عندما يكون للنظام حل واحد فقط. حل أنظمة المعادلات الخطية

كما هو واضح من نظرية كريمر، عند حل النظام المعادلات الخطيةقد تحدث ثلاث حالات:

الحالة الأولى: نظام المعادلات الخطية له حل فريد

(النظام ثابت ومحدد)

الحالة الثانية: نظام المعادلات الخطية له عدد لا نهائي من الحلول

(النظام ثابت وغير مؤكد)

** ,

أولئك. معاملات المجهولين والحدود الحرة متناسبة.

الحالة الثالثة: نظام المعادلات الخطية ليس له حلول

(النظام غير متناسق)

لذلك النظام مالمعادلات الخطية مع نتسمى المتغيرات غير مشترك، إذا لم يكن لديها حل واحد، و مشترك، إذا كان لديه حل واحد على الأقل. يسمى نظام المعادلات المتزامن الذي له حل واحد فقط تأكيد، وأكثر من واحد - غير مؤكد.

أمثلة على حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام طريقة كرامر

دع النظام يعطى

.

بناء على نظرية كريمر

………….
,

أين
-

محدد النظام. نحصل على المحددات المتبقية عن طريق استبدال العمود بمعاملات المتغير المقابل (غير معروف) بشروط حرة:

مثال 2.

.

ولذلك فإن النظام محدد. لإيجاد حلها، نحسب المحددات

باستخدام صيغ كريمر نجد:

إذن (1; 0; -1) هو الحل الوحيد للنظام.

للتحقق من حلول أنظمة المعادلات 3X3 و4X4، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت باستخدام طريقة حل Cramer.

إذا لم يكن هناك متغيرات في معادلة واحدة أو أكثر في نظام المعادلات الخطية، فإن العناصر المقابلة في المحدد تساوي الصفر! هذا هو المثال التالي.

مثال 3.حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة كرامر:

.

حل. نجد محدد النظام :

انظر بعناية إلى نظام المعادلات وإلى محدد النظام وكرر الإجابة على السؤال الذي يكون فيه عنصر أو أكثر من عناصر المحدد يساوي الصفر. إذن، المحدد لا يساوي صفرًا، وبالتالي فإن النظام محدد. ولإيجاد حلها، نحسب محددات المجهولات

باستخدام صيغ كريمر نجد:

إذن حل النظام هو (2; -1; 1).

6. النظام العام للمعادلات الجبرية الخطية. طريقة غاوس.

كما نتذكر، فإن قاعدة كرامر وطريقة المصفوفة غير مناسبتين في الحالات التي يكون فيها النظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول أو يكون غير متناسق. طريقة غاوس – الأداة الأقوى والأكثر تنوعًا لإيجاد حلول لأي نظام من المعادلات الخطية، أيّ في كل حالةسوف يقودنا إلى الجواب! تعمل خوارزمية الطريقة نفسها بنفس الطريقة في الحالات الثلاث. إذا كانت طريقتا كرامر والمصفوفة تتطلبان معرفة بالمحددات، فإن تطبيق طريقة غاوس تحتاج فقط إلى معرفة العمليات الحسابية، مما يجعلها في متناول الجميع حتى لأطفال المدارس الطبقات الابتدائية.

أولاً، دعونا ننظم القليل من المعرفة حول أنظمة المعادلات الخطية. يمكن لنظام المعادلات الخطية أن:

1) احصل على حل فريد.
2) لديك عدد لا نهائي من الحلول.
3) ليس لديهم حلول (يكون غير مشترك).

طريقة غاوس هي الأداة الأقوى والأكثر عالمية لإيجاد الحل أيأنظمة المعادلات الخطية. كما نتذكر، قاعدة كريمر وطريقة المصفوفةغير مناسبة في الحالات التي يكون فيها النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول أو يكون غير متناسق. وطريقة الحذف المتسلسل للمجهول على أي حالسوف يقودنا إلى الجواب! في هذا الدرس سنتناول مرة أخرى طريقة غاوس للحالة رقم 1 (الحل الوحيد للنظام)، المقال مخصص لمواقف النقاط رقم 2-3. ألاحظ أن خوارزمية الطريقة نفسها تعمل بنفس الطريقة في الحالات الثلاث.

دعونا نعود إلى أبسط نظاممن الصف كيفية حل نظام المعادلات الخطية؟
وحلها باستخدام طريقة غاوس.

الخطوة الأولى هي الكتابة مصفوفة النظام الموسعة:
. أعتقد أن الجميع يمكنهم أن يروا بأي مبدأ تتم كتابة المعاملات. ليس للخط العمودي داخل المصفوفة أي معنى رياضي - فهو ببساطة يتوسطه خط لسهولة التصميم.

مرجع:أنصحك أن تتذكر شروطالجبر الخطي. مصفوفة النظامهي مصفوفة مكونة فقط من معاملات للمجاهول، في هذا المثال مصفوفة النظام: . مصفوفة النظام الموسعة- هذه هي نفس مصفوفة النظام بالإضافة إلى عمود من المصطلحات الحرة، في هذه الحالة: . للإيجاز، أي من المصفوفات يمكن أن تسمى ببساطة مصفوفة.

بعد كتابة مصفوفة النظام الموسعة، من الضروري تنفيذ بعض الإجراءات معها، والتي تسمى أيضًا التحولات الأولية.

توجد التحولات الأولية التالية:

1) سلاسلالمصفوفات يمكن إعادة ترتيبهافي بعض الأماكن. على سبيل المثال، في المصفوفة قيد النظر، يمكنك إعادة ترتيب الصفين الأول والثاني دون ألم:

2) إذا كانت هناك (أو ظهرت) صفوف متناسبة (كحالة خاصة - متطابقة) في المصفوفة، فيجب عليك يمسحكل هذه الصفوف من المصفوفة باستثناء واحد. لنأخذ على سبيل المثال المصفوفة . في هذه المصفوفة تكون الصفوف الثلاثة الأخيرة متناسبة، لذا يكفي ترك واحد منها فقط: .

3) إذا ظهر صف صفر في المصفوفة أثناء التحويلات، فيجب أن يكون كذلك يمسح. لن أرسم، بالطبع، خط الصفر هو الخط الذي فيه جميع الأصفار.

4) يمكن أن يكون صف المصفوفة ضرب (قسمة)إلى أي رقم غير صفرية. خذ على سبيل المثال المصفوفة . يُنصح هنا بتقسيم السطر الأول على -3، وضرب السطر الثاني في 2: . هذا الإجراء مفيد جدًا لأنه يبسط المزيد من تحويلات المصفوفة.

5) يسبب هذا التحول معظم الصعوبات، ولكن في الواقع لا يوجد شيء معقد أيضًا. إلى صف من المصفوفة يمكنك أضف سلسلة أخرى مضروبة في رقم، يختلف عن الصفر. دعونا نلقي نظرة على المصفوفة الخاصة بنا من مثال عملي: . أولاً سأصف التحول بتفصيل كبير. اضرب السطر الأول في -2: ، و إلى السطر الثاني نضيف السطر الأول مضروبًا في -2: . الآن يمكن تقسيم السطر الأول "للخلف" على -2: . كما ترون، السطر الذي تمت إضافته لي – لم يتغير. دائماًيتغير السطر الذي تتم إضافته يوتا.

من الناحية العملية، بالطبع، لا يكتبونها بمثل هذه التفاصيل، لكنهم يكتبونها بإيجاز:

مرة أخرى: إلى السطر الثاني تمت إضافة السطر الأول مضروبًا في -2. عادةً ما يتم ضرب السطر شفهيًا أو في مسودة، حيث تتم عملية الحساب الذهني على النحو التالي:

"أعيد كتابة المصفوفة وأعيد كتابة السطر الأول: »

"العمود الأول. في الأسفل أحتاج إلى الحصول على الصفر. لذلك، أضرب الواحد الموجود في الأعلى بـ –2:، وأضيف الأول إلى السطر الثاني: 2 + (–2) = 0. وأكتب النتيجة في السطر الثاني: »

"الآن العمود الثاني. في الأعلى، أضرب -1 في -2: . أقوم بإضافة الأول إلى السطر الثاني: 1 + 2 = 3. وأكتب النتيجة في السطر الثاني: »

«والطابور الثالث. في الأعلى أضرب -5 في -2: . أقوم بإضافة الأول إلى السطر الثاني: –7 + 10 = 3. أكتب النتيجة في السطر الثاني: »

يرجى فهم هذا المثال بعناية وفهم خوارزمية الحساب التسلسلي، إذا فهمت ذلك، فإن الطريقة الغوسية تكون في جيبك عمليًا. لكن، بالطبع، سنواصل العمل على هذا التحول.

التحولات الأولية لا تغير حل نظام المعادلات

! انتباه: يعتبر التلاعب لا يمكن استخدام، إذا عُرضت عليك مهمة حيث يتم إعطاء المصفوفات "بنفسها". على سبيل المثال، مع "الكلاسيكية" العمليات مع المصفوفاتلا يجوز لك تحت أي ظرف من الظروف إعادة ترتيب أي شيء داخل المصفوفات!

دعونا نعود إلى نظامنا. يتم تقطيعه عمليا إلى قطع.

دعونا نكتب المصفوفة الموسعة للنظام، وباستخدام التحويلات الأولية، نختصرها إلى عرض متدرج:

(1) أضيف السطر الأول إلى السطر الثاني مضروبا في -2. ومرة أخرى: لماذا نضرب السطر الأول في -2؟ لكي نحصل على صفر في الأسفل، فهذا يعني التخلص من متغير واحد في السطر الثاني.

(2) قسمة السطر الثاني على 3.

الغرض من التحولات الأولية – تقليل المصفوفة إلى شكل تدريجي: . في تصميم المهمة، يقومون فقط بوضع علامة على "الدرج" بقلم رصاص بسيط، وكذلك وضع دائرة حول الأرقام الموجودة على "الخطوات". مصطلح "النظرة المتدرجة" في حد ذاته ليس نظريًا تمامًا من الناحيتين العلمية والعلمية الأدب التربويغالبا ما يطلق عليه عرض شبه منحرفأو عرض الثلاثي.

ونتيجة للتحولات الأولية، حصلنا على مقابلنظام المعادلات الأصلي:

الآن يحتاج النظام إلى "الاسترخاء" في الاتجاه المعاكس - من الأسفل إلى الأعلى، تسمى هذه العملية عكس الطريقة الغوسية.

في المعادلة السفلى لدينا بالفعل نتيجة جاهزة: .

لنفكر في المعادلة الأولى للنظام ونستبدل فيها القيمة المعروفة بالفعل لـ "y":

لنفكر في الموقف الأكثر شيوعًا عندما تتطلب الطريقة الغوسية حل نظام من ثلاث معادلات خطية بثلاثة مجاهيل.

