من 11 جميع العمليات مع الكسور. العمليات على الكسور العادية

496. يجد X، لو:

497. 1) إذا أضفت 10 1/2 إلى 3/10 من عدد غير معروف، فستحصل على 13 1/2. العثور على الرقم المجهول.

2) إذا طرحت 10 1/2 من 7/10 من عدد غير معروف، تحصل على 15 2/5. العثور على الرقم المجهول.

498 *. إذا قمت بطرح 10 من 3/4 من عدد غير معروف وضربت الفرق الناتج في 5، فستحصل على 100. ابحث عن الرقم.

499 *. إذا قمت بزيادة عدد غير معروف بنسبة 2/3، تحصل على 60. ما هذا الرقم؟

500 *. إذا أضفت نفس المبلغ إلى الرقم المجهول، وكذلك 20 1/3، فستحصل على 105 2/5. العثور على الرقم المجهول.

501. 1) يبلغ محصول البطاطس بزراعة العنقود المربع متوسط ​​150 سنتاً للهكتار الواحد، وبالزراعة التقليدية يصل إلى 3/5 هذه الكمية. ما هي كمية البطاطس التي يمكن حصادها من مساحة 15 هكتاراً إذا تمت زراعة البطاطس بطريقة العنقودية المربعة؟

2) أنتج عامل ذو خبرة 18 جزءًا في ساعة واحدة، وأنتج عامل عديم الخبرة ثلثي هذه الكمية. كم عدد الأجزاء الإضافية التي يمكن للعامل ذي الخبرة إنتاجها في يوم مكون من 7 ساعات؟

502. 1) الرواد مجتمعون في الداخل ثلاثة ايام 56 كجم من البذور المتنوعة. في اليوم الأول تم جمع 3/14 من الكمية الإجمالية، وفي الثاني مرة ونصف، وفي اليوم الثالث بقية الحبوب. كم كيلو من البذور جمعها الرواد في اليوم الثالث؟

2) عند طحن القمح كانت النتيجة: دقيق 4/5 من إجمالي كمية القمح والسميد - أقل من الدقيق 40 مرة والباقي نخالة. ما هي كمية الدقيق والسميد والنخالة التي يتم إنتاجها بشكل منفصل عند طحن 3 أطنان من القمح؟

503. 1) ثلاث جراجات تتسع لـ 460 سيارة. عدد السيارات التي تتسع للجراج الأول هو 3/4 عدد السيارات التي تتسع للجراج الثاني، والجراج الثالث به 1 1/2 ضعف عدد السيارات الموجودة في الأول. كم عدد السيارات المناسبة في كل مرآب؟

2) مصنع يضم ثلاث ورش يوظف 6000 عامل. وفي الورشة الثانية عدد العمال أقل بمقدار 1/2 مرة من الأولى، وعدد العمال في الورشة الثالثة 5/6 من عدد العمال في الورشة الثانية. كم عدد العمال في كل ورشة؟

504. 1) أولا 2/5، ثم تم صب 1/3 من إجمالي الكيروسين من الخزان بالكيروسين، وبعد ذلك بقي 8 طن من الكيروسين في الخزان. ما كمية الكيروسين التي كانت موجودة في الخزان في البداية؟

2) تسابق راكبو الدراجات لمدة ثلاثة أيام. في اليوم الأول قاموا بتغطية 4/15 من الرحلة بأكملها، وفي اليوم الثاني - 2/5، وفي اليوم الثالث الـ 100 كيلومتر المتبقية. ما المسافة التي قطعها راكبو الدراجات في ثلاثة أيام؟

505. 1) شقت كاسحة الجليد طريقها عبر الحقل الجليدي لمدة ثلاثة أيام. في اليوم الأول مشى نصف المسافة بأكملها، وفي اليوم الثاني 3/5 المسافة المتبقية، وفي اليوم الثالث 24 كيلومتراً المتبقية. أوجد طول المسار الذي قطعته كاسحة الجليد في ثلاثة أيام.

