المتباينات الخطية. نظرية مفصلة مع الأمثلة

ما الذي تحتاج لمعرفته حول أيقونات عدم المساواة؟ عدم المساواة مع أيقونة أكثر (> )، أو أقل (< ) وتسمى حازم.مع الرموز أكثر أو يساوي (≥ ), أقل أو متساوية (≤ ) وتسمى ليست صارمة.أيقونة غير متساوي (≠ ) يظل مختلفًا، ولكن يتعين عليك أيضًا حل الأمثلة باستخدام هذا الرمز طوال الوقت. وسوف نقرر.)

ليس للأيقونة نفسها تأثير كبير على عملية الحل. لكن في نهاية القرار، عند اختيار الإجابة النهائية، يظهر معنى الأيقونة بكامل قوته! وهذا ما سنراه أدناه في الأمثلة. هناك بعض النكتة هناك..

إن عدم المساواة، مثل المساواة، موجودة المؤمنين وغير المؤمنين.كل شيء بسيط هنا، لا توجد حيل. دعنا نقول 5 > 2 عدم المساواة الحقيقية. 5 < 2- غير صحيح.

هذا الإعداد يعمل على عدم المساواة أي نوعوبسيطة إلى حد الرعب.) ما عليك سوى تنفيذ إجراءين أوليين (اثنتين فقط!) بشكل صحيح. هذه الإجراءات مألوفة للجميع. لكن من المميز أن الأخطاء في هذه الإجراءات هي الخطأ الرئيسي في حل المتباينات، نعم... لذلك يجب تكرار هذه الإجراءات. وتسمى هذه الإجراءات على النحو التالي:

تحولات متطابقة من عدم المساواة.

التحويلات المتطابقة للمتباينات تشبه إلى حد كبير التحويلات المتطابقة للمعادلات. في الواقع، هذه هي المشكلة الرئيسية. الاختلافات تتجاوز رأسك و... ها أنت ذا.) لذلك، سأسلط الضوء بشكل خاص على هذه الاختلافات. لذا، فإن التحول المطابق الأول لعدم المساواة:

1. يمكن إضافة (طرح) نفس الرقم أو التعبير إلى طرفي المتراجحة. أي. وهذا لن يغير علامة عدم المساواة.

من الناحية العملية، تُستخدم هذه القاعدة لنقل الحدود من الجانب الأيسر للمتباينة إلى الجانب الأيمن (والعكس صحيح) مع تغيير الإشارة. مع تغير علامة الاجل وليس التفاوت! قاعدة واحد لواحد هي نفس قاعدة المعادلات. لكن التحولات المتطابقة التالية في المتباينات تختلف اختلافًا كبيرًا عن تلك الموجودة في المعادلات. لذلك أسلط الضوء عليها باللون الأحمر:

2. يمكن ضرب (قسمة) طرفي المتراجحة بنفس الشيءإيجابيرقم. لأيإيجابي لن تتغير.

3. يمكن ضرب (قسمة) طرفي المتراجحة بنفس الشيءسلبيرقم. لأيسلبيرقم. علامة عدم المساواة من هذاسوف يتغير إلى العكس

تتذكر (آمل...) أنه يمكن ضرب/قسمة المعادلة على أي شيء. ولأي رقم، وللتعبير بعلامة X. لو لم يكن صفراً. وهذا يجعله، المعادلة، لا حاراً ولا بارداً.) لا يتغير. لكن عدم المساواة أكثر حساسية للضرب/القسمة.

مثال واضح للذاكرة الطويلة. دعونا نكتب متباينة لا تثير الشكوك:

5 > 2

اضرب الطرفين ب +3, نحن نحصل:

15 > 6

أي اعتراضات؟ لا توجد اعتراضات.) وإذا ضربنا طرفي المتراجحة الأصلية في -3, نحن نحصل:

15 > -6

وهذه كذبة صريحة.) كذبة كاملة! خداع الناس! ولكن بمجرد تغيير إشارة المتباينة إلى الإشارة المعاكسة، يصبح كل شيء في مكانه الصحيح:

15 < -6

أنا لا أقسم فقط على الأكاذيب والخداع.) "نسيت تغيير علامة المساواة..."- هذا بيتخطأ في حل عدم المساواة. هذه القاعدة التافهة والبسيطة أضرت بالكثير من الناس! الذي نسوه...) فأقسم. ربما سأتذكر...)

سوف يلاحظ الأشخاص اليقظون بشكل خاص أنه لا يمكن ضرب عدم المساواة بتعبير بعلامة X. احترام لأولئك الذين يقظون!) لماذا لا؟ الجواب بسيط. ولا نعرف إشارة هذا التعبير بعلامة X. يمكن أن تكون موجبة، أو سالبة... ولذلك، لا نعرف أي علامة من المتباينات يجب وضعها بعد الضرب. هل يجب أن أغيره أم لا؟ مجهول. وبطبيعة الحال، يمكن التحايل على هذا القيد (حظر ضرب/قسمة المتباينة بتعبير يحتوي على x). إذا كنت حقا في حاجة إليها. لكن هذا موضوع لدروس أخرى.