مثال 1

حل نظام المعادلات باستخدام طريقة غاوس:

لنكتب المصفوفة الموسعة للنظام:

الآن سأرسم على الفور النتيجة التي سنصل إليها أثناء الحل:

وأكرر، هدفنا هو تحويل المصفوفة إلى صورة تدريجية باستخدام التحويلات الأولية. من أين أبدا؟

أولاً، انظر إلى الرقم الموجود أعلى اليسار:

ينبغي أن يكون دائما تقريبا هنا وحدة. بشكل عام، -1 (وأحيانًا أرقام أخرى) ستفي بالغرض، ولكن بطريقة ما حدث تقليديًا أن يتم وضع الرقم هناك عادةً. كيفية تنظيم الوحدة؟ نحن ننظر إلى العمود الأول - لدينا وحدة جاهزة! التحويل الأول: تبديل السطرين الأول والثالث:

الآن سيبقى السطر الأول دون تغيير حتى نهاية الحل. الآن بخير.

تم تنظيم الوحدة الموجودة في الزاوية اليسرى العليا. أنت الآن بحاجة إلى الحصول على الأصفار في هذه الأماكن:

نحصل على الأصفار باستخدام التحويل "الصعب". أولا نتعامل مع السطر الثاني (2، -1، 3، 13). ما الذي يجب فعله للحصول على الصفر في المركز الأول؟ بحاجة ل إلى السطر الثاني أضف السطر الأول مضروبًا في -2. ذهنيًا أو على المسودة، اضرب السطر الأول بـ -2: (-2، -4، 2، -18). ونقوم باستمرار بتنفيذ الإضافة (مرة أخرى عقليًا أو على مسودة)، إلى السطر الثاني نضيف السطر الأول، مضروبًا بالفعل في -2:

نكتب النتيجة في السطر الثاني:

ونتعامل مع السطر الثالث بنفس الطريقة (3، 2، –5، –1). للحصول على صفر في المركز الأول، تحتاج إلى السطر الثالث أضف السطر الأول مضروبًا في -3. ذهنيًا أو على المسودة، اضرب السطر الأول بـ -3: (-3، -6، 3، -27). و إلى السطر الثالث نضيف السطر الأول مضروبًا في -3:

نكتب النتيجة في السطر الثالث:

من الناحية العملية، عادةً ما يتم تنفيذ هذه الإجراءات شفهيًا وتدوينها في خطوة واحدة:

لا حاجة لحساب كل شيء دفعة واحدة وفي نفس الوقت. ترتيب العمليات الحسابية و"كتابة" النتائج ثابتوعادةً ما يكون الأمر على هذا النحو: أولاً نعيد كتابة السطر الأول، وننفخ في أنفسنا ببطء - باستمرار و بانتباه:


وقد ناقشت بالفعل العملية العقلية للحسابات نفسها أعلاه.

في هذا المثال، من السهل القيام بذلك؛ نقسم السطر الثاني على -5 (نظرًا لأن جميع الأرقام هناك قابلة للقسمة على 5 بدون باقي). وفي الوقت نفسه، نقسم السطر الثالث على -2، لأنه كلما كان الرقم أصغر، كلما كان حل أبسط:

على المرحلة الأخيرةالتحولات الأولية التي تحتاجها للحصول على صفر آخر هنا:

لهذا إلى السطر الثالث نضيف السطر الثاني مضروبا في -2:


حاول معرفة هذا الإجراء بنفسك - اضرب السطر الثاني عقليًا في -2 وقم بإجراء عملية الإضافة.

الإجراء الأخير الذي يتم تنفيذه هو تصفيفة الشعر الناتجة، وتقسيم السطر الثالث على 3.

ونتيجة للتحولات الأولية، تم الحصول على نظام مكافئ من المعادلات الخطية:

رائع.

والآن يأتي دور عكس الطريقة الغوسية. المعادلات "تسترخي" من الأسفل إلى الأعلى.

في المعادلة الثالثة لدينا بالفعل نتيجة جاهزة:

لننظر إلى المعادلة الثانية : . ومعنى "زيت" معروف بالفعل، وبالتالي:

وأخيرًا المعادلة الأولى: . "Igrek" و"zet" معروفان، إنها مجرد مسألة أشياء صغيرة:

إجابة:

كما سبق أن أشرنا عدة مرات، بالنسبة لأي نظام من المعادلات، من الممكن والضروري التحقق من الحل الذي تم العثور عليه، ولحسن الحظ، فإن هذا سهل وسريع.

مثال 2

هذا مثال لحل مستقل وعينة من التصميم النهائي والإجابة في نهاية الدرس.

تجدر الإشارة إلى أن الخاص بك التقدم في القرارقد لا يتزامن مع عملية اتخاذ القرار، وهذه إحدى سمات طريقة غاوس. ولكن الإجابات يجب أن تكون هي نفسها!

مثال 3

حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس

دعونا نكتب المصفوفة الموسعة للنظام ونحولها إلى شكل تدريجي باستخدام التحويلات الأولية:

نحن ننظر إلى "الخطوة" العلوية اليسرى. ينبغي أن يكون لدينا واحد هناك. المشكلة هي أنه لا توجد وحدات في العمود الأول على الإطلاق، وبالتالي فإن إعادة ترتيب الصفوف لن تحل أي شيء. في مثل هذه الحالات، يجب تنظيم الوحدة باستخدام تحويل أولي. يمكن القيام بذلك عادةً بعدة طرق. انا فعلت هذا:
(1) نضيف إلى السطر الأول السطر الثاني مضروبًا في -1. أي أننا ضربنا السطر الثاني عقليًا في -1 وأضفنا السطرين الأول والثاني، بينما لم يتغير السطر الثاني.

الآن في أعلى اليسار يوجد "ناقص واحد"، وهو ما يناسبنا تمامًا. يمكن لأي شخص يريد الحصول على +1 إجراء حركة إضافية: اضرب السطر الأول بـ -1 (قم بتغيير علامته).

(2) أضيف السطر الأول مضروبا في 5 إلى السطر الثاني، وأضيف السطر الأول مضروبا في 3 إلى السطر الثالث.

(3) تم ضرب السطر الأول في -1، من حيث المبدأ، وهذا من أجل الجمال. تم أيضًا تغيير علامة السطر الثالث وتم نقلها إلى المركز الثاني، بحيث تكون لدينا في "الخطوة" الثانية الوحدة المطلوبة.

(4) أضيف السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبا في 2.

(5) السطر الثالث مقسوم على 3.

العلامة السيئة التي تشير إلى خطأ في الحسابات (في حالات نادرة، خطأ مطبعي) هي النتيجة النهائية "السيئة". وهذا يعني أنه إذا حصلنا على شيء مثل أدناه، وبالتالي، إذن بدرجة عالية من الاحتمال يمكننا القول أنه حدث خطأ أثناء التحويلات الأولية.

نحن نشحن بالعكس، ففي تصميم الأمثلة غالبًا لا يعيدون كتابة النظام نفسه، ولكن المعادلات "مأخوذة مباشرة من المصفوفة المعطاة". أذكرك أن الضربة العكسية تعمل من الأسفل إلى الأعلى. نعم هذه هدية:

إجابة: .

مثال 4

حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس

هذا مثال يمكنك حله بنفسك، فهو أكثر تعقيدًا إلى حد ما. لا بأس إذا كان شخص ما يشعر بالارتباك. الحل الكامل وتصميم العينة في نهاية الدرس. قد يكون الحل الخاص بك مختلفًا عن الحل الخاص بي.

في الجزء الأخير سنلقي نظرة على بعض ميزات الخوارزمية الغوسية.
الميزة الأولى هي أنه في بعض الأحيان تكون بعض المتغيرات مفقودة من معادلات النظام، على سبيل المثال:

كيفية كتابة مصفوفة النظام الموسعة بشكل صحيح؟ لقد تحدثت بالفعل عن هذه النقطة في الفصل. حكم كريمر. طريقة المصفوفة. في المصفوفة الموسعة للنظام، نضع أصفارًا بدلاً من المتغيرات المفقودة:

بالمناسبة، هذا مثال سهل إلى حد ما، حيث أن العمود الأول يحتوي بالفعل على صفر واحد، وهناك عدد أقل من التحويلات الأولية التي يجب تنفيذها.

الميزة الثانية هي هذه. في جميع الأمثلة التي تم النظر فيها، وضعنا إما -1 أو +1 على "الخطوات". هل يمكن أن يكون هناك أرقام أخرى هناك؟ في بعض الحالات يمكنهم ذلك. النظر في النظام: .

هنا في "الخطوة" العلوية اليسرى لدينا اثنان. ولكننا نلاحظ أن جميع الأرقام الموجودة في العمود الأول قابلة للقسمة على 2 بدون باقي - والآخر اثنان وستة. والاثنان في أعلى اليسار سوف يناسبنا! في الخطوة الأولى، تحتاج إلى إجراء التحويلات التالية: إضافة السطر الأول مضروبًا في -1 إلى السطر الثاني؛ إلى السطر الثالث أضف السطر الأول مضروبًا في -3. بهذه الطريقة سنحصل على الأصفار المطلوبة في العمود الأول.

أو مثال تقليدي آخر: . هنا يناسبنا أيضًا الثلاثة في "الخطوة" الثانية، نظرًا لأن 12 (المكان الذي نحتاج فيه للحصول على الصفر) قابل للقسمة على 3 بدون باقي. من الضروري إجراء التحويل التالي: إضافة السطر الثاني إلى السطر الثالث، مضروبا في -4، ونتيجة لذلك سيتم الحصول على الصفر الذي نحتاجه.

طريقة غاوس عالمية، ولكن هناك خصوصية واحدة. يمكنك أن تتعلم بثقة كيفية حل الأنظمة باستخدام طرق أخرى (طريقة كرامر، طريقة المصفوفة) حرفيًا في المرة الأولى - فهي تحتوي على خوارزمية صارمة للغاية. ولكن لكي تشعر بالثقة في الطريقة الغوسية، عليك أن تتقنها وتحل ما لا يقل عن 5-10 أنظمة. لذلك، في البداية قد يكون هناك ارتباك وأخطاء في الحسابات، ولا يوجد شيء غير عادي أو مأساوي في هذا الأمر.

طقس خريفي ممطر خارج النافذة.... لذلك لكل من يريد المزيد مثال معقدللحل المستقل:

مثال 5

حل نظام من أربع معادلات خطية ذات أربعة مجاهيل باستخدام طريقة غاوس.

مثل هذه المهمة ليست نادرة جدًا في الممارسة العملية. أعتقد أنه حتى إبريق الشاي الذي درس هذه الصفحة بدقة سوف يفهم خوارزمية حل مثل هذا النظام بشكل حدسي. في الأساس، كل شيء هو نفسه - هناك المزيد من الإجراءات.

تتم مناقشة الحالات التي لا يوجد فيها حلول للنظام (غير متناسق) أو لديه عدد لا نهائي من الحلول في الدرس الأنظمة والأنظمة غير المتوافقة مع الحل المشترك. هناك يمكنك إصلاح الخوارزمية المدروسة للطريقة الغوسية.

أتمنى لك النجاح!