2) قامت ثلاث مجموعات من أطفال المدارس بزراعة الأشجار لتخضير القرية. قامت المفرزة الأولى بزراعة 7/20 من مجموع الأشجار، والثانية 5/8 من الأشجار المتبقية، والثالثة 195 شجرة متبقية. ما عدد الأشجار التي زرعتها الفرق الثلاثة إجمالاً؟

506. 1) حصاد القمح من قطعة أرض واحدة في ثلاثة أيام. في اليوم الأول تم الحصاد من 5/18 من كامل مساحة الأرض، وفي اليوم الثاني من 7/13 من المساحة المتبقية، وفي اليوم الثالث من المساحة المتبقية 30 1/2 هكتار. وفي المتوسط، تم حصاد 20 سنتا من القمح من كل هكتار. ما هي كمية القمح التي تم حصادها في المنطقة بأكملها؟

2) في اليوم الأول، قطع المشاركون في الرالي 3/11 من المسار بأكمله، وفي اليوم الثاني 7/20 من المسار المتبقي، وفي اليوم الثالث 5/13 من الباقي الجديد، وفي اليوم الرابع ما تبقى من المسار. 320 كم. ما هو طول مسار المسيرة؟

507. 1) في اليوم الأول قطعت السيارة 3/8 من كامل المسافة، وفي اليوم الثاني 15/17 مما قطعته في الأول، وفي اليوم الثالث 200 كيلومتر المتبقية. ما مقدار استهلاك البنزين إذا استهلكت السيارة 1 3/5 كجم من البنزين لمسافة 10 كيلومترات؟

2) تتكون المدينة من أربع مناطق. و 4/13 من جميع سكان المدينة يسكنون في المنطقة الأولى، 5/6 من سكان المنطقة الأولى يسكنون في الثانية، 4/11 من سكان المنطقة الأولى يسكنون في الثالثة؛ منطقتان مجتمعتان، ويعيش في الدائرة الرابعة 18 ألف نسمة. ما هي كمية الخبز التي يحتاجها جميع سكان المدينة لمدة 3 أيام، إذا كان شخص واحد يستهلك في المتوسط ​​500 جرام يوميًا؟

508. 1) مشى السائح في اليوم الأول 10/31 من الرحلة بأكملها، وفي اليوم الثاني 9/10 مما مشاه في اليوم الأول، وفي اليوم الثالث بقية الطريق، وفي اليوم الثالث مشى 12 كم أكثر من اليوم الثاني. ما عدد الكيلومترات التي قطعها السائح في كل يوم من الأيام الثلاثة؟

2) قطعت السيارة الطريق بالكامل من المدينة أ إلى المدينة ب في ثلاثة أيام. في اليوم الأول قطعت السيارة 7/20 من المسافة الكاملة، وفي اليوم الثاني 8/13 من المسافة المتبقية، وفي اليوم الثالث قطعت السيارة مسافة أقل بـ 72 كم من اليوم الأول. ما هي المسافة بين المدينتين A و B؟

509. 1) قامت اللجنة التنفيذية بتخصيص أرض لعمال ثلاثة مصانع لقطع الحدائق. تم تخصيص المصنع الأول بنسبة 9/25 من إجمالي عدد القطع، والمصنع الثاني 5/9 من عدد القطع المخصصة للأول، والثالث - باقي القطع. كم إجمالي قطعة الأرض المخصصة لعمال ثلاثة مصانع، إذا خصص للمصنع الأول 50 قطعة أرض أقل من المصنع الثالث؟

2) قامت الطائرة بتسليم نوبة عمال الشتاء إلى المحطة القطبية من موسكو في ثلاثة أيام. في اليوم الأول، طار 2/5 من المسافة بأكملها، في الثانية - 5/6 من المسافة التي قطعها في اليوم الأول، وفي اليوم الثالث طار 500 كيلومتر أقل من اليوم الثاني. ما المسافة التي قطعتها الطائرة في ثلاثة أيام؟

510. 1) يحتوي المصنع على ثلاث ورش. ويبلغ عدد العاملين في الورشة الأولى 2/5 إجمالي العاملين في المصنع؛ وفي الورشة الثانية عدد العمال أقل بمقدار 1/2 مرة من الأولى، وفي الورشة الثالثة عدد العمال أكثر من الثانية بمقدار 100 عامل. كم عدد العمال في المصنع؟