هذه هي كل التحولات المتطابقة لعدم المساواة. اسمحوا لي أن أذكركم مرة أخرى أنهم يعملون من أجل أيعدم المساواة الآن يمكنك الانتقال إلى أنواع محددة.

المتباينات الخطية. الحل، الأمثلة.

المتباينات الخطية هي متباينات يكون فيها x في القوة الأولى ولا يوجد قسمة على x. يكتب:

س+3 > 5x-5

كيف يتم حل هذه التفاوتات؟ من السهل جدًا حلها! وهي: بمساعدة نقوم بتقليل عدم المساواة الخطية الأكثر إرباكًا مباشرة إلى الجواب.هذا هو الحل. وسأسلط الضوء على النقاط الرئيسية للقرار. لتجنب الأخطاء الغبية.)

دعونا نحل هذا عدم المساواة:

س+3 > 5x-5

نحن نحلها بنفس طريقة حل المعادلة الخطية. مع الفارق الوحيد:

نحن نراقب علامة عدم المساواة بعناية!

الخطوة الأولى هي الأكثر شيوعا. مع X - إلى اليسار، بدون X - إلى اليمين... هذا هو أول تحويل متطابق، بسيط وخالي من المتاعب.) فقط لا تنس تغيير علامات المصطلحات المنقولة.

تبقى علامة عدم المساواة:

س-5x > -5-3

وهنا مماثلة.

تبقى علامة عدم المساواة:

4x > -8

يبقى تطبيق التحويل المتطابق الأخير: قسمة كلا الجانبين على -4.

اقسم على سلبيرقم.

سوف تتغير علامة عدم المساواة إلى العكس:

X < 2

هذا هو الجواب.

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل جميع المتباينات الخطية.

انتباه! يتم رسم النقطة 2 باللون الأبيض، أي. غير مصبوغ. فارغة في الداخل. وهذا يعني أنها غير مشمولة في الجواب! لقد رسمتها بصحة جيدة عن قصد. تسمى هذه النقطة (فارغة وليست صحية!)) في الرياضيات نقطة مثقوبة.

يمكن وضع علامة على الأرقام المتبقية على المحور، ولكن ليس من الضروري. الأعداد الدخيلة التي لا تتعلق بمتباينتنا يمكن أن تكون مربكة، نعم... عليك فقط أن تتذكر أن الأعداد تزيد في اتجاه السهم، أي. الأرقام 3، 4، 5، الخ. نكون إلى اليمينهي اثنان، والأرقام هي 1، 0، -1، الخ. - إلى اليسار.

عدم المساواة × < 2 - حازم. X أقل من اثنين تمامًا. إذا كنت في شك، والتحقق بسيط. نعوض بالرقم المشكوك فيه في المتراجحة ونفكر: "اثنان أقل من اثنين؟ لا، بالطبع!" بالضبط. عدم المساواة 2 < 2 غير صحيح.اثنان في المقابل ليس مناسبا.

هل واحد بخير؟ بالتأكيد. أقل... والصفر جيد، و-17، و0.34... نعم، كل الأرقام التي أقل من اثنين جيدة! وحتى 1.9999.... على الأقل قليلا، ولكن أقل!

لذلك دعونا نحدد كل هذه الأرقام على محور الأعداد. كيف؟ هناك خيارات هنا. الخيار الأول هو التظليل. نقوم بتحريك الماوس فوق الصورة (أو نلمس الصورة الموجودة على الجهاز اللوحي) ونرى أن مساحة كل x التي تحقق الشرط x مظللة < 2 . هذا كل شئ.

دعونا نلقي نظرة على الخيار الثاني باستخدام المثال الثاني:

X ≥ -0,5

ارسم محورًا وحدد الرقم -0.5. مثله:

هل تلاحظ الفرق؟) حسنًا، نعم، من الصعب عدم ملاحظة... هذه النقطة سوداء! رسمت فوق. وهذا يعني -0.5 تم تضمينه في الجواب.هنا، بالمناسبة، يمكن أن يربك التحقق شخص ما. دعونا نستبدل:

-0,5 ≥ -0,5

كيف ذلك؟ -0.5 لا يزيد عن -0.5! وهناك المزيد من الأيقونة...

لا بأس. في عدم المساواة الضعيفة، كل ما يناسب الأيقونة مناسب. و يساويجيد و أكثرجيد. لذلك، تم تضمين -0.5 في الاستجابة.