الحلول والأجوبة:

مثال 2: حل: دعنا نكتب المصفوفة الموسعة للنظام ونحولها إلى شكل تدريجي باستخدام التحويلات الأولية.


التحولات الأولية التي تم إجراؤها:
(1) أضيف السطر الأول إلى السطر الثاني مضروبا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث مضروبًا في -1. انتباه!هنا قد تنجذب إلى طرح الأول من السطر الثالث، وأنا أوصي بشدة بعدم طرحه - فخطر الخطأ يزيد بشكل كبير. فقط قم بطيها!
(2) تم تغيير إشارة السطر الثاني ( مضروبة في -1 ). تم تبديل السطر الثاني والثالث. ملحوظة، أنه في "الخطوات" نحن راضون ليس فقط عن واحدة، ولكن أيضًا عن -1، وهو أكثر ملاءمة.
(3) أضيف السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبا في 5.
(4) تم تغيير إشارة السطر الثاني ( مضروبة في -1 ). تم تقسيم السطر الثالث على 14.

يعكس:

إجابة: .

مثال 4: حل: دعنا نكتب المصفوفة الموسعة للنظام ونحولها إلى شكل تدريجي باستخدام التحويلات الأولية:

التحويلات التي تم تنفيذها:
(١) أضيف سطر ثاني إلى السطر الأول. وهكذا يتم تنظيم الوحدة المطلوبة في "الخطوة" العلوية اليسرى.
(2) أضيف السطر الأول مضروبا في 7 إلى السطر الثاني، وأضيف السطر الأول مضروبا في 6 إلى السطر الثالث.

مع "الخطوة" الثانية، يصبح كل شيء أسوأ، "المرشحون" لذلك هم الرقمان 17 و 23، ونحتاج إما إلى واحد أو -1. تهدف التحويلات (3) و (4) إلى الحصول على الوحدة المطلوبة

(3) تم إضافة السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبا في -1.
(4) تم إضافة السطر الثالث إلى السطر الثاني مضروبا في -3.
تم استلام العنصر المطلوب في الخطوة الثانية. .
(5) أضيف السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبا في 6.

كجزء من الدروس طريقة غاوسيةو أنظمة/أنظمة غير متوافقة مع حل مشتركاعتبرنا أنظمة غير متجانسة من المعادلات الخطية، أين عضو مجاني(والذي عادة ما يكون على اليمين) مرة على الأقلمن المعادلات كان مختلفا عن الصفر.
والآن بعد عملية إحماء جيدة مع رتبة المصفوفةسنستمر في صقل هذه التقنية التحولات الأوليةعلى نظام متجانس من المعادلات الخطية.
بناءً على الفقرات الأولى، قد تبدو المادة مملة ومتوسطة، لكن هذا الانطباع خادع. بالإضافة إلى مزيد من التطوير للتقنيات التقنية، سيكون هناك الكثير معلومات جديدةلذا يرجى محاولة عدم إهمال الأمثلة الواردة في هذه المقالة.

حل. أ= . دعونا نجد ص (أ). لأن مصفوفةوقد أمر 3X4، ثم أعلى ترتيبالقاصرين يساوي 3. علاوة على ذلك، جميع القاصرين من الدرجة الثالثة يساوي الصفر (تحقق من ذلك بنفسك). وسائل، ص(أ)< 3. Возьмем главный قاصر الأساسية = -5-4 = -9 ≠ 0. وبالتالي ص(أ) =2.

دعونا نفكر مصفوفة مع = .

الثالثة الصغرى طلب ≠ 0. إذن ص(ج) = 3.

منذ ص(أ) ≠ r(C) فإن النظام غير متناسق.

مثال 2.تحديد مدى توافق نظام المعادلات

قم بحل هذا النظام إذا تبين أنه متسق.

حل.

أ =، ج = . ومن الواضح أن r(A) ≥ 3، r(C) ≥ 4. بما أن detC = 0، إذن r(C)< 4. دعونا نفكر صغير ثالث طلب، الموجود في الزاوية اليسرى العليا من المصفوفة A وC: = -23 ≠ 0. إذن r(A) = r(C) = 3.

رقم مجهول في النظام ن = 3. وهذا يعني أن النظام لديه حل فريد من نوعه. في هذه الحالة، تمثل المعادلة الرابعة مجموع الثلاثة الأولى ويمكن تجاهلها.

وفقا لصيغ كريمرنحصل على x 1 = -98/23، x 2 = -47/23، x 3 = -123/23.

2.4. طريقة المصفوفة. طريقة غاوسية

نظام نالمعادلات الخطيةمع نالمجهولة يمكن حلها طريقة المصفوفةوفقًا للصيغة X = A -1 B (عند Δ ≠ 0)، والذي يتم الحصول عليه من (2) بضرب كلا الجزأين بـ A -1.

مثال 1. حل نظام المعادلات

طريقة المصفوفة (في القسم 2.2 تم حل هذا النظام باستخدام صيغ كرامر)

حل. Δ = 10 ≠ 0 أ = - مصفوفة غير منحلة.

= (تحقق من ذلك بنفسك عن طريق إجراء الحسابات اللازمة).

أ -1 = (1/Δ)x= .

X = أ -1 فولت = س = .

إجابة: .

من الناحية العمليةطريقة المصفوفة والصيغ كرامرترتبط بكمية كبيرة من العمليات الحسابية، لذلك يتم إعطاء الأفضلية طريقة غاوسية، والذي يتمثل في الإزالة التسلسلية للمجهول. للقيام بذلك، يتم تقليل نظام المعادلات إلى نظام مكافئ بمصفوفة ممتدة مثلثية (جميع العناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي تساوي الصفر). وتسمى هذه الإجراءات الحركة إلى الأمام. ومن النظام الثلاثي الناتج، تم إيجاد المتغيرات باستخدام البدائل المتعاقبة (العكسية).

مثال 2. حل النظام باستخدام طريقة غاوس

(أعلاه، تم حل هذا النظام باستخدام صيغة كرامر وطريقة المصفوفة).

حل.

التحرك المباشر. دعونا نكتب المصفوفة الموسعة ونحولها باستخدام التحويلات الأولية إلى الشكل الثلاثي:

~ ~ ~ ~ .

نحن نحصل نظام

تحرك عكسي.من المعادلة الأخيرة نجد X 3 = -6 وعوض بهذه القيمة في المعادلة الثانية:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

إجابة: .

2.5. الحل العام لنظام المعادلات الخطية

دعونا نعطي نظام المعادلات الخطية = ب ط(أنا=). دع ص (أ) = ص (ج) = ص، أي. النظام تعاوني. أي قاصر من الرتبة r غير الصفر هو قاصر الأساسية.دون فقدان العمومية، سنفترض أن الأساس الثانوي يقع في أول r (1 ≥ r ≥ min(m,n)) الصفوف والأعمدة من المصفوفة A. تجاهل الأخير معادلات م-رالأنظمة، نكتب نظاما مختصرا:

وهو ما يعادل الأصلي. دعونا تسمية المجهولين × 1،….x صالأساسية، و س ص +1 ,…, س صحر وانقل المصطلحات التي تحتوي على مجاهيل حرة إلى الجانب الأيمن من معادلات النظام المقطوع. نحصل على نظام فيما يتعلق بالمجهول الأساسي:

والتي لكل مجموعة من القيم المجهولة الحرة x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-rلديه حل واحد فقط × 1 (ج 1 ,…, ج ن-ر),…, س ص (ج 1 ,…, ج ن-ر),وجدت من خلال قاعدة كريمر.

الحل المقابلالمختصرة، وبالتالي فإن النظام الأصلي له الشكل:

X(ج 1 ,…, ج ن-ر) = - الحل العام للنظام.

إذا أعطينا في الحل العام بعض المجهولات المجانية القيم الرقمية، ثم نحصل على حل النظام الخطي، ويسمى الجزئي.

مثال. إنشاء التوافق وإيجاد حل عام للنظام

حل. أ = ، ج = .

لذا كيف ص (أ)= r(C) = 2 (انظر هذا بنفسك)، فإن النظام الأصلي متسق وله عدد لا نهائي من الحلول (بما أن r< 4).

يعد حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية إحدى المشكلات الرئيسية للجبر الخطي. هذه المهمة لها أهمية القيمة المطبقةعند حل المشكلات العلمية والتقنية، بالإضافة إلى أنها تساعد في تنفيذ العديد من الخوارزميات في الرياضيات الحسابية، والفيزياء الرياضية، ومعالجة نتائج البحث التجريبي.

نظام المعادلات الجبرية الخطيةيسمى نظام المعادلات من الشكل : (1)

أين – مجهول؛ - أعضاء أحرار.

حل نظام المعادلات(1) استدعاء أي مجموعة من الأرقام التي، عند وضعها في النظام (1) بدلاً من الأرقام المجهولة يحول جميع معادلات النظام إلى معادلات عددية صحيحة.

يسمى نظام المعادلات مشترك، إذا كان لديه حل واحد على الأقل، و غير مشترك، إذا لم يكن له حلول.

يسمى نظام المعادلات المتزامن تأكيد، إذا كان لديه حل فريد واحد، و غير مؤكد، إذا كان لديه حلين مختلفين على الأقل.

ويطلق على نظامي المعادلات مقابلأو مقابل، إذا كان لديهم نفس مجموعة الحلول.

تم استدعاء النظام (1). متجانس، إذا كانت الشروط المجانية صفرًا:

النظام المتجانس يكون دائمًا متسقًا، وله حل (ربما ليس الوحيد).

إذا كان في النظام (1)، فلدينا النظام نالمعادلات الخطية مع نمجهول: أين – مجهول؛ - معاملات المجهولين، - أعضاء أحرار.

قد يكون للنظام الخطي حل واحد، أو عدد لا نهائي من الحلول، أو لا يوجد حل على الإطلاق.

النظر في نظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين

إذا كان لدى النظام حل فريد؛

لو ثم النظام ليس لديه حلول.

لو ومن ثم يكون لدى النظام عدد لا نهائي من الحلول.

مثال.النظام لديه حل فريد لزوج من الأرقام

النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول. على سبيل المثال، حلول نظام معين هي أزواج من الأرقام، وما إلى ذلك.

ليس لدى النظام حلول، لأن الفرق بين رقمين لا يمكن أن يأخذ قيمتين مختلفتين.

تعريف. محدد الدرجة الثانيةيسمى تعبيرا عن النموذج:

.

يتم تحديد المحدد بالرمز D.

أعداد أ 11, …, أ 22 تسمى عناصر المحدد.

قطري يتكون من العناصر أ 11 ; أيتم استدعاء 22 رئيسيقطري يتكون من العناصر أ 12 ; أ 21 − جانب

وبالتالي فإن المحدد الثاني يساوي الفرق بين حاصل ضرب عناصر القطرين الرئيسي والثانوي.

لاحظ أن الجواب هو رقم.

مثال.دعونا نحسب المحددات:

النظر في نظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين: أين X 1, X 2 – مجهول؛ أ 11 , …, أ 22 - معاملات المجهولين، ب 1 ،ب 2- الأعضاء الأحرار.

