كل منها باستخدام صيغة مساحة المثلث. ويجب البحث عن مساحة القاعدة اعتمادًا على شكل الشكل الرباعي - منتظمًا أو غير منتظم. يتم الحصول على المساحة الإجمالية للهرم مرة أخرى عن طريق إضافة مساحة القاعدة ومساحة السطح الإجمالية للهرم المحدد.

هو شكل متعدد الأوجه، قاعدته مضلع، والأوجه المتبقية ممثلة بمثلثات ذات قمة مشتركة.

وإذا كانت القاعدة مربعة يسمى هرماً رباعي الزوايا، إذا كان المثلث – إذن الثلاثي. يتم رسم ارتفاع الهرم من قمته المتعامدة مع قاعدته. تستخدم أيضا لحساب المساحة apothem- ارتفاع الوجه الجانبي منخفضا عن قمته.
صيغة مساحة السطح الجانبي للهرم هي مجموع مساحات أوجهه الجانبية المتساوية مع بعضها البعض. ومع ذلك، يتم استخدام طريقة الحساب هذه نادرا جدا. بشكل أساسي، يتم حساب مساحة الهرم من خلال محيط القاعدة والارتفاع:

لنفكر في مثال لحساب مساحة السطح الجانبي للهرم.

دعونا نعطي هرمًا قاعدته ABCDE وقمته F. AB =BC =CD =DE =EA =3 سم Apothem a = 5 سم أوجد مساحة السطح الجانبي للهرم.
دعونا نجد المحيط. بما أن جميع أحرف القاعدة متساوية، فإن محيط الشكل الخماسي يساوي:
الآن يمكنك إيجاد المساحة الجانبية للهرم:

مساحة الهرم الثلاثي المنتظم

يتكون الهرم الثلاثي المنتظم من قاعدة يقع فيها مثلث منتظم وثلاثة أضلاع متساوية في المساحة.
يمكن حساب صيغة مساحة السطح الجانبية للهرم الثلاثي العادي بطرق مختلفة. يمكنك تطبيق الصيغة الحسابية المعتادة باستخدام المحيط والقياس، أو يمكنك إيجاد مساحة وجه واحد وضربها في ثلاثة. وبما أن وجه الهرم مثلث، فإننا نطبق صيغة مساحة المثلث. وسوف يتطلب apothem وطول القاعدة. لنفكر في مثال لحساب مساحة السطح الجانبية لهرم ثلاثي منتظم.

إذا كان الهرم أ = 4 سم وقاعدته ب = 2 سم، أوجد مساحة السطح الجانبي للهرم.
أولا، العثور على مساحة أحد الوجوه الجانبية. في هذه الحالة سيكون:
استبدل القيم في الصيغة:
وبما أن جميع أضلاع الهرم المنتظم متساوية، فإن مساحة السطح الجانبي للهرم ستكون مساوية لمجموع مساحات الأوجه الثلاثة. على التوالى:

مساحة الهرم المقطوع

مبتورةالهرم هو متعدد السطوح يتكون من هرم ومقطعه العرضي موازي للقاعدة.
إن صيغة مساحة السطح الجانبية للهرم المقطوع بسيطة للغاية. المساحة تساوي حاصل ضرب نصف مجموع محيطي القاعدتين والقياس:

قبل دراسة الأسئلة المتعلقة بهذا الشكل الهندسي وخصائصه، عليك أن تفهم بعض المصطلحات. عندما يسمع الإنسان عن الهرم يتخيل مباني ضخمة في مصر. هذا ما تبدو عليه أبسط الأشياء. لكنها تحدث أنواع مختلفةوالأشكال، مما يعني أن صيغة الحساب للأشكال الهندسية ستكون مختلفة.

أنواع الشكل

الهرم – الشكل الهندسي ، يدل ويمثل عدة وجوه. في جوهرها، هذا هو نفس متعدد السطوح، الذي يقع في قاعدته مضلع، وعلى الجانبين هناك مثلثات متصلة عند نقطة واحدة - قمة الرأس. يأتي الشكل في نوعين رئيسيين:

• صحيح؛
• مبتورة.