لذلك، وضعنا علامة -0.5 على المحور، ويبقى تحديد جميع الأرقام الأكبر من -0.5. هذه المرة أضع علامة على مساحة قيم x المناسبة قَوس(من الكلمة قوس)، بدلاً من التظليل. نحرك المؤشر فوق الرسم ونرى هذا القوس.

لا يوجد فرق معين بين التظليل والذراعين. افعل كما يقول المعلم. إذا لم يكن هناك معلم، ارسم الأقواس. في المهام الأكثر تعقيدًا، يكون التظليل أقل وضوحًا. يمكنك الحصول على الخلط.

هذه هي الطريقة التي يتم بها رسم المتباينات الخطية على المحور. دعونا ننتقل إلى السمة التالية من عدم المساواة.

كتابة الجواب لعدم المساواة.

كانت المعادلات جيدة.) لقد وجدنا x وكتبنا الإجابة، على سبيل المثال: x=3. هناك نوعان من أشكال كتابة الإجابات في حالات عدم المساواة. أحدهما في شكل عدم المساواة النهائية. جيد للحالات البسيطة. على سبيل المثال:

X< 2.

هذه إجابة كاملة.

في بعض الأحيان تحتاج إلى كتابة نفس الشيء، ولكن بشكل مختلف، على فترات رقمية. ثم يبدأ التسجيل ليبدو علميًا للغاية):

س ∈ (-∞; 2)

تحت الأيقونة ∈ الكلمة مخفية "ينتمي".

يقرأ الإدخال مثل هذا: x ينتمي إلى الفترة من ناقص اللانهاية إلى اثنين لا يشمل. منطقي تماما. يمكن أن يكون X أي رقم من جميع الأرقام الممكنة من ناقص اللانهاية إلى اثنين. لا يمكن أن يكون هناك علامة X مزدوجة، وهذا ما تخبرنا به الكلمة "لا يشمل".

وأين في الجواب يتضح ذلك "لا يشمل"؟ هذه الحقيقة مذكورة في الجواب دائريقوسين مباشرة بعد الاثنين. فإذا ضم الاثنان كان القوس مربع.مثل هذه: ]. يستخدم المثال التالي مثل هذه الأقواس.

دعونا نكتب الجواب: س ≥ -0,5 على فترات:

س ∈ [-0.5؛ +∞)

يقرأ: x ينتمي إلى الفاصل الزمني من ناقص 0.5، مشتمل،إلى زائد اللانهاية.

لا يمكن تشغيل Infinity أبدًا. إنه ليس رقمًا، إنه رمز. لذلك، في مثل هذه السجلات، تكون اللانهاية مجاورة دائمًا أقواس.

يعد هذا النوع من التسجيل مناسبًا للإجابات المعقدة التي تتكون من عدة مسافات. ولكن - فقط للإجابات النهائية. في النتائج المتوسطة، حيث من المتوقع التوصل إلى حل آخر، فمن الأفضل استخدام الصيغة المعتادة، في شكل متباينة بسيطة. سنتعامل مع هذا في المواضيع ذات الصلة.

المهام الشعبية مع عدم المساواة.

المتباينات الخطية نفسها بسيطة. ولذلك، غالبا ما تصبح المهام أكثر صعوبة. لذلك كان من الضروري التفكير. وهذا، إذا لم تكن معتادًا عليه، فهو ليس لطيفًا للغاية.) لكنه مفيد. سأعرض أمثلة على هذه المهام. ليس عليك أن تتعلمها، فهذا غير ضروري. وحتى لا تخافوا عند مقابلة مثل هذه الأمثلة. فقط فكر قليلاً - والأمر بسيط!)

1. أوجد أي حلين للمتباينة 3س - 3< 0

إذا لم يكن من الواضح تمامًا ما يجب فعله، فتذكر القاعدة الأساسية في الرياضيات:

إذا كنت لا تعرف ما تحتاجه، فافعل ما تستطيع!)

X < 1

و ماذا؟ لا شيء مميز. ماذا يطلبون منا؟ مطلوب منا إيجاد رقمين محددين يمثلان حل المتباينة. أولئك. تناسب الجواب. اثنين أيأعداد. في الواقع، هذا محير.) زوجان من 0 و 0.5 مناسبان. زوجان -3 و -8. هناك عدد لا حصر له من هؤلاء الأزواج! أي إجابة صحيحة؟!

أجيب: كل شيء! أي زوج من الأرقام، كل منها أقل من واحد، سيكون الجواب الصحيح.اكتب أي واحد تريد. هيا لنذهب.