إذا كان لنظام مكون من معادلتين مع مجهولين حل فريد، فيمكن إيجاده باستخدام المحددات من الدرجة الثانية.

تعريف.يسمى المحدد المكون من معاملات المجهول محدد النظام:د= .

تحتوي أعمدة المحدد D على المعاملات، على التوالي، لـ X 1 وفي ، اكس 2. دعونا نقدم اثنين تصفيات إضافية،والتي يتم الحصول عليها من محددات النظام عن طريق استبدال أحد الأعمدة بعمود المصطلحات الحرة: D 1 = D 2 = .

النظرية 14(كرامر، للحالة ن = 2).إذا كان المحدد D للنظام يختلف عن الصفر (D¹0)، فإن النظام لديه حل فريد، والذي يمكن إيجاده باستخدام الصيغ:

تسمى هذه الصيغ صيغ كريمر.

مثال.دعونا نحل النظام باستخدام قاعدة كرامر:

حل.دعونا نجد الأرقام

إجابة.

تعريف. محدد الدرجة الثالثةيسمى تعبيرا عن النموذج:

عناصر أ 11; أ 22 ; أ 33 – شكل القطر الرئيسي.

أعداد أ 13; أ 22 ; أ 31 – شكل قطري جانبي.

يتضمن الإدخال بعلامة زائد ما يلي: حاصل ضرب العناصر الموجودة على القطر الرئيسي، والحدان المتبقيان هما حاصل ضرب العناصر الواقعة عند رؤوس المثلثات ذات القواعد الموازية للقطر الرئيسي. يتم تشكيل الحدود الناقص وفقًا لنفس المخطط فيما يتعلق بالقطر الثانوي.

مثال.دعونا نحسب المحددات:

أين – مجهول؛ - معاملات المجهولين، - أعضاء أحرار.

في حالة الحل الفريد، يمكن حل نظام مكون من 3 معادلات خطية مع ثلاثة مجاهيل باستخدام محددات الدرجة الثالثة.

محدد النظام D له الشكل:

دعونا نقدم ثلاثة محددات إضافية:

النظرية 15(كرامر، للحالة ن = 3).إذا كان المحدد D للنظام يختلف عن الصفر، فإن النظام لديه حل فريد، والذي يمكن إيجاده باستخدام صيغ كرامر:

مثال.دعونا نحل النظام وفقا لقاعدة كريمر.

حل.دعونا نجد الأرقام

دعونا نستخدم صيغ كرامر ونجد الحل للنظام الأصلي:

إجابة.

لاحظ أن نظرية كرامر قابلة للتطبيق عندما يكون عدد المعادلات مساوياً لعدد المجهولين وعندما يكون محدد النظام D غير صفر.

إذا كان محدد النظام يساوي الصفر، ففي هذه الحالة يمكن للنظام إما ألا يكون له حلول أو أن يكون له عدد لا نهائي من الحلول. تتم دراسة هذه الحالات بشكل منفصل.

دعونا نلاحظ حالة واحدة فقط. إذا كانت محددات النظام تساوي صفر (D=0)، وكان أحد المحددات الإضافية على الأقل مختلفًا عن الصفر، فإن النظام ليس له حلول، أي أنه غير متناسق.

يمكن تعميم نظرية كرامر على النظام نالمعادلات الخطية مع نمجهول: أين – مجهول؛ - معاملات المجهولين، - أعضاء أحرار.

إذا كان محدد نظام المعادلات الخطية مع المجهولين ومن ثم تم العثور على الحل الوحيد للنظام باستخدام صيغ كرامر:

مؤهل إضافي يتم الحصول عليها من المحدد D إذا كان يحتوي على عمود من معاملات المجهول × طاستبدله بعمود من الأعضاء الأحرار.

لاحظ أن المحددات D , D 1 , … , D نلديك أمر ن.

طريقة غاوس لحل أنظمة المعادلات الخطية

إحدى الطرق الأكثر شيوعًا لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية هي طريقة الحذف المتسلسل للمجاهول -طريقة غاوس. هذه الطريقة هي تعميم لطريقة الاستبدال وتتكون من إزالة المجهولين بشكل تسلسلي حتى تبقى معادلة واحدة بمجهول واحد.

وتعتمد الطريقة على بعض التحويلات لنظام من المعادلات الخطية، مما ينتج عنه نظام مكافئ للنظام الأصلي. تتكون خوارزمية الطريقة من مرحلتين.

المرحلة الأولى تسمى إلى الأمام مباشرةطريقة غاوس. وهو يتألف من إزالة المجهولين من المعادلات بشكل تسلسلي. للقيام بذلك، في الخطوة الأولى، قم بتقسيم المعادلة الأولى للنظام على (وإلا، قم بإعادة ترتيب معادلات النظام). وهي تشير إلى معاملات المعادلة المخفضة الناتجة، وضربها في المعامل وطرحها من المعادلة الثانية للنظام، وبالتالي حذفها من المعادلة الثانية (صفر المعامل).

افعل الشيء نفسه مع المعادلات المتبقية واحصل على نظام جديد، في جميع المعادلات، بدءًا من الثانية، تحتوي معاملات , على أصفار فقط. ومن الواضح أن النظام الجديد الناتج سيكون معادلاً للنظام الأصلي.

إذا كانت المعاملات الجديدة، ل، لا تساوي كلها الصفر، فيمكن استبعادها بنفس الطريقة من المعادلات الثالثة والمعادلات اللاحقة. وباستمرار هذه العملية للمجهولات التالية، يصل النظام إلى ما يسمى بالشكل الثلاثي:

تشير الرموز هنا إلى المعاملات العددية والمصطلحات الحرة التي تغيرت نتيجة للتحولات.

ومن المعادلة الأخيرة للنظام، يتم تحديد المجهولات المتبقية بطريقة فريدة، ومن ثم عن طريق الاستبدال المتسلسل.

تعليق.في بعض الأحيان، نتيجة للتحولات، في أي من المعادلات، تتحول جميع المعاملات والجانب الأيمن إلى الصفر، أي أن المعادلة تتحول إلى الهوية 0=0. وبحذف مثل هذه المعادلة من النظام، يتم تقليل عدد المعادلات مقارنة بعدد المجهولات. ولا يمكن أن يكون لمثل هذا النظام حل واحد.

إذا تحولت أي معادلة، أثناء تطبيق طريقة غاوس، إلى مساواة بالشكل 0 = 1 (تتحول معاملات المجهول إلى 0، ويأخذ الجانب الأيمن قيمة غير الصفر)، فإن النظام الأصلي ليس له حل، لأن هذه المساواة خاطئة لأي قيم غير معروفة.

النظر في نظام من ثلاث معادلات خطية مع ثلاثة مجهولين:

(2)

أين – مجهول؛ - معاملات المجهولين، - أعضاء أحرار.

تستخدم أنظمة المعادلات على نطاق واسع في القطاع الاقتصادي للنمذجة الرياضية لمختلف العمليات. على سبيل المثال، عند حل مشاكل إدارة وتخطيط الإنتاج أو الطرق اللوجستية (مشكلة النقل) أو وضع المعدات.

تُستخدم أنظمة المعادلات ليس فقط في الرياضيات، ولكن أيضًا في الفيزياء والكيمياء والأحياء، عند حل مشكلات إيجاد حجم السكان.

نظام المعادلات الخطية هو معادلتان أو أكثر مع عدة متغيرات والتي من الضروري إيجاد حل مشترك لها. مثل هذا التسلسل من الأرقام الذي تصبح فيه جميع المعادلات متساويات حقيقية أو تثبت عدم وجود التسلسل.

معادلة خط مستقيم

تسمى المعادلات ذات الشكل ax+by=c خطية. التسميات x، y هي المجهولة التي يجب العثور على قيمتها، b، a هي معاملات المتغيرات، c هو الحد الحر للمعادلة.
حل المعادلة عن طريق رسمها سيبدو كخط مستقيم، جميع نقاطه هي حلول لكثيرة الحدود.

أنواع أنظمة المعادلات الخطية

أبسط الأمثلة هي أنظمة المعادلات الخطية ذات المتغيرين X و Y.

F1(x, y) = 0 وF2(x, y) = 0، حيث F1,2 هي دوال و(x, y) هي متغيرات دالة.

حل نظام المعادلات - وهذا يعني إيجاد القيم (x، y) التي يتحول عندها النظام إلى مساواة حقيقية أو إثبات عدم وجود القيم المناسبة لـ x و y.

زوج من القيم (x، y)، مكتوب على شكل إحداثيات نقطة، يسمى حلاً لنظام المعادلات الخطية.

إذا كان للأنظمة حل واحد مشترك أو لم يكن هناك حل، فإنها تسمى متكافئة.

الأنظمة المتجانسة للمعادلات الخطية هي الأنظمة التي يساوي الجانب الأيمن منها الصفر. إذا كان الجزء الأيمن بعد علامة التساوي له قيمة أو يتم التعبير عنه بوظيفة، فإن هذا النظام يكون غير متجانس.

يمكن أن يكون عدد المتغيرات أكثر من اثنين بكثير، فيجب أن نتحدث عن مثال لنظام المعادلات الخطية الذي يحتوي على ثلاثة متغيرات أو أكثر.

في مواجهة الأنظمة، يفترض تلاميذ المدارس أن عدد المعادلات يجب أن يتزامن بالضرورة مع عدد المجهولين، ولكن هذا ليس هو الحال. عدد المعادلات في النظام لا يعتمد على المتغيرات، يمكن أن يكون هناك العديد منها حسب الرغبة.

طرق بسيطة ومعقدة لحل أنظمة المعادلات

ولا توجد طريقة تحليلية عامة لحل مثل هذه الأنظمة، بل تعتمد جميع الطرق على الحلول العددية. تصف دورة الرياضيات المدرسية بالتفصيل طرقًا مثل التقليب، والجمع الجبري، والاستبدال، بالإضافة إلى الطرق الرسومية والمصفوفية، والحل بالطريقة الغوسية.

تتمثل المهمة الرئيسية عند تدريس طرق الحل في تعليم كيفية تحليل النظام بشكل صحيح والعثور على خوارزمية الحل الأمثل لكل مثال. الشيء الرئيسي ليس حفظ نظام القواعد والإجراءات لكل طريقة، ولكن فهم مبادئ استخدام طريقة معينة

يعد حل أمثلة أنظمة المعادلات الخطية في منهج التعليم العام للصف السابع أمرًا بسيطًا للغاية ويتم شرحه بتفصيل كبير. في أي كتاب مدرسي للرياضيات، يتم إعطاء هذا القسم الاهتمام الكافي. تتم دراسة حل أمثلة أنظمة المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس وكرامر بمزيد من التفصيل في السنوات الأولى من التعليم العالي.