في الحالة الأولى، تكون القاعدة مضلعًا منتظمًا. هنا جميع الأسطح الجانبية متساويةبينهم وبين الشكل نفسه سوف يرضي عين الكمال.

في الحالة الثانية، هناك قاعدتان - كبيرة في الأسفل وصغيرة بين الأعلى، تكرر شكل القاعدة الرئيسية. وبعبارة أخرى، الهرم المقطوع هو متعدد السطوح مع مقطع عرضي يتكون بالتوازي مع القاعدة.

المصطلحات والرموز

الشروط الاساسية:

• مثلث منتظم (متساوي الأضلاع).- شكل ذو ثلاث زوايا متساوية وأضلاع متساوية. في هذه الحالة، جميع الزوايا قياسها 60 درجة. هذا الشكل هو أبسط متعددات الوجوه العادية. إذا كان هذا الرقم يكمن في القاعدة، فسيتم استدعاء مثل هذا متعدد السطوح الثلاثي العادي. إذا كانت القاعدة مربعة، فسيسمى الهرم هرمًا رباعي الزوايا منتظمًا.
• قمة الرأس- أعلى نقطة تلتقي فيها الحواف. يتكون ارتفاع القمة من خط مستقيم يمتد من القمة إلى قاعدة الهرم.
• حافة- إحدى طائرات المضلع. ويمكن أن يكون على شكل مثلث في حالة الهرم الثلاثي، أو على شكل شبه منحرف في حالة الهرم المقطوع.
• قسم – شخصية مسطحة، تشكلت نتيجة للتشريح. لا ينبغي الخلط بينه وبين القسم، حيث أن القسم يظهر أيضًا ما هو خلف القسم.
• أبوثيم- القطعة الممتدة من أعلى الهرم إلى قاعدته. وهو أيضًا ارتفاع الوجه حيث تقع نقطة الارتفاع الثانية. هذا التعريف صالح فقط فيما يتعلق بمتعدد السطوح المنتظم. على سبيل المثال، إذا لم يكن هذا هرمًا مقطوعًا، فسيكون الوجه مثلثًا. في هذه الحالة، سوف يصبح ارتفاع هذا المثلث هو القياس.

صيغ المنطقة

أوجد مساحة السطح الجانبية للهرميمكن عمل أي نوع بعدة طرق. إذا كان الشكل غير متماثل وهو مضلع ذو جوانب مختلفة، فمن الأسهل في هذه الحالة حساب إجمالي مساحة السطح من خلال إجمالي جميع الأسطح. بمعنى آخر، تحتاج إلى حساب مساحة كل وجه وجمعها معًا.

اعتمادًا على المعلمات المعروفة، قد تكون هناك حاجة إلى صيغ لحساب مربع أو شبه منحرف أو رباعي تعسفي، وما إلى ذلك. الصيغ نفسها في حالات مختلفةسيكون لها أيضا اختلافات.

في حالة الشكل المنتظم، يكون العثور على المنطقة أسهل بكثير. يكفي معرفة بعض المعلمات الأساسية فقط. في معظم الحالات، تكون الحسابات مطلوبة خصيصًا لهذه الأرقام. ولذلك، سيتم إعطاء الصيغ المقابلة أدناه. وإلا فسيتعين عليك كتابة كل شيء على عدة صفحات، الأمر الذي لن يؤدي إلا إلى إرباكك وإرباكك.

الصيغة الأساسية للحسابمساحة السطح الجانبية للهرم العادي سيكون لها الشكل التالي:

S=½ Pa (P هو محيط القاعدة، وهو الارتفاع)

دعونا ننظر إلى مثال واحد. متعدد السطوح له قاعدة ذات قطاعات A1، A2، A3، A4، A5، وكلها تساوي 10 سم، فليكن الارتفاع يساوي 5 سم، تحتاج أولاً إلى إيجاد المحيط. بما أن جميع أوجه القاعدة الخمسة متماثلة، يمكنك إيجادها على النحو التالي: P = 5 * 10 = 50 سم، وبعد ذلك نطبق الصيغة الأساسية: S = ½ * 50 * 5 = 125 سم مربع.