2) تضم المزرعة الجماعية سكان ثلاث قرى مجاورة. عدد الأسر في القرية الأولى هو 3/10 من جميع الأسر في المزرعة الجماعية؛ في القرية الثانية عدد العائلات أكبر بمقدار 1/2 مرة من الأولى، وفي القرية الثالثة عدد العائلات أقل بـ 420 عائلة من الثانية. كم عدد العائلات الموجودة في المزرعة الجماعية؟

511. 1) استهلكت الشركة ثلث مخزونها من المواد الخام في الأسبوع الأول وثلث الباقي في الأسبوع الثاني. ما هي كمية المواد الخام المتبقية في الارتيل إذا كان استهلاك المواد الخام في الأسبوع الأول يزيد بمقدار 3/5 طن عن الأسبوع الثاني؟

2) من الفحم المستورد يصرف 1/6 منه لتدفئة المنزل في الشهر الأول، و3/8 الباقي في الشهر الثاني. ما مقدار الفحم المتبقي لتدفئة المنزل إذا تم استخدام 1 3/4 في الشهر الثاني أكثر من الشهر الأول؟

512. يتم تخصيص 3/5 من إجمالي أراضي المزرعة الجماعية لزراعة الحبوب، و13/36 من الباقي تشغلها حدائق الخضروات والمروج، وبقية الأرض غابات، والمساحة المزروعة في المزرعة الجماعية هي 217 هكتارا المزيد من المساحةالغابات، ثلث الأراضي المخصصة لمحاصيل الحبوب مزروعة بالجاودار، والباقي بالقمح. كم هكتار من الأراضي زرعت المزرعة الجماعية بالقمح وكم هكتار بالجاودار؟

513. 1) يبلغ طول خط الترام 14 3/8 كم. على طول هذا الطريق، يتوقف الترام في 18 محطة، ويقضي في المتوسط ​​ما يصل إلى 1 1/6 دقيقة لكل محطة. يبلغ متوسط ​​سرعة الترام على طول الطريق بأكمله 12 1/2 كم في الساعة. كم من الوقت يستغرق الترام لإكمال رحلة واحدة؟

2) خط الحافلات 16 كم. على طول هذا الطريق، تتوقف الحافلة في 36 محطة، مدة كل منها 3/4 دقيقة. في المتوسط ​​لكل منهما. متوسط ​​سرعة الحافلة 30 كيلومترا في الساعة. كم من الوقت تستغرق الحافلة لطريق واحد؟

514*. 1) إنها الساعة السادسة الآن. الأمسيات. ما هو الجزء المتبقي من اليوم من الماضي وما هو الجزء المتبقي من اليوم؟

2) تقطع سفينة بخارية المسافة بين مدينتين مع التيار في 3 أيام. والعودة نفس المسافة في 4 أيام. كم يومًا ستطفو الطوافات في اتجاه مجرى النهر من مدينة إلى أخرى؟

515. 1) كم عدد الألواح التي ستستخدم في وضع الأرضية في غرفة طولها 6 2/3 م، وعرضها 5 1/4 م، إذا كان طول كل لوح 6 2/3 م، وعرضه 3/ 80 من الطول؟

2) منصة مستطيلة طولها 45 1/2 م وعرضها 5/13 من طولها. يحد هذه المنطقة مسار عرضه 4/5 م أوجد مساحة المسار.

516. أوجد المتوسط الأرقام الحسابية:

517. 1) المتوسط ​​الحسابي لعددين هو 6 1/6. أحد الأرقام هو 3 3/4. ابحث عن رقم آخر.

2) المتوسط ​​الحسابي لعددين هو 14 1/4. أحد هذه الأرقام هو 15 5/6. ابحث عن رقم آخر.

518. 1) بقي قطار الشحن على الطريق لمدة ثلاث ساعات. قطع في الساعة الأولى 36 1/2 كم، وفي الثانية 40 كم، وفي الثالثة 39 3/4 كم. أوجد السرعة المتوسطة للقطار.