حل الأنظمة باستخدام طريقة الاستبدال

تهدف إجراءات طريقة الاستبدال إلى التعبير عن قيمة متغير واحد بالنسبة للمتغير الثاني. يتم استبدال التعبير في المعادلة المتبقية، ثم يتم تقليله إلى نموذج بمتغير واحد. يتم تكرار الإجراء اعتمادًا على عدد العناصر المجهولة في النظام

دعونا نعطي حلاً لمثال لنظام المعادلات الخطية من الدرجة 7 باستخدام طريقة الاستبدال:

كما يتبين من المثال، تم التعبير عن المتغير x من خلال F(X) = 7 + Y. وقد ساعد التعبير الناتج، الذي تم استبداله في المعادلة الثانية للنظام بدلاً من X، في الحصول على متغير واحد Y في المعادلة الثانية . حل هذا المثال سهل ويسمح لك بالحصول على قيمة Y. الخطوة الأخيرة هي التحقق من القيم التي تم الحصول عليها.

ليس من الممكن دائمًا حل مثال لنظام المعادلات الخطية عن طريق الاستبدال. يمكن أن تكون المعادلات معقدة والتعبير عن المتغير بدلالة المجهول الثاني سيكون مرهقا للغاية لإجراء المزيد من الحسابات. عندما يكون هناك أكثر من 3 مجاهيل في النظام، فإن الحل بالاستبدال غير مناسب أيضًا.

حل مثال لنظام المعادلات الخطية غير المتجانسة:

الحل باستخدام الجمع الجبري

عند البحث عن حلول للأنظمة باستخدام طريقة الجمع، تتم إضافة المعادلات حدًا تلو الآخر وضربها بأرقام مختلفة. الهدف الرئيسيالعمليات الحسابية هي معادلة ذات متغير واحد.

للتطبيقات هذه الطريقةالممارسة والمراقبة مطلوبة. إن حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة الجمع عندما يكون هناك 3 متغيرات أو أكثر ليس بالأمر السهل. تعتبر عملية الجمع الجبرية ملائمة للاستخدام عندما تحتوي المعادلات على كسور وأعداد عشرية.

خوارزمية الحل:

1. اضرب طرفي المعادلة برقم معين. نتيجة ل العمل الحسابييجب أن يصبح أحد معاملات المتغير يساوي 1.
2. أضف مصطلح التعبير الناتج بمصطلح وابحث عن أحد المجهولين.
3. عوّض بالقيمة الناتجة في المعادلة الثانية للنظام لإيجاد المتغير المتبقي.

طريقة الحل بإدخال متغير جديد

يمكن إدخال متغير جديد إذا كان النظام يتطلب إيجاد حل لما لا يزيد عن معادلتين، كما يجب ألا يزيد عدد المجهولين عن معادلتين.

يتم استخدام الطريقة لتبسيط إحدى المعادلات عن طريق إدخال متغير جديد. يتم حل المعادلة الجديدة للمجهول المدخل، ويتم استخدام القيمة الناتجة لتحديد المتغير الأصلي.

يوضح المثال أنه من خلال إدخال متغير جديد t، كان من الممكن تقليل المعادلة الأولى للنظام إلى ثلاثية الحدود التربيعية القياسية. يمكنك حل كثيرة الحدود من خلال إيجاد المميز.

من الضروري إيجاد قيمة المميز باستخدام الصيغة المعروفة: D = b2 - 4*a*c، حيث D هو المميز المطلوب، b، a، c هي عوامل كثير الحدود. في المثال الموضح، أ=1، ب=16، ج=39، وبالتالي D=100. إذا كان المميز أكبر من الصفر، فهناك حلان: t = -b±√D / 2*a، إذا كان المميز أقل من الصفر، فهناك حل واحد: x = -b / 2*a.

تم العثور على حل الأنظمة الناتجة عن طريق طريقة الإضافة.

الطريقة البصرية لحل الأنظمة

مناسبة لـ 3 أنظمة معادلة. تتمثل الطريقة في إنشاء رسوم بيانية لكل معادلة مدرجة في النظام على محور الإحداثيات. ستكون إحداثيات نقاط تقاطع المنحنيات هي الحل العام للنظام.

الطريقة الرسومية لديها عدد من الفروق الدقيقة. دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لحل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة مرئية.

كما يتبين من المثال، تم إنشاء نقطتين لكل سطر، وتم اختيار قيم المتغير x بشكل تعسفي: 0 و 3. وبناء على قيم x، تم العثور على قيم y: 3 و 0. تم تحديد النقاط ذات الإحداثيات (0، 3) و (3، 0) على الرسم البياني وتوصيلها بخط.

ويجب تكرار الخطوات للمعادلة الثانية. نقطة تقاطع الخطوط هي حل النظام.

يتطلب المثال التالي إيجاد حل رسومي لنظام المعادلات الخطية: 0.5x-y+2=0 و0.5x-y-1=0.

كما يتبين من المثال، ليس لدى النظام حل، لأن الرسوم البيانية متوازية ولا تتقاطع على طولها بالكامل.

الأنظمة من المثالين 2 و3 متشابهة، ولكن عند إنشائها يصبح من الواضح أن حلولها مختلفة. يجب أن نتذكر أنه ليس من الممكن دائمًا تحديد ما إذا كان النظام لديه حل أم لا، فمن الضروري دائمًا إنشاء رسم بياني.

المصفوفة وأصنافها

تُستخدم المصفوفات لكتابة نظام من المعادلات الخطية بإيجاز. المصفوفة هي نوع خاص من الجداول المليئة بالأرقام. يحتوي n*m على n - صفوف وm - أعمدة.

تكون المصفوفة مربعة عندما يكون عدد الأعمدة والصفوف متساويًا. ناقل المصفوفة عبارة عن مصفوفة مكونة من عمود واحد مع عدد لا نهائي من الصفوف. تسمى المصفوفة التي تحتوي على واحد على طول أحد الأقطار والعناصر الصفرية الأخرى بالهوية.

المصفوفة العكسية هي مصفوفة عند ضربها تتحول المصفوفة الأصلية إلى مصفوفة وحدة، ومثل هذه المصفوفة موجودة فقط للمصفوفة الأصلية المربعة.

قواعد لتحويل نظام المعادلات إلى مصفوفة

فيما يتعلق بأنظمة المعادلات، تتم كتابة المعاملات والحدود الحرة للمعادلات كأرقام مصفوفية؛ معادلة واحدة هي صف واحد من المصفوفة.

يقال إن صف المصفوفة غير صفري إذا كان عنصر واحد على الأقل من الصف ليس صفرًا. لذلك، إذا اختلف عدد المتغيرات في أي من المعادلات، فمن الضروري إدخال صفر بدلاً من المجهول المفقود.

يجب أن تتوافق أعمدة المصفوفة بشكل صارم مع المتغيرات. وهذا يعني أنه يمكن كتابة معاملات المتغير x في عمود واحد فقط، على سبيل المثال الأول، معامل المجهول y - فقط في الثاني.

عند ضرب مصفوفة، يتم ضرب جميع عناصر المصفوفة بالرقم.

خيارات لإيجاد المصفوفة العكسية

صيغة العثور على المصفوفة العكسية بسيطة للغاية: K -1 = 1 / |K|، حيث K -1 هي المصفوفة العكسية، و |K| هو محدد المصفوفة. |ك| يجب أن لا تساوي الصفر، فالنظام لديه الحل.

يمكن حساب المحدد بسهولة لمصفوفة مكونة من اثنين في اثنين، كل ما عليك فعله هو ضرب العناصر القطرية في بعضها البعض. بالنسبة لخيار "ثلاثة في ثلاثة" توجد صيغة |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + أ 3 ب 2 ج 1 . يمكنك استخدام الصيغة، أو يمكنك أن تتذكر أنك تحتاج إلى أخذ عنصر واحد من كل صف ومن كل عمود حتى لا تتكرر أعداد الأعمدة وصفوف العناصر في العمل.

حل أمثلة أنظمة المعادلات الخطية باستخدام طريقة المصفوفة

تتيح لك طريقة المصفوفة لإيجاد حل تقليل الإدخالات المرهقة عند حل الأنظمة التي تحتوي على عدد كبير من المتغيرات والمعادلات.

في المثال، nm هي معاملات المعادلات، والمصفوفة عبارة عن متجه x n عبارة عن متغيرات، وb n عبارة عن مصطلحات حرة.

حل الأنظمة باستخدام الطريقة الغوسية

في الرياضيات العليا، تتم دراسة طريقة غاوس مع طريقة كرامر، وتسمى عملية إيجاد حلول للأنظمة بطريقة حل غاوس-كرامر. تُستخدم هذه الطرق للعثور على متغيرات الأنظمة التي تحتوي على عدد كبير من المعادلات الخطية.

طريقة غاوس تشبه إلى حد كبير الحلول عن طريق الاستبدال والإضافة الجبرية، ولكنها أكثر منهجية. في الدورة المدرسية، يتم استخدام الحل بالطريقة الغوسية لأنظمة المعادلات 3 و 4. الغرض من هذه الطريقة هو تقليل النظام إلى شكل شبه منحرف مقلوب. عن طريق التحويلات والبدائل الجبرية، يتم العثور على قيمة متغير واحد في إحدى معادلات النظام. المعادلة الثانية عبارة عن تعبير بمجهولين، بينما 3 و 4 على التوالي، مع 3 و 4 متغيرات.

بعد إحضار النظام إلى النموذج الموصوف، يتم تقليل الحل الإضافي إلى الاستبدال المتسلسل للمتغيرات المعروفة في معادلات النظام.

في الكتب المدرسية للصف السابع، يتم وصف مثال على الحل بطريقة غاوس على النحو التالي:

كما يتبين من المثال، في الخطوة (3) تم الحصول على معادلتين: 3x 3 -2x 4 =11 و3x 3 +2x 4 =7. حل أي من المعادلات سيسمح لك بمعرفة أحد المتغيرات x n.

تنص النظرية الخامسة المذكورة في النص على أنه إذا تم استبدال إحدى معادلات النظام بأخرى مكافئة، فإن النظام الناتج سيكون معادلاً للنظام الأصلي أيضًا.

يصعب على الطلاب فهم الطريقة الغوسية المدرسة الثانويةولكنها إحدى الطرق الأكثر إثارة للاهتمام لتطوير براعة الأطفال المسجلين في برامج التعلم المتقدمة في فصول الرياضيات والفيزياء.

ولتسهيل التسجيل، تتم الحسابات عادة على النحو التالي:

تتم كتابة معاملات المعادلات والحدود الحرة على شكل مصفوفة، حيث يتوافق كل صف من المصفوفة مع إحدى معادلات النظام. يفصل الجانب الأيسر من المعادلة عن اليمين. تشير الأرقام الرومانية إلى عدد المعادلات في النظام.

أولاً، اكتب المصفوفة التي سيتم التعامل معها، ثم جميع الإجراءات التي تم تنفيذها باستخدام أحد الصفوف. تتم كتابة المصفوفة الناتجة بعد علامة "السهم" وتستمر العمليات الجبرية اللازمة حتى يتم تحقيق النتيجة.