2. حل عدم المساواة:

4x - 3 ≠ 0

المهام في هذا النموذج نادرة. ولكن، كمتباينات مساعدة، عند العثور على ODZ، على سبيل المثال، أو عند العثور على مجال تعريف دالة، فإنها تحدث طوال الوقت. يمكن حل هذه المتباينة الخطية كمعادلة خطية عادية. فقط في كل مكان باستثناء علامة "=" ( يساوي) ضع علامة " ≠ " (غير متساوي). هذه هي الطريقة التي تتعامل بها مع الإجابة بعلامة المتباينة:

X ≠ 0,75

في المزيد أمثلة معقدة، فمن الأفضل أن تفعل الأشياء بشكل مختلف. جعل عدم المساواة من المساواة. مثله:

4x - 3 = 0

قم بحلها بهدوء كما تم تدريسها واحصل على الإجابة:

س = 0.75

الشيء الرئيسي هو أنه في النهاية، عند كتابة الإجابة النهائية، لا تنس أننا وجدنا X، مما يعطي المساواة.ونحن بحاجة - عدم المساواة.لذلك، لا نحتاج حقًا إلى علامة X هذه.) ونحتاج إلى كتابتها بالرمز الصحيح:

X ≠ 0,75

يؤدي هذا النهج إلى أخطاء أقل. أولئك الذين يحلون المعادلات تلقائيا. وبالنسبة لأولئك الذين لا يحلون المعادلات، فإن المتباينات لا فائدة منها في الواقع...) مثال آخر على مهمة شائعة:

3. أوجد أصغر حل صحيح للمتباينة:

3(س - 1) < 5x + 9

أولًا، نحل ببساطة المتباينة. نفتح الأقواس ونحركها ونحضر ما شابهها... فنحصل على:

X > - 6

لم يتم الأمر بهذه الطريقة!؟ هل اتبعت الإشارات!؟ ومن وراء علامات الأعضاء، ومن وراء علامة عدم المساواة...

دعونا نفكر مرة أخرى. نحتاج إلى العثور على رقم محدد يطابق الإجابة والشرط "أصغر عدد صحيح".إذا لم يخطر ببالك على الفور، يمكنك فقط أخذ أي رقم ومعرفة ذلك. اثنان على ناقص ستة؟ بالتأكيد! هل هناك عدد أصغر مناسب؟ بالطبع. على سبيل المثال، الصفر أكبر من -6. وحتى أقل؟ نحن بحاجة إلى أصغر شيء ممكن! ناقص ثلاثة أكبر من ناقص ستة! يمكنك بالفعل التقاط النمط والتوقف عن قراءة الأرقام بغباء، أليس كذلك؟)

لنأخذ رقمًا أقرب إلى -6. على سبيل المثال، -5. لقد اكتمل الجواب، -5 > - 6. هل يمكن العثور على رقم آخر أقل من -5 ولكن أكبر من -6؟ يمكنك، على سبيل المثال، -5.5... توقف! قيل لنا جميعحل! لا يتدحرج -5.5! ماذا عن ناقص ستة؟ اه اه! إن عدم المساواة صارم، ناقص 6 لا يقل بأي حال من الأحوال عن ناقص 6!

وبالتالي فإن الإجابة الصحيحة هي -5.

نأمل مع مجموعة مختارة من القيم من الحل العامكله واضح. مثال آخر:

4. حل عدم المساواة:

7 < 3x+1 < 13

رائع! ويسمى هذا التعبير عدم المساواة الثلاثية.بالمعنى الدقيق للكلمة، هذا هو شكل مختصر لنظام عدم المساواة. لكن مثل هذه المتباينات الثلاثية لا يزال يتعين حلها في بعض المهام... يمكن حلها بدون أي أنظمة. وفقا لنفس التحولات متطابقة.

نحن بحاجة إلى تبسيط هذه المتباينة وجعلها X نقية. ولكن... ما الذي يجب أن يُنقل إلى أين؟! هذا هو الوقت المناسب لتذكر أن التحرك يسارًا ويمينًا نموذج قصيرالتحول الأول للهوية

والشكل الكامل يبدو كالتالي: يمكن إضافة/طرح أي رقم أو تعبير إلى طرفي المعادلة (عدم المساواة).

هناك ثلاثة أجزاء هنا. لذلك سوف نطبق تحويلات متطابقة على الأجزاء الثلاثة!

لذا، دعونا نتخلص من الجزء الموجود في الجزء الأوسط من المتباينة. دعونا نطرح واحدًا من الجزء الأوسط بأكمله. ولكي لا تتغير المتباينة، نطرح واحدًا من الجزأين المتبقيين. مثله:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

هذا أفضل، أليس كذلك؟) كل ما تبقى هو تقسيم الأجزاء الثلاثة إلى ثلاثة:

2 < X < 4

هذا كل شئ. هذا هو الجواب. يمكن أن يكون X أي رقم من اثنين (غير شامل) إلى أربعة (غير شامل). تتم كتابة هذه الإجابة أيضًا على فترات؛ وستكون هذه المدخلات في المتباينات التربيعية. هناك هم الشيء الأكثر شيوعا.