مساحة السطح الجانبية للهرم الثلاثي المنتظمأسهل لحساب. تبدو الصيغة كما يلي:

S =½* ab *3، حيث a هو القياس، b هو وجه القاعدة. والعامل ثلاثة هنا يعني عدد أوجه القاعدة، والجزء الأول هو مساحة السطح الجانبي. لنلقي نظرة على مثال. إذا أخذنا شكلًا قياس قطره 5 سم وقاعدته 8 سم، نحسب: S = 1/2*5*8*3=60 سم مربع.

مساحة السطح الجانبية للهرم المقطوعإنه أصعب قليلاً في الحساب. تبدو الصيغة كما يلي: S =1/2*(p_01+ p_02)*a، حيث p_01 وp_02 هما محيطا القواعد، وهو الارتفاع. لنلقي نظرة على مثال. لنفترض أنه بالنسبة إلى شكل رباعي الزوايا فإن أبعاد قاعدتيه هي 3 و6 سم، والقياس هو 4 سم.

هنا، عليك أولاً إيجاد محيط القواعد: Р_01 =3*4=12 cm; Р_02=6*4=24 سم يبقى استبدال القيم في الصيغة الرئيسية ونحصل على: S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 سم مربع.

وبالتالي، يمكنك العثور على مساحة السطح الجانبية للهرم العادي بأي تعقيد. يجب عليك توخي الحذر وعدم الخلطهذه الحسابات مع المساحة الإجمالية للمتعدد السطوح بأكمله. وإذا كنت لا تزال بحاجة إلى القيام بذلك، فما عليك سوى حساب مساحة أكبر قاعدة لمتعدد السطوح وإضافتها إلى مساحة السطح الجانبي لمتعدد السطوح.

فيديو

سيساعدك هذا الفيديو على دمج المعلومات حول كيفية العثور على مساحة السطح الجانبية للأهرامات المختلفة.

في هرم ثلاثي منتظم سابك ر- وسط الضلع أ.ب, س- قمة.
ومن المعروف أن ريال سعودي = 6، ومساحة السطح الجانبية تساوي 36 .
أوجد طول القطعة قبل الميلاد.

دعونا نجعل الرسم. في الهرم العادي تكون الأوجه الجانبية مثلثات متساوية الساقين.

القطعة المستقيمة ريال سعودى.- انخفاض الوسيط إلى القاعدة وبالتالي ارتفاع الوجه الجانبي.

مساحة السطح الجانبية للهرم الثلاثي المنتظم تساوي مجموع المساحات
ثلاثة وجوه متساوية الجوانب الجانب S = 3 س ABS. من هنا S ABS = 36: 3 = 12- منطقة الوجه.

مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب قاعدته وارتفاعه
S ABS = 0.5 AB SR. وبمعرفة المساحة والارتفاع، نجد جانب القاعدة أ ب = ق.م.
12 = 0.5 أب 6
12 = 3 أ ب
أ ب = 4

إجابة: 4

يمكنك التعامل مع المشكلة من الطرف الآخر. دع الجانب الأساسي أ ب = ق = أ.
ثم منطقة الوجه S ABS = 0.5 AB SR = 0.5 أ 6 = 3أ.

مساحة كل وجه من الوجوه الثلاثة تساوي 3 أ, مساحة الأوجه الثلاثة متساوية 9 أ.
وحسب شروط المشكلة تكون مساحة السطح الجانبي للهرم 36.
الجانب S = 9أ = 36.
من هنا أ = 4.

تعريف. حافة جانبية- هذا مثلث تقع فيه إحدى زواياه في أعلى الهرم، والضلع المقابل لها يتطابق مع جانب القاعدة (المضلع).

تعريف. الأضلاع الجانبية- هذه هي الجوانب المشتركة للوجوه الجانبية. الهرم له عدد من الحواف مثل زوايا المضلع.