يجب أن تكون النتيجة مصفوفة يكون أحد أقطارها يساوي 1، وجميع المعاملات الأخرى تساوي الصفر، أي يتم تقليل المصفوفة إلى شكل وحدة. يجب ألا ننسى إجراء العمليات الحسابية بالأرقام الموجودة على طرفي المعادلة.

تعد طريقة التسجيل هذه أقل تعقيدًا وتسمح لك بعدم تشتيت انتباهك عن طريق سرد العديد من الأشياء المجهولة.

سيتطلب الاستخدام المجاني لأي طريقة حل الرعاية وبعض الخبرة. ليست كل الأساليب ذات طبيعة تطبيقية. بعض طرق إيجاد الحلول هي الأفضل في مجال معين من النشاط البشري، في حين أن البعض الآخر موجود للأغراض التعليمية.

إيجاد حلول لنظام خطي
تطبيقات Windows المحمولة على Bodrenko.com

§2. إيجاد حلول لنظام خطي

تحدد نظرية كرونيكر-كابيلي شرطًا ضروريًا وكافيًا لتوافق النظام الخطي، ولكنها لا توفر طريقة لإيجاد حلول لهذا النظام.
سنجد في هذا القسم حلولاً للنظام الخطي (3.1). أولاً، سننظر إلى أبسط حالة لنظام تربيعي من المعادلات الخطية ذات محدد غير صفري للمصفوفة الرئيسية، ثم ننتقل إلى إيجاد مجموعة جميع الحلول للنظام الخطي العام من الشكل (3.1).
1. النظام التربيعي للمعادلات الخطية ذات المحدد غير الصفري للمصفوفة الرئيسية.دعونا نعطي نظامًا تربيعيًا للمعادلات الخطية

مع محدد غير صفري Δ للمصفوفة الرئيسية

دعونا نثبت أن مثل هذا النظام لديه حل فريد، وسوف نجد هذا الحل. أولا، سنثبت أن النظام (3.10) لا يمكن أن يكون له سوى حل واحد (أي أننا سنثبت تفرد الحل للنظام (3.10) على افتراض وجوده).
لنفترض أن هناك أي أرقام n x 1, x 2,..., x n بحيث عند استبدال هذه الأرقام في النظام (3.10)، تصبح جميع معادلات هذا النظام هويات (أي، هناك بعض الحلول للنظام ( 3.10) × 1، × 2، ...، × ن). بعد ذلك، نقوم بضرب المتطابقات (3.10) على التوالي بالمكملات الجبرية A 1j , A 2j ,..., A nj عناصر عمود j-ro للمحدد Δ للمصفوفة (3.11) ثم إضافة المتطابقات الناتجة، نحصل على ( لأي عدد ي يساوي 1، 2،...، ن)

مع الأخذ في الاعتبار أن مجموع منتجات عناصر العمود i بالمكملات الجبرية المقابلة لعناصر العمود j-ro يساوي صفرًا لـ i ≠ j ويساوي المحدد Δ للمصفوفة (3.11) لـ i = j (انظر الخاصية 4° من الفقرة 4 من البند 2 من الفصل 1)، نحصل عليها من المساواة الأخيرة

x j Δ = ب 1 أ 1j + ب 2 أ 2ي + ... + ب ن أ nj . (3.12)

دعونا نشير بالرمزΔ ي (ب أنا ) (أو باختصار أكثر الرمزΔ ي ) المحدد الذي تم الحصول عليه من المحددΔ المصفوفة الرئيسية (3.11) عن طريق استبدال العمود j الخاص بها بعمود المصطلحات الحرة b 1 ،ب 2 ،...،ب ن (مع الاحتفاظ بجميع الأعمدة الأخرى دون تغيير Δ ).
لاحظ أنه على الجانب الأيمن من (3.12) يوجد المحدد Δ j (b i) على وجه التحديد (للتحقق من ذلك، يكفي كتابة مفكوك المحدد Δ j (b i) بدلالة عناصر i-th العمود)، وهذه المساواة تأخذ الشكل

Δ س ي = Δ ي (3.13)

بما أن المحدد Δ للمصفوفة (3.11) ليس صفرًا، فإن التساويات (3.13) تعادل العلاقات

لذلك أثبتنا ذلك إذا كان الحل x 1 ، س 2 ،...،X ن نظام (3.10) مع المحددΔ توجد مصفوفة رئيسية (3.11) مختلفة عن الصفر، ثم يتم تحديد هذا الحل بشكل فريد من خلال الصيغ (3.14).
يتم استدعاء الصيغ (3.14). صيغ كريمر.
دعونا نؤكد مرة أخرى أن صيغ كريمر تم الحصول عليها حتى الآن على افتراض وجود الحل وإثبات تفرده.
ويبقى إثبات وجود حل لنظام (3.10). وللقيام بذلك، وبحكم نظرية كرونيكر-كابيلي، يكفي إثبات أن رتبة المصفوفة الرئيسية (3.11) تساوي رتبة المصفوفة الموسعة (هناك طريقة أخرى لإثبات وجود حل ل النظام (3.10)، والذي يتمثل في التحقق من أن الأرقام x 1، x 2،. ..،x n ، المحددة بواسطة صيغ كرامر (3.14)، تحول جميع معادلات النظام (3.10) إلى متطابقات)

لكن هذا واضح، لأنه بسبب العلاقة Δ ≠ 0، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية تساوي n، ولا يمكن أن تكون رتبة المصفوفة الموسعة (3.15) التي تحتوي على صفوف n أكبر من الرقم n وبالتالي فهي يساوي رتبة المصفوفة الرئيسية.
وهذا يثبت ذلك تماما النظام التربيعي للمعادلات الخطية (3.10) مع محدد المصفوفة الرئيسية يختلف عن الصفر، علاوة على ذلك، لديه حل فريد تحدده صيغ كرامر (3.14).

يمكن إنشاء العبارة التي أثبتناها ببساطة أكبر باستخدام طريقة المصفوفة. من أجل القيام بذلك، نستبدل (كما في الفقرة 1 من الفقرة 1) النظام (3.10) بمعادلة المصفوفة المكافئة له

الفأس = ب، (3.16)

حيث A هي المصفوفة الرئيسية للنظام (3.11)، وX وB عمودان،

الأول منها يجب تحديده، والثاني معطى.
نظرًا لأن محدد Δ للمصفوفة A يختلف عن الصفر، فهناك مصفوفة معكوسة A -1 (انظر الفقرة 7، §2، الفصل 1).
لنفترض أن هناك حلاً للنظام (3.10)، أي. يوجد عمود X يحول معادلة المصفوفة (3.16) إلى هوية. بضرب الهوية المشار إليها على اليسار بالمصفوفة العكسية A -1 سيكون لدينا

أ -1 (أكس) = أ -1 الخامس (3.17)

دعونا نأخذ في الاعتبار الآن أنه نظرًا للخاصية التجميعية لمنتج ثلاث مصفوفات (انظر الفقرة 2، § 1، الفصل 1) وبسبب العلاقة A -1 A = E، حيث E هي مصفوفة الهوية (انظر الفقرة 7، §2، الفصل 1)، A -1 (AX) = (A -1 A)X = EX = X، فنحصل على من (3.17)

X = أ -1 الخامس (3.18)

توسيع المساواة (3.18) ومراعاة شكل المصفوفة العكسية (انظر الصيغة أ.41) من الفقرة 7 من القسم 2 من الفصل. 1) حصلنا على صيغ كرامر لعناصر العمود X.
لذلك، أثبتنا أنه في حالة وجود حل لمعادلة المصفوفة (3.16)، فإنه يتم تحديده بشكل فريد من خلال العلاقة (3.18)، أي ما يعادل صيغ كرامر.
من السهل التحقق من أن العمود X المحدد بالعلاقة (3.18) هو في الواقع حل لمعادلة المصفوفة (3.16)،
أي أنه عند استبداله في هذه المعادلة فإنه يحولها إلى هوية. في الواقع، إذا تم تحديد العمود X بالمساواة (3.18)، فإن AX = A(A -1 B) = (AA -1)B = EB = B.
لذلك، إذا كان المحدد Δ للمصفوفة A يختلف عن الصفر (أي، إذا كانت هذه المصفوفة غير مفردة)، فهناك، علاوة على ذلك، حل فريد لمعادلة المصفوفة (3.16)، يتحدد بالعلاقة ( 3.18)، أي ما يعادل صيغ كريمر.
مثال. دعونا نجد الحل لنظام تربيعي من المعادلات الخطية

مع محدد غير صفري للمصفوفة الرئيسية

بسبب ال

ومن ثم، وبموجب صيغ كرامر، فإن الحل الوحيد للنظام قيد النظر له الصيغة x 1 = 1، x 2 = 2، x 3 = 3، x 4 = 4.
تكمن الأهمية الرئيسية لصيغ كرامر في أنها توفر تعبيرًا صريحًا لحل نظام تربيعي من المعادلات الخطية (مع محدد غير صفري) من حيث معاملات المعادلات والحدود الحرة. يتضمن الاستخدام العملي لصيغ كرامر حسابات مرهقة إلى حد ما (لحل نظام من المعادلات n مع مجهولات n، يتعين على المرء حساب محدد الرتبة n (n + 1). ويجب أن يضاف إلى ذلك أنه إذا كانت معاملات المعادلات والمصطلحات الحرة هي قيم تقريبية فقط لأي كميات فيزيائية مقاسة أو يتم تقريبها أثناء عملية الحساب، فإن استخدام صيغ كرامر يمكن أن يؤدي إلى أخطاء كبيرة وفي بعض الحالات غير مناسب.
في الفقرة 4 من الفصل 4، سيتم عرض طريقة التنظيم بسبب A.N. تيخونوف ويسمح بإيجاد حل لنظام خطي بدقة تتوافق مع دقة تحديد مصفوفة معاملات المعادلة وعمود المصطلحات الحرة، وفي الفصل. 6 يعطي فكرة عما يسمى بالطرق التكرارية لحل الأنظمة الخطية، والتي تجعل من الممكن حل هذه الأنظمة باستخدام التقريبات المتعاقبة للمجاهول.
في الختام، نلاحظ أننا في هذا القسم استبعدنا من الاعتبار الحالة التي يختفي فيها المحدد Δ للمصفوفة الرئيسية للنظام (3.10). سيتم احتواء هذه الحالة في النظرية العامةأنظمة المعادلات الخطية m مع المجهولات n، المعروضة في الفقرة التالية.
2. إيجاد جميع حلول النظام الخطي العام.دعونا الآن نفكر في النظام العام للمعادلات الخطية m مع المجهول n (3.1). ولنفترض أن هذا النظام ثابت وأن رتبة مصفوفاته الرئيسية والممتدة تساوي الرقم r. دون فقدان العمومية، يمكننا أن نفترض أن الأساس الأصغر للمصفوفة الرئيسية (3.2) موجود في الزاوية اليسرى العليا من هذه المصفوفة (يتم تقليل الحالة العامة إلى هذه الحالة من خلال إعادة ترتيب المعادلات والمجهول في النظام (3.1).
ثم الصفوف r الأولى لكل من المصفوفة الرئيسية (3.2) والمصفوفة الموسعة (3.8) هي الصفوف الأساسية لهذه المصفوفات (نظرًا لأن صفوف المصفوفات الرئيسية والممتدة كلاهما يساوي r، الأساس الثانوي للمصفوفة الرئيسية سيكون في نفس الوقت الأساس الثانوي للمصفوفة الموسعة)، وبموجب النظرية 1.6 على الأساس الثانوي، فإن كل صف من صفوف المصفوفة الموسعة (1.8)، بدءًا من الصف (r + 1)، عبارة عن مزيج خطي من الصفوف الأولى من هذه المصفوفة.
ومن حيث النظام (3.1) فهذا يعني أن كل واحدة من معادلات هذا النظام ابتداءً من المعادلة (r + 1) هي مزيج خطي (أي نتيجة) لمعادلات r الأولى من هذا النظام ( أي أن أي حل للمعادلات r الأولى للنظام (3.1) يحول إلى متطابقات جميع المعادلات اللاحقة لهذا النظام).
وبالتالي، يكفي إيجاد جميع حلول معادلات r الأولى فقط للنظام (3.1). دعونا نفكر في معادلات r الأولى للنظام (3.1)، ونكتبها في الصورة