في نهاية الدرس سأكرر الشيء الأكثر أهمية. يعتمد النجاح في حل المتباينات الخطية على القدرة على تحويل وتبسيط المعادلات الخطية. إذا في نفس الوقت انتبه لعلامة عدم المساواة،لن تكون هناك أي مشاكل. هذا ما أتمناه لك. لا مشاكل.)

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

عدم المساواةهو السجل الذي ترتبط فيه الأرقام أو المتغيرات أو التعبيرات بعلامة<, >، أو . أي أنه يمكن تسمية عدم المساواة بمقارنة الأرقام أو المتغيرات أو التعبيرات. علامات < , > , ⩽ و ⩾ وتسمى علامات عدم المساواة.

أنواع عدم المساواة وكيفية قراءتها:

كما يتبين من الأمثلة، تتكون جميع المتباينات من جزأين: اليسار واليمين، متصلين بإحدى علامات عدم المساواة. اعتمادا على العلامة التي تربط أجزاء عدم المساواة، يتم تقسيمها إلى صارمة وغير صارمة.

عدم المساواة الصارمة- المتباينات التي ترتبط أجزاؤها بعلامة< или >. عدم المساواة غير الصارمة- عدم المساواة التي ترتبط فيها الأجزاء بالعلامة أو.

دعونا نفكر في القواعد الأساسية للمقارنة في الجبر:

• أي رقم موجب أكبر من الصفر.
• أي رقم سالب أقل من الصفر.
• من بين العددين السالبين، فإن القيمة المطلقة التي تكون أصغر هي الأكبر. على سبيل المثال، -1 > -7.
• أو بإيجابي:

  أ - ب > 0,

  الذي - التي أأكثر ب (أ > ب).

• إذا كان الفرق بين رقمين غير متساويين أو بسلبي:

  أ - ب < 0,

  الذي - التي أأقل ب (أ < ب).

• إذا كان الرقم أكبر من الصفر فهو موجب:

  أ> 0 يعني أ- رقم موجب، عدد إيجابي.

• إذا كان الرقم أقل من الصفر فهو سلبي:

  أ < 0, значит أ- رقم سلبي.

عدم المساواة المتساوية- عدم المساواة الناتجة عن عدم المساواة الأخرى. على سبيل المثال، إذا أأقل ب، الذي - التي بأكثر أ:

أ < بو ب > أ- عدم المساواة المتكافئة

خصائص عدم المساواة

1. إذا أضفت نفس الرقم إلى طرفي المتباينة أو طرحت نفس الرقم من كلا الطرفين، فستحصل على متباينة مكافئة، أي:

   لو أ > ب، الذي - التي أ + ج > ب + ج و أ - ج > ب - ج

   ويترتب على ذلك أنه من الممكن نقل شروط المتباينة من جزء إلى آخر بإشارة معاكسة. على سبيل المثال، إضافة إلى طرفي عدم المساواة أ - ب > ج - د بواسطة د، نحن نحصل:

   أ - ب > ج - د

   أ - ب + د > ج - د + د

   أ - ب + د > ج

2. إذا تم ضرب طرفي المتراجحة أو قسمتهما على نفس العدد الموجب، فسيتم الحصول على متباينة مكافئة، أي:
3. إذا تم ضرب طرفي المتراجحة أو قسمتهما على نفس الرقم السالب، فسيتم الحصول على المتباينة المقابلة للمتباينة المعطاة، أي أنه عند ضرب أو قسمة كلا جزأي المتراجحة على رقم سالب، تظهر علامة يجب أن يتغير عدم المساواة إلى العكس.

   يمكن استخدام هذه الخاصية لتغيير إشارات جميع حدود المتراجحة عن طريق ضرب طرفيها في -1 وتغيير إشارة المتراجحة إلى العكس:

   -أ + ب > -ج

   (-أ + ب) · -1< (-ج) · -1

   أ - ب < ج

   عدم المساواة -أ + ب > -ج يعادل عدم المساواة أ - ب < ج

على سبيل المثال، المتباينة هي التعبير \(x>5\).

أنواع عدم المساواة:

إذا كان \(a\) و \(b\) أرقامًا أو ، فسيتم استدعاء المتراجحة عددي. إنها في الواقع مجرد مقارنة رقمين. وتنقسم هذه التفاوتات إلى مخلصو غير مخلص.

على سبيل المثال:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) هي متباينة عددية غير صحيحة، نظرًا لأن \(17+3=20\)، و\(20\) أقل من \(115\) (وليس أكبر من أو يساوي) .