تعريف. ارتفاع الهرم- وهذا عمودي ينزل من أعلى الهرم إلى قاعدة الهرم.

تعريف. أبوثيم- وهذا عمودي على الوجه الجانبي للهرم، وينزل من أعلى الهرم إلى جانب القاعدة.

تعريف. قسم قطري- هذا مقطع من الهرم يمر بمستوى يمر بأعلى الهرم وقطر القاعدة.

تعريف. الهرم الصحيحهو هرم قاعدته مضلعة منتظمة، وينحدر ارتفاعه إلى مركز القاعدة.

حجم ومساحة سطح الهرم

معادلة. حجم الهرممن خلال مساحة القاعدة والارتفاع:

خصائص الهرم

إذا كانت جميع الحواف الجانبية متساوية، فيمكن رسم دائرة حول قاعدة الهرم، ويتزامن مركز القاعدة مع مركز الدائرة. وأيضًا، يمر عمودي من الأعلى عبر مركز القاعدة (الدائرة).

إذا كانت جميع الحواف الجانبية متساوية، فإنها تميل إلى مستوى القاعدة بنفس الزوايا.

تكون الأضلاع الجانبية متساوية عندما تتشكل مع مستوى القاعدة زوايا متساويةأو إذا كان من الممكن وصف دائرة حول قاعدة الهرم.

إذا كانت الوجوه الجانبية مائلة إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية، فيمكن إدراج دائرة في قاعدة الهرم، ويتم إسقاط الجزء العلوي من الهرم في وسطه.

إذا كانت الأوجه الجانبية مائلة على مستوى القاعدة بنفس الزاوية، فإن قياسات الأوجه الجانبية متساوية.

خصائص الهرم المنتظم

1. أن تكون قمة الهرم متساوية البعد عن جميع أركان القاعدة.

2. جميع الحواف الجانبية متساوية.

3. جميع الأضلاع الجانبية مائلة بزوايا متساوية للقاعدة.

4. قياسات جميع الوجوه الجانبية متساوية.

5. مساحات جميع الوجوه الجانبية متساوية.

6. جميع الوجوه لها نفس الزوايا ثنائية السطوح (المسطحة).

7. يمكن وصف الكرة حول الهرم. سيكون مركز الكرة المقيدة هو نقطة تقاطع الخطوط العمودية التي تمر عبر منتصف الحواف.

8. يمكنك وضع كرة في الهرم. وسيكون مركز الكرة المنقوشة هو نقطة تقاطع المنصفات الخارجة من الزاوية بين الحافة والقاعدة.

9. إذا تزامن مركز الكرة المحصورة مع مركز الكرة المحصورة، فإن مجموع زوايا المستوى عند الرأس يساوي π أو العكس، زاوية واحدة تساوي π/n، حيث n هو الرقم الزوايا عند قاعدة الهرم .

العلاقة بين الهرم والكرة

يمكن وصف الكرة حول الهرم عندما يكون في قاعدة الهرم متعدد الوجوه يمكن وصف الدائرة حوله (شرط ضروري وكاف). سيكون مركز الكرة هو نقطة تقاطع المستويات التي تمر بشكل عمودي عبر نقاط منتصف الحواف الجانبية للهرم.

من الممكن دائمًا وصف كرة حول أي هرم ثلاثي أو منتظم.

يمكن إدراج كرة في الهرم إذا تقاطعت المستويات المنصفية للزوايا ثنائية السطوح الداخلية للهرم عند نقطة واحدة (شرط ضروري وكاف). هذه النقطة ستكون مركز الكرة.

اتصال الهرم بالمخروط

ويقال إن المخروط منقوش في الهرم إذا تطابقت رؤوسه، وكانت قاعدة المخروط منقوشة في قاعدة الهرم.

يمكن نقش المخروط في الهرم إذا كانت قياسات الهرم متساوية مع بعضها البعض.

ويقال إن المخروط محصور حول هرم إذا تطابقت رءوسه وكانت قاعدة المخروط محصورة حول قاعدة الهرم.