إذا أعطينا المجهولين x r+1 ,...,x n قيمًا اعتباطية تمامًا ​​c r+1 ,...,c n ، فسيتحول النظام (1.19) إلى نظام تربيعي من المعادلات الخطية r للمجهول r x 1 , x 2 , ..., x r , ومحدد المصفوفة الرئيسية لهذا النظام هو الأساس غير الصفري للمصفوفة (3.2). نظرا لنتائج الفقرة السابقة، فإن هذا النظام (3.19) لديه حل فريد تحدده صيغ كرامر، أي بالنسبة للاختيار التعسفي c r+1 ,...,c n هناك مجموعة فريدة من أرقام r c 1 ,.. .,c r تحويل جميع معادلات النظام (3.19) إلى متطابقات ومحددة بواسطة صيغ كريمر.
لتدوين هذا الحل الفريد، نتفق على الإشارة بالرمز M j (d i) إلى المحدد الذي تم الحصول عليه من الأساس الصغير M للمصفوفة (3.2) عن طريق استبدال عمود j-ro الخاص به بعمود من الأرقام d 1، d 2، ...,d i,..., d r (مع الحفاظ على جميع أعمدة M الأخرى دون تغيير). ثم بكتابة الحل للنظام (3.19) باستخدام صيغ كرامر وباستخدام الخاصية الخطية للمحدد، نحصل على

تعبر الصيغ (3.20) عن قيم المجهولات x j = c j (j = 1, 2,......, r) من خلال معاملات المجهولات والمصطلحات الحرة والمعلمات المحددة بشكل تعسفي مع r+1,. ...، مع ن.
دعونا نثبت ذلك الصيغ (3.20) تحتوي على أي حل للنظام (3.1). في الواقع، دع c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r , c (0) r+1 , ...,c (0) n يكون حلاً عشوائيًا للنظام المحدد . فهو حل لنظام (3.19). لكن من النظام (3.19) يتم تحديد الكميات c (0) 1 , c (0) 2 ,...,c (0) r بشكل فريد من خلال الكميات c (0) r+1 , ...,c (0) ) ن وبدقة وفقا لصيغ كريمر (3.20). وهكذا مع ص+1 = ج (0) ص+1 , ...، مع ن = ج (0) ن الصيغ (3.20) تعطينا الحل المطروح بالضبط ج (0) 1 ، ج (0) 2 ،...،ج (0) ص ، ج (0) ص+1 , ...،ج (0) ن .
تعليق.إذا كانت الرتبة r للمصفوفات الرئيسية والممتدة للنظام (3.1) تساوي عدد المجهولات n، ففي هذه الحالة تتحول العلاقات (3.20) إلى صيغ

تحديد الحل الفريد للنظام (3.1). وبالتالي فإن النظام (3.1) له حل فريد (أي أنه محدد) بشرط أن تكون الرتبة r لمصفوفاته الرئيسية والممتدة تساوي عدد المجهولات n (وأقل من أو تساوي عدد المعادلات m).
مثال. دعونا نجد جميع حلول النظام الخطي

من السهل التحقق من أن رتبة كل من المصفوفات الرئيسية والممتدة لهذا النظام تساوي اثنين (أي أن هذا النظام متوافق)، ويمكننا أن نفترض أن الصغرى الأساسية M موجودة في الزاوية اليسرى العليا من المصفوفة الرئيسية ، أي. . ولكن بعد ذلك، بتجاهل المعادلتين الأخيرتين والتعيين بشكل تعسفي بالرقم 3 والرقم 4، نحصل على النظام

س 1 - س 2 = 4 - ج 3 + ج 4،

س 1 + س 2 = 8 - 2ج 3 - 3ج 4,

ومنه، بفضل صيغ كرامر، نحصل على القيم

س 1 = ج 1 = 6 - 3/2 ج 3 - ج 4، س 2 = ج 2 = 2 - 1/2 ج 3 - 2 ج 4. (3.22)

إذن أربعة أرقام

(6 - 3/2 ج 3 - ج 4,2 - 1/2 ج 3 - 2 ج 4, ج 3, ج 4) (3.23)

بالنسبة للقيم المعطاة بشكل تعسفي لـ c 3 و c 4 فإنها تشكل حلاً للنظام (3.21)، ويحتوي السطر (3.23) على جميع حلول هذا النظام.

3. خصائص مجموعة الحلول نظام متجانس. دعونا نفكر الآن في نظام متجانس من المعادلات الخطية m مع المجهول n (3.7)، بافتراض، كما هو مذكور أعلاه، أن المصفوفة (3.2) لها رتبة تساوي r، وأن الأساس الثانوي M يقع في الزاوية اليسرى العليا من هذا مصفوفة. نظرًا لأن كل b i يساوي الصفر هذه المرة، فبدلاً من الصيغ (3.20) نحصل على الصيغ التالية:

التعبير عن قيم المجهولات x j = c j (j = 1, 2,..., r) من خلال معاملات المجهولات والقيم المعطاة بشكل تعسفي c r+1 ,...,c n. ولما ثبت في الفقرة السابقة الصيغ (3.24) تحتوي على أي حل للنظام المتجانس (3.7).
دعونا الآن نتأكد من أن المجموعة لجميع حلول النظام المتجانس (3.7) تشكل مساحة خطية.
دع X 1 = (x (1) 1، x (1) 2،...،x (1) n) و X 2 = (x (2) 1، x (2) 2،...،x ( 2) n) هما حلان اعتباطيان للنظام المتجانس (3.7)، و lect هو أي عدد حقيقي. وبما أن كل حل من حلول النظام المتجانس (3.7) هو عنصر من عناصر الفضاء الخطي A n من جميع المجموعات المرتبة من الأعداد n، فإنه يكفي إثبات أن كل من المجموعتين

X 1 + X 2 = (س (1) 1 + س (2) 1،...، س (1) ن + س (2) ن)

× X 1 = (× × (1) 1 ,...,× × (1) ن)

هو أيضا حل للنظام المتجانس (3.7).
دعونا نفكر في أي معادلة للنظام (3.7)، على سبيل المثال المعادلة i، ونستبدل عناصر المجموعات المشار إليها في هذه المعادلة بدلاً من المجهول. باعتبار أن X 1 وX 2 هما حلان لنظام متجانس، سيكون لدينا

وهذا يعني أن المجموعتين X 1 + X 2 و lect X 1 هما حلول للنظام المتجانس (3.7).
لذا فإن مجموعة جميع حلول النظام المتجانس (3.7) تشكل مساحة خطية نرمز لها بالرمز R.
دعونا نجد البعد لهذا الفضاء R ونبني أساسًا فيه.
دعونا نثبت أنه بافتراض أن رتبة مصفوفة النظام المتجانس (3.7) تساوي r، الفضاء الخطي R لجميع حلول النظام المتجانس (3.7) متماثل للمساحة الخطية A ن-ر جميع المجموعات المرتبة من الأعداد (n - r).(تم تقديم المساحة A m في المثال 3، القسم 1، القسم 1، الفصل 2).

دعونا نربط كل حل (c 1 ,...,c r , c r+1 ,...,c n) للنظام المتجانس (3.7) بعنصر (c r+1 ,...,c n) من النظام المتجانس فضاء أ ن-ربما أن الأرقام c r+1 ,...,c n يمكن اختيارها بشكل تعسفي ومع كل اختيار، باستخدام الصيغ (3.24)، فإنها تحدد بشكل فريد حل النظام (3.7)، فإن المراسلات التي أنشأناها هي واحد لواحد. بعد ذلك، نلاحظ أنه إذا كانت العناصر c (1) r+1 ,...,c (1) n و c (2) r+1 ,...,c (2) n من الفضاء أ ن-رتتوافق مع العناصر (ج (1) 1 ,...,ج (1) ص , ج (1) ص+1 ,...,ج (1) ن) و (ج (2) 1 ,... ،c (2) r ، c (2) r+1،...،c (2) n) من الفضاء R، ثم من الصيغ (3.24) يتبع مباشرة أن العنصر (c (1) r+1 + c (2 ) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n) يتوافق مع العنصر (c (1) 1 + c (2) 1 ,...,c (1) r + c (2) r , c (1) r+1 + c (2) r+1 ,...,c (1) n +c (2) n)، والعنصر ( lect c (1) r+1 ,... ,π c (1) n) لأي π حقيقي يقابل العنصر ( lect c (1) 1 ,...,π c (1) r , lect c (1) r+1 , ...،  ج (1 ) ن). وهذا يثبت أن المراسلات التي أنشأناها هي تماثل.
وبالتالي، فإن الفضاء الخطي R لجميع حلول النظام المتجانس (3.7) مع مجهولين n ورتبة المصفوفة الرئيسية التي تساوي r تكون متماثلة للفضاء أ ن-روبالتالي له البعد n - r.
أي مجموعة من الحلول (n - r) المستقلة خطيًا للنظام المتجانس (3.7) تشكل (بحكم النظرية 2.5) أساسًا في الفضاء R لجميع الحلول وتسمى مجموعة الحلول الأساسية للنظام المتجانس (3.7) .
لبناء مجموعة أساسية من الحلول، يمكنك البدء من أي أساس في الفضاء أ ن-ر. مجموعة حلول النظام (3.7) المقابلة لهذا الأساس، بسبب التماثل، ستكون مستقلة خطيًا وبالتالي ستكون مجموعة حلول أساسية.
يتم إيلاء اهتمام خاص لمجموعة الحلول الأساسية للنظام (3.7)، والتي تتوافق مع أبسط أساس e 1 = (1، 0، 0،...، 0)، e 2 = (1، 1، 0،. .., 0), ... , e n-r = (0, 0, 0,..., 1) مسافات أ ن-روتسمى مجموعة الحلول الأساسية الطبيعية للنظام المتجانس (3.7).
في ظل الافتراضات المذكورة أعلاه حول رتبة وموقع الأساس الثانوي، بموجب الصيغ (3.24)، فإن مجموعة الحلول الأساسية العادية للنظام المتجانس (3.7) لها الشكل:

من خلال تعريف الأساس، يمكن تمثيل أي حل X للنظام المتجانس (3.7) في النموذج

X= C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r , (3.26)

حيث C 1، C 2، ...، C n-r هي بعض الثوابت. وبما أن الصيغة (3.26) تحتوي على أي حل للنظام المتجانس (3.7)، فإن هذه الصيغة تعطي الحل العام للنظام المتجانس قيد النظر.
مثال. النظر في نظام متجانس من المعادلات:

الموافق للنظام غير المتجانس (3.21)، الذي تم تحليله في المثال الموجود في نهاية الفقرة السابقة. هناك اكتشفنا أن الرتبة r لمصفوفة هذا النظام تساوي اثنين، واتخذنا القاصر الموجود في الزاوية اليسرى العليا من المصفوفة المحددة كأساس.
بتكرار المنطق الذي تم تنفيذه في نهاية الفقرة السابقة، نحصل بدلا من الصيغ (3.22) على العلاقات

ج 1 = - 3/2 ج 3 - ج 4، ج 2 = - 1/2 ج 3 - 2 ج 4،

صالح للإختيار التعسفي ج 3 و ج 4 . باستخدام هذه العلاقات (بافتراض أولاً c 3 = 1,c 4 = 0، ثم c 3 = 0,c 4 = 1) نحصل على مجموعة أساسية عادية من حلين للنظام (3.27):

X 1 = (-3/2،-1/2،1،0)، X 2 = (-1،-2، 0.1). (3.28)

حيث C 1 و C 2 ثوابت عشوائية.
في ختام هذا القسم، سنقوم بإنشاء علاقة بين حلول النظام الخطي غير المتجانس (3.1) والنظام المتجانس المقابل (3.7) (بنفس معاملات المجهول). دعونا نثبت البيانين التاليين.
1°. مجموع أي حل للنظام غير المتجانس (3.1) مع أي حل للنظام المتجانس المقابل (3.7) هو حل للنظام (3.1).
في الواقع، إذا كان c 1 ,...,c n هو حل للنظام (3.1)، و a d 1 ,...,d n هو حل للنظام المتجانس المقابل (3.7)، إذن، الاستبدال بأي (على سبيل المثال، في i-th ) معادلة النظام (3.1) مكان الأعداد المجهولة c 1 + d 1 ,...,c n + d n نحصل على

Q.E.D.
2°. الفرق بين حلين تعسفيين للنظام غير المتجانس (3.1) هو حل النظام المتجانس المقابل (3.7).
في الواقع، إذا كان c" 1 ,...,c" n و c" 1 ,...,c" n حلين اعتباطيين للنظام (3.1)، إذن، الاستبدال بأي (على سبيل المثال، في i- ث) معادلة النظام (3.7) بدلا من الأعداد المجهولة c" 1 - c" 1 ,...,c" n - c" n نحصل عليها

Q.E.D.
ومن الأقوال المثبتة يتبين أن بعد إيجاد حل واحد للنظام غير المتجانس (3.1) وإضافته مع كل حل للنظام المتجانس المقابل (3.7)، نحصل على جميع حلول النظام غير المتجانس (3.1).
بعبارة أخرى، مجموع الحل الخاص للنظام غير المتجانس (3.1) والحل العام للنظام المتجانس المقابل (3.7) يعطي الحل العام للنظام غير المتجانس (3.1).
كحل خاص للنظام غير المتجانس (3.1)، فمن الطبيعي أن نأخذ هذا الحل (من المفترض، كما هو مذكور أعلاه، أن رتب المصفوفات الرئيسية والممتدة للنظام (3.1) تساوي r وأن القاعدة الأساسية القاصر في الزاوية اليسرى العليا من هذه المصفوفات)

والتي سيتم الحصول عليها إذا قمنا في الصيغ (3.20) بتعيين جميع الأرقام c r+1 ,...,c n مساوية للصفر. وبإضافة هذا الحل الخاص إلى الحل العام (3.26) للنظام المتجانس المقابل، نحصل على التعبير التالي للحل العام للنظام غير المتجانس (3.1):

X= X 0 + C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n-r X n-r . (3.30)

في هذا التعبير، يشير X 0 إلى حل معين (3.29)، C 1 , C 2 , ... , C n-r هي ثوابت عشوائية، و X 1 , X 2 ,... , X n-r هي عناصر من المجموعة الأساسية العادية من الحلول (3.25) المقابلة للنظام المتجانس.
وبالتالي، بالنسبة للنظام غير المتجانس (3.21) الذي تم النظر فيه في نهاية الفقرة السابقة، فإن الحل الخاص بالشكل (3.29) يساوي X 0 = (6،2،0، 0).
وبإضافة هذا الحل الخاص إلى الحل العام (3.28) للنظام المتجانس المقابل (3.27)، نحصل على الحل العام التالي للنظام غير المتجانس (3.21):

X = (6,2,0, 0) + C 1 (-3/2,-1/2,1,0) + C 2 (-1,-2, 0.1). (3.31)

هنا C 1 و C 2 ثوابت عشوائية.
4. ملاحظات ختامية على حل الأنظمة الخطية.طرق حل الأنظمة الخطية المطورة في الفقرات السابقة
يعتمد على الحاجة إلى حساب رتبة المصفوفة وإيجاد أساسها الثانوي. بمجرد العثور على الأساس الثانوي، يأتي الحل إلى تقنية حساب المحددات واستخدام صيغ كريمر.
لحساب رتبة المصفوفة، يمكنك استخدام القاعدة التالية: عند حساب رتبة المصفوفة، ينبغي للمرء أن ينتقل من القاصرين من الرتب الأدنى إلى القاصرين من الرتب العليا؛ علاوة على ذلك، إذا تم بالفعل العثور على قاصر غير صفري من الرتبة k، عندها فقط القاصرين من الرتبة (k + 1) المتاخمين(أي أنها تحتوي على M الصغير داخل نفسها) هذا القاصر هو م؛ إذا كانت جميع الرتب الثانوية المجاورة (k + 1) تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي k(في الواقع، في الحالة المشار إليها، تنتمي جميع صفوف (أعمدة) المصفوفة إلى الهيكل الخطي لصفوفها (أعمدة) k، عند تقاطعها يوجد M صغير، وأبعاد الهيكل الخطي المشار إليه هو يساوي ك).
دعونا نشير أيضًا إلى قاعدة أخرى لحساب رتبة المصفوفة. لاحظ أنه مع الصفوف (الأعمدة) للمصفوفة يمكن للمرء أن يؤديها ثلاث عمليات أولية، والتي لا تغير رتبة هذه المصفوفة: 1) تبديل صفين (أو عمودين)، 2) ضرب صف (أو عمود) بأي عامل غير الصفر، 3) إضافة إلى صف واحد (عمود) من مجموعة خطية تعسفية من الصفوف (الأعمدة) الأخرى (هذه العمليات الثلاث لا تغير ترتيب المصفوفة نظرًا لأن العمليتين 1) و 2) لا تغيران الحد الأقصى لعدد الصفوف (الأعمدة) المستقلة خطيًا للمصفوفة، والعملية 3) لها خاصية أن الامتداد الخطي لجميع الصفوف (الأعمدة) الموجودة قبل إجراء هذه العملية يتزامن مع الغلاف الخطي لجميع الصفوف (الأعمدة) التي تم الحصول عليها بعد إجراء هذه العملية).
سنقول أن المصفوفة ||a ij ||، التي تحتوي على صفوف m وأعمدة n، لها قطريالشكل، إذا كانت جميع عناصره غير a 11، a 22،..، a rr تساوي الصفر، حيث r = min(m, n). من الواضح أن رتبة هذه المصفوفة تساوي r.
دعونا نتأكد من ذلك باستخدام ثلاث عمليات أولية أي مصفوفة

يمكن تخفيضها إلى شكل قطري(مما يسمح لنا بحساب رتبته).

في الواقع، إذا كانت جميع عناصر المصفوفة (3.31) تساوي الصفر، فقد تم بالفعل تحويل هذه المصفوفة إلى شكل قطري. إذا كانت الأم
الأضلاع (3.31) تحتوي على عناصر غير صفرية، فمن خلال إعادة ترتيب صفين وعمودين يمكن التأكد من أن العنصر 11 غير صفري. بعد ضرب الصف الأول من المصفوفة في 11 -1، نحول العنصر 11 إلى واحد. طرح المزيد من عمود j-ro للمصفوفة (لـ j = 2، 3،...، n) ضرب العمود الأول بـ i1، ثم الطرح من الخط الأول(لأن i = 2, 3,..., n) ضرب الصف الأول في i1، نحصل بدلاً من (3.31) على مصفوفة بالشكل التالي:

من خلال تنفيذ العمليات التي وصفناها بالفعل باستخدام مصفوفة مأخوذة في إطار، والاستمرار في التصرف بطريقة مماثلة، بعد عدد محدود من الخطوات، سنحصل على مصفوفة قطرية.
يمكن أن تؤدي طرق حل الأنظمة الخطية الموضحة في الفقرات السابقة، والتي تستخدم في النهاية جهاز صيغ كرامر، إلى أخطاء كبيرة في حالة إعطاء قيم معاملات المعادلات والحدود الحرة بشكل تقريبي أو عندما تكون هذه القيم يتم تقريبها أثناء عملية الحساب.
بادئ ذي بدء، ينطبق هذا على الحالة التي تكون فيها المصفوفة المقابلة للمحدد الرئيسي (أو الأساس الثانوي). مشروطة بشكل سيء(أي عندما تتوافق التغييرات "الصغيرة" في عناصر هذه المصفوفة مع التغييرات "الكبيرة" في عناصر المصفوفة العكسية). وبطبيعة الحال، في هذه الحالة سيكون الحل للنظام الخطي غير مستقر(أي أن التغييرات "الصغيرة" في قيم معاملات المعادلات والمصطلحات الحرة ستتوافق مع التغييرات "الكبيرة" في الحل).
تؤدي الظروف المذكورة إلى الحاجة إلى تطوير خوارزميات نظرية أخرى (تختلف عن صيغ كرامر) لإيجاد حل، وطرق عددية لحل الأنظمة الخطية.
في §4 الفصل 4 سوف نتعرف عليه طريقة التنظيم بواسطة A.N. تيخونوفاالعثور على ما يسمى طبيعي(أي الأقرب إلى الأصل) حل النظام الخطي.
سيقدم الفصل السادس معلومات أساسية حول ما يسمى الأساليب التكراريةحلول الأنظمة الخطية التي تسمح بحل هذه الأنظمة باستخدام التقريبات المتعاقبة للمجاهول.