إذا كان \(a\) و\(b\) عبارة عن تعبيرات تحتوي على متغير، فلدينا عدم المساواة مع المتغير. تنقسم حالات عدم المساواة هذه إلى أنواع حسب المحتوى:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				متغير فقط للقوة الأولى
\(3x^2-x+5>0\)				هناك متغير في القوة الثانية (المربع)، ولكن لا توجد قوى أعلى (الثالثة، الرابعة، الخ)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... وما إلى ذلك وهلم جرا.

ما هو الحل لعدم المساواة؟

إذا قمت باستبدال رقم بدلاً من متغير في متباينة، فسوف تتحول إلى متباينة رقمية.

إذا كانت قيمة معينة لـ x تحول المتباينة الأصلية إلى متباينة عددية حقيقية، فسيتم استدعاؤها حل عدم المساواة. إذا لم يكن الأمر كذلك، فإن هذه القيمة ليست حلا. و ل حل عدم المساواة- تحتاج إلى إيجاد جميع حلولها (أو إظهار عدم وجود أي منها).

على سبيل المثال،إذا عوضنا بالرقم \(7\) في المتراجحة الخطية \(x+6>10\)، فسنحصل على المتراجحة العددية الصحيحة: \(13>10\). وإذا عوضنا بـ \(2\)، فسيكون هناك متباينة عددية غير صحيحة \(8>10\). أي أن \(7\) هو حل للمتباينة الأصلية، لكن \(2\) ليس كذلك.

ومع ذلك، فإن المتراجحة \(x+6>10\) لها حلول أخرى. وبالفعل سنحصل على المتباينات العددية الصحيحة عند التعويض بـ \(5\)، و\(12\)، و\(138\)... وكيف يمكننا إيجاد جميع الحلول الممكنة؟ لهذا يستخدمون في حالتنا لدينا:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(س>4\)

أي أن أي عدد أكبر من أربعة سوف يناسبنا. الآن عليك أن تكتب الجواب. عادةً ما تتم كتابة حلول المتباينات عدديًا، بالإضافة إلى تمييزها على محور الأعداد بالتظليل. بالنسبة لحالتنا لدينا:

إجابة: \(x\in(4;+\infty)\)

متى تتغير علامة عدم المساواة؟

هناك فخ كبير في حالات عدم المساواة "يحب" الطلاب الوقوع فيه حقًا:

عند ضرب (أو قسمة) المتباينة في عدد سالب، يتم عكسها ("أكثر" بـ "أقل"، "أكثر أو يساوي" بـ "أقل من أو يساوي"، وهكذا)

لماذا يحدث هذا؟ لفهم ذلك، دعونا ننظر إلى تحويلات المتباينة العددية \(3>1\). هذا صحيح، ثلاثة أكبر من واحد. أولاً، دعونا نحاول ضربه بأي رقم موجب، على سبيل المثال، اثنان:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

وكما نرى، تظل المتباينة صحيحة بعد الضرب. ومهما كان العدد الموجب الذي نضرب فيه، فسنحصل دائمًا على المتباينة الصحيحة. والآن لنحاول الضرب في عدد سالب، على سبيل المثال، ناقص ثلاثة:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

والنتيجة هي متباينة غير صحيحة، لأن سالب تسعة أقل من سالب ثلاثة! وهذا يعني أنه لكي تصبح المتباينة صحيحة (وبالتالي، كان تحويل الضرب بالسالب "قانونيًا")، فأنت بحاجة إلى عكس علامة المقارنة، مثل هذا: \(−9)<− 3\).
مع القسمة، سيتم الأمر بنفس الطريقة، يمكنك التحقق من ذلك بنفسك.

تنطبق القاعدة المذكورة أعلاه على جميع أنواع المتباينات، وليس فقط على المتباينات العددية.

مثال: حل المتراجحة \(2(x+1)-1).<7+8x\)
حل:

\(2س+2-1<7+8x\)	لننتقل \(8x\) إلى اليسار، و\(2\) و \(-1\) إلى اليمين، دون أن ننسى تغيير العلامات
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	دعونا نقسم طرفي المتراجحة على \(-6\)، دون أن ننسى التغيير من "أقل" إلى "أكثر"
	لنضع علامة على الفاصل الرقمي على المحور. عدم المساواة، لذلك "نستخرج" القيمة \(-1\) نفسها ولا نعتبرها إجابة
	لنكتب الإجابة على شكل فاصل زمني

إجابة: \(x\in(-1;\infty)\)

عدم المساواة والإعاقة

المتباينات، تمامًا مثل المعادلات، يمكن أن يكون لها قيود على قيم x. وبناء على ذلك، ينبغي استبعاد تلك القيم غير المقبولة وفقا لـ DZ من نطاق الحلول.