يمكن وصف المخروط حول الهرم إذا كانت جميع الحواف الجانبية للهرم متساوية مع بعضها البعض.

العلاقة بين الهرم والأسطوانة

يسمى الهرم منقوشا في اسطوانة إذا كان الجزء العلوي من الهرم يقع على إحدى قواعد الاسطوانة، وقاعدة الهرم منقوشة في قاعدة أخرى من الاسطوانة.

يمكن وصف الأسطوانة حول الهرم إذا أمكن وصف الدائرة حول قاعدة الهرم.

تعريف. الهرم المقطوع (المنشور الهرمي)هو متعدد السطوح يقع بين قاعدة الهرم ومستوى المقطع الموازي للقاعدة. وبالتالي فإن الهرم له قاعدة أكبر وقاعدة أصغر تشبه القاعدة الأكبر. الوجوه الجانبية شبه منحرفة.

تعريف. الهرم الثلاثي (رباعي الاسطح)هو هرم فيه ثلاثة وجوه والقاعدة مثلثات عشوائية.

رباعي الأسطح له أربعة وجوه وأربعة رؤوس وستة حواف، حيث لا تحتوي أي حافتين على رؤوس مشتركة ولكن لا تتلامسان.

تتكون كل قمة من ثلاثة وجوه وحواف تتشكل زاوية ثلاثية.

يسمى الجزء الذي يربط قمة رباعي الاسطح بمركز الوجه المقابل متوسط ​​رباعي الاسطح(جنرال موتورز).

بيميديانيسمى الجزء الذي يصل بين نقاط المنتصف للحواف المتقابلة التي لا تمس (KL).

تتقاطع جميع ثنائيات ومتوسطات رباعي السطوح عند نقطة واحدة (S). في هذه الحالة، يتم تقسيم البيميديات إلى نصفين، ويتم تقسيم الوسيطات بنسبة 3:1 بدءًا من الأعلى.

تعريف. الهرم المائلهو هرم تشكل إحدى حوافه زاوية منفرجة (β) مع القاعدة.

تعريف. هرم مستطيلهو هرم يكون أحد أضلاعه متعامداً مع قاعدته.

تعريف. الهرم ذو الزاوية الحادة- هرم يكون فيه الارتفاع أكثر من نصف طول ضلع القاعدة.

تعريف. هرم منفرج- هرم يكون قياسه أقل من نصف طول ضلع القاعدة.

تعريف. رباعي الاسطح منتظم- رباعي السطوح تكون فيه الوجوه الأربعة مثلثات متساوية الأضلاع. وهو أحد المضلعات الخمسة المنتظمة. في رباعي السطوح المنتظم، تكون جميع الزوايا ثنائية السطوح (بين الوجوه) والزوايا ثلاثية السطوح (عند القمة) متساوية.

تعريف. رباعي الاسطح مستطيليسمى رباعي السطوح حيث توجد زاوية قائمة بين ثلاث حواف عند القمة (الحواف متعامدة). شكل ثلاثة وجوه زاوية مثلثة مستطيلةوالأوجه مثلثات قائمة، والقاعدة مثلث اعتباطي. وقياس أي وجه يساوي نصف ضلع القاعدة التي يقع عليها الارتفاع.

تعريف. رباعي السطوح متساوي السطوحيسمى رباعي السطوح أضلاعه متساوية مع بعضها البعض، وقاعدته مثلث منتظم. مثل هذا رباعي السطوح له وجوه مثلثات متساوية الساقين.

تعريف. رباعي السطوح متعامد المركزيسمى رباعي السطوح حيث تتقاطع جميع الارتفاعات (المتعامدة) التي تنخفض من الأعلى إلى الوجه المقابل عند نقطة واحدة.

تعريف. الهرم النجمييسمى متعدد السطوح قاعدته نجم.

تعريف. الهرم المزدوج- متعدد السطوح يتكون من هرمين مختلفين (يمكن أيضًا قطع الأهرامات). ارضية مشتركةوتقع القمم على جانبي المستوى الأساسي.