مثال: حل المتراجحة \(\sqrt(x+1)<3\)

حل: من الواضح أنه لكي يكون الجانب الأيسر أقل من \(3\)، يجب أن يكون التعبير الجذري أقل من \(9\) (بعد كل شيء، من \(9\) فقط \(3\)). نحن نحصل:

\(س+1<9\) \(|-1\)
\(س<8\)

الجميع؟ هل هناك أي قيمة لـ x أصغر من \(8\) تناسبنا؟ لا! لأنه إذا أخذنا، على سبيل المثال، القيمة \(-5\) التي يبدو أنها تناسب الشرط، فلن تكون حلاً للمتراجحة الأصلية، لأنها ستقودنا إلى حساب جذر عدد سالب.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

لذلك، يجب علينا أيضًا أن نأخذ في الاعتبار القيود المفروضة على قيمة X - فلا يمكن أن يكون هناك رقم سالب تحت الجذر. وبالتالي، لدينا المطلب الثاني لـ x:

\(س+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

ولكي يكون x هو الحل النهائي، يجب أن يلبي كلا الشرطين في وقت واحد: يجب أن يكون أقل من \(8\) (ليكون حلاً) وأكبر من \(-1\) (ليكون مقبولاً من حيث المبدأ). وبرسمها على خط الأعداد، نحصل على الإجابة النهائية:

إجابة: \(\يسار[-1;8\يمين)\)

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من الهيئات الحكومية في الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

التعريف والخصائص الأساسية لعدم المساواة.

تعريفات:

عدم المساواة تسمى تعبيرات النموذج أ ≤ ب) ،أ>ب (أ ≥ ب) ,

أين أو بيمكن أن تكون أرقامًا أو وظائف.

حرف او رمز<(≤ ) , >( ≥ ) وتسمىعلامات عدم المساواةوقراءة وفقا لذلك:

أقل (أقل من أو يساوي)، أكبر من (أكبر من أو يساوي).

المتباينات المكتوبة باستخدام الإشارة > و< ,называются حازم،

وعدم المساواة التي تنطوي على علامات≥ و ≥،-ليست صارمة.

عدم المساواة في النموذج أ وتسمىعدم المساواة المزدوجة

وقراءة وفقا لذلك: سأكثر أ، ولكن أقل ب (سأكثر أو يساوي أ، ولكن أقل من أو يساوي ب ).

هناك نوعان من عدم المساواة:رقمي ( 2>0.7;½<6 ) وعدم المساواة مع متغير (5 س-40>0 ; س²-2س<0 ) .

خصائص المتباينات العددية:

• لو أ> ب، الذي - التي ب ; لو أ ، الذي - التي ب>أ .
• لو أ و ب ، الذي - التي أ .
• لو أ و ج- أي رقم إذن أ+ج .
• لو أ و ج>0، الذي - التي تيار متردد لو أ و ج<0, то ميلان>قبل الميلاد.
• لو أ و ج ، الذي - التي أ+ج .
• لو أ و ج ، حيث a، b، c، d أرقام موجبة، إذن تيار متردد .

الفواصل الرقمية

عدم المساواة	عددي فاصلة	اسم فجوة	هندسي تفسير
		فترة مغلقة (قطعة) تنتهي بـ a وb,a
		فترة مفتوحة (فاصل) بنهايات a و b,a
		فترات نصف مفتوحة (نصف فترات) تنتهي بـ a وb,a
		فترات لا نهائية (الأشعة)
		فترات لا نهائية (الحزم المفتوحة)
		الفاصل الزمني اللانهائي (خط الأعداد)

عن التعريفات والخصائص الأساسية.

تعريفات :

حل عدم المساواة مع متغير واحد تسمى قيمة المتغير،

قطة هذا يحولها إلى عدم المساواة العددية الحقيقية.

حل عدم المساواة- يعني إيجاد جميع حلولها أو إثبات عدم وجود حلول.

تسمى المتباينات التي لها نفس الحلولمقابل.

تعتبر عدم المساواة التي ليس لها حلول أيضًا متكافئة.

عند حل المتباينات يتم استخدام ما يليملكيات :

1) إذا انتقلنا من جزء من المتراجحة إلى

مصطلح آخر مع الإشارة المعاكسة،

2) إذا كان طرفا المتراجحة مضروبين أو

نقسم على نفس الرقم الموجب

ومن ثم نحصل على متباينة تعادلها.

3) إذا تم ضرب طرفي المتراجحة أو

نقسم على نفس الرقم السالب

تغيير علامة عدم المساواة إلى عكس،

ومن ثم نحصل على متباينة تعادلها.

يتم تقليل العديد من حالات عدم المساواة في عملية التحويل إلى عدم المساواة الخطية.

نالمساواة في النموذج اه> ب(أوه , أينأ وب - بعض الأرقام

مُسَمًّى عدم المساواة الخطية مع متغير واحد.

لو أ>0 ، ثم عدم المساواة الفأس> بمقابلعدم المساواة

والعديد من الحلولهناك فجوة بين عدم المساواة

لو أ<0 ، ثم عدم المساواة الفأس> بيعادل عدم المساواة

والعديد من الحلولهناك فجوة بين عدم المساواة

وسوف تتخذ عدم المساواة الشكل 0∙ س>ب، أي. ليس لديها حلول , لو ب≥0,

وصحيح لأي س,لو ب<0 .

طريقة تحليلية لحل المتباينات بمتغير واحد.

خوارزمية لحل المتباينات بمتغير واحد

• تحويل كلا الجانبين من عدم المساواة.
• إعطاء مصطلحات مماثلة.
• اختزال المتباينات إلى أبسط صورها، بناءً على خصائص المتباينات.
• اكتب الجواب.

دعونا نعطي أمثلة على حل عدم المساواة .

مثال 1. يقرر هناك عدم المساواة 3x ≥ 15.

حل:

عنلا توجد أجزاء من عدم المساواة

ردعونا نقسم إلى الرقم الإيجابي 3(الخاصية 2): س ≥ 5.

مجموعة حلول المتراجحة ممثلة بالفاصل العددي (-∞;5] .

إجابة:(- ∞;5]

مثال 2 . يقرر هناك عدم المساواة -10 × ≥34.

حل:

عنلا توجد أجزاء من عدم المساواةردعونا نقسم إلى الرقم السالب -10,

وفي هذه الحالة، نغير إشارة المتباينة إلى العكس(الملكية 3) : س ≥ - 3,4.

مجموعة حلول المتراجحة ممثلة بالفاصل الزمني (-∞;-3,4] .

إجابة : (-∞;-3,4] .

مثال 3. يقرر هناك متباينة 18+6x>0.

حل:

دعونا ننقل الحد 18 الذي له الإشارة المقابلة إلى الجانب الأيسر من المتباينة(الخاصية 1): 6x>-18.

اقسم كلا الجانبين على 6 (الملكية 2):

س>-3.

يتم تمثيل مجموعة حلول المتراجحة بالفاصل الزمني (-3;+∞).

إجابة: (-3;+∞ ).

مثال 4.يقرر هناك عدم مساواة 3 (x-2)-4(x+2)<2(x-3)-2.

حل:

دعونا نفتح الأقواس: 3x-6-4x-8<2x-6-2 .

لننقل المصطلحات التي تحتوي على المجهول إلى الجانب الأيسر،

والمصطلحات التي لا تحتوي على المجهول، إلى الجانب الأيمن (الخاصية 1) :

3x-4x-2x<6+8-6-2.

فيما يلي بعض المصطلحات المشابهة:-3x<6.

اقسم كلا الطرفين على -3 (الملكية 3) :

س>-2.

يتم تمثيل مجموعة حلول المتراجحة بالفاصل الزمني (-2;+∞).

إجابة: (-2;+∞ ).

مثال 5 . يقرر هناك عدم مساواة

حل:

دعونا نضرب طرفي المتراجحة في المقام المشترك الأصغر للكسور،

المدرجة في عدم المساواة، أي بنسبة 6(الملكية 2).

نحن نحصل:

,

2x-3x≥12.

من هنا، - س ≥12، س ≥-12 .

إجابة: [ -12;+∞ ).

مثال 6 . يقرر هناك عدم المساواة 3(2-x)-2>5-3x.

حل:

6-3x-2>5-3x، 4-3x>5-3x،-3x+3x>5-4.

دعونا نعرض مصطلحات مماثلة على الجانب الأيسر من المتراجحة ونكتب النتيجة في النموذج 0∙ س>1.

عدم المساواة الناتجة ليس لها حلول، لأنه لأي قيمة لـ x

يتحول إلى عدم المساواة العددية 0< 1, не являющееся верным.

وهذا يعني أن المتباينة المعطاة المكافئة لها ليس لها حلول.

إجابة:لا توجد حلول.

مثال 7 . يقرر توجد عدم مساواة 2(x+1)+5>3-(1-2x) .

حل:

دعونا نبسط المتباينة عن طريق فتح الأقواس:

2x+2+5>3-1+2x، 2x+7>2+2x،2x-2x>2-7، 0∙ x>-5.

عدم المساواة الناتجة صحيحة لأي قيمة لـ x،

حيث أن الجانب الأيسر يساوي صفرًا لأي x، و0>-5.

مجموعة حلول المتراجحة هي الفترة (-∞;+∞).

إجابة:(-∞;+∞ ).

مثال 8 . عند أي قيم x يكون التعبير منطقيًا:

ب)

حل:

أ) حسب تعريف الجذر التربيعي الحسابي

يجب تلبية عدم المساواة التالية 5x-3 ≥0.

الحل، نحصل على 5x≥3، x≥0.6.

لذلك، هذا التعبير منطقي لجميع x من الفاصل الزمني )