2) قطعت السيارة مسافة 81 1/2 كيلومترًا في أول ساعتين، و95 كيلومترًا في الساعتين ونصف الساعة التاليتين. كم عدد الكيلومترات التي قطعها في المتوسط ​​في الساعة؟

519. 1) أنجز سائق الجرار مهمة حرث الأرض في ثلاثة أيام. في اليوم الأول حرث 12 1/2 هكتار، في اليوم الثاني 15 3/4 هكتار وفي اليوم الثالث 14 1/2 هكتار. في المتوسط، ما هو عدد الهكتارات من الأراضي التي يحرثها سائق الجرار يوميًا؟

2) كانت مجموعة من تلاميذ المدارس تقوم برحلة سياحية مدتها ثلاثة أيام على الطريق لمدة 6 ساعات ونصف في اليوم الأول و 7 ساعات في اليوم الثاني. وفي اليوم الثالث - 4 2/3 ساعات. ما هو عدد الساعات التي يسافر فيها تلاميذ المدارس يوميًا في المتوسط؟

520. 1) تعيش ثلاث عائلات في المنزل. الأسرة الأولى لديها 3 لمبات لإنارة الشقة والثانية لديها 4 والثالثة 5 لمبات. ما هو المبلغ الذي يجب أن تدفعه كل أسرة مقابل الكهرباء إذا كانت جميع المصابيح متماثلة، وكان إجمالي فاتورة الكهرباء (للمنزل بأكمله) 7 1/5 روبل؟

2) كان عامل تلميع يقوم بتلميع الأرضيات في شقة تسكنها ثلاث عائلات. كانت مساحة المعيشة للعائلة الأولى 36 1/2 متر مربع. م والثاني هو 24 1/2 متر مربع. م والثالث - 43 متر مربع. م تم دفع 2 روبل لكل العمل. 08 كوب. كم دفعت كل عائلة؟

521. 1) في قطعة أرض الحديقة، تم جمع البطاطس من 50 شجيرة بمعدل 1/10 كجم لكل شجيرة، ومن 70 شجيرة بمعدل 4/5 كجم لكل شجيرة، ومن 80 شجيرة بمعدل 9/10 كجم لكل شجيرة. ما هو عدد كيلوغرامات البطاطس التي يتم حصادها في المتوسط ​​من كل شجيرة؟

2) حصل الطاقم الميداني على مساحة 300 هكتار على محصول قدره 20 1/2 قنطار من القمح الشتوي لكل هكتار، ومن 80 هكتارًا إلى 24 قنطارًا لكل هكتار، ومن 20 هكتارًا - 28 1/2 قنطارًا لكل هكتار. 1 هكتار. ما هو متوسط ​​العائد في لواء بمساحة 1 هكتار؟

522. 1) مجموع رقمين هو 7 1/2. رقم واحد أكبر بمقدار 4 4/5 من الآخر. العثور على هذه الأرقام.

2) إذا جمعنا الأرقام التي تعبر عن عرض مضيق تتار وكيرش معًا، نحصل على 11 7/10 كم. مضيق تتار أوسع بمقدار 3 1/10 كم من مضيق كيرتش. ما هو عرض كل مضيق؟

523. 1) مجموع ثلاثة أرقام هو 35 2 / 3. الرقم الأول أكبر من الثاني بمقدار 5 1/3 وأكبر من الثالث بمقدار 3 5/6. العثور على هذه الأرقام.

2) الجزر أرض جديدةوسخالين وسيفيرنايا زيمليا يشغلان معًا مساحة 196 7/10 ألف متر مربع. كم. مساحة نوفايا زيمليا 44 1/10 ألف متر مربع. كم مساحة أكبر سيفيرنايا زيملياو 5 1/5 ألف قدم مربع. كم أكبر من مساحة سخالين. ما هي مساحة كل جزيرة من الجزر المذكورة؟

524. 1) تتكون الشقة من ثلاث غرف. مساحة الغرفة الأولى 24 3/8 متر مربع. م و هي 13/36 من كامل مساحة الشقة . مساحة الغرفة الثانية 8 1/8 متر مربع. م أكبر من مساحة الثالثة. ما هي مساحة الغرفة الثانية؟

2) كان راكب دراجة أثناء المنافسة التي استمرت ثلاثة أيام في اليوم الأول على الطريق لمدة 3 1/4 ساعة، وهو ما يمثل 13/43 من إجمالي وقت السفر. وفي اليوم الثاني ركب ساعة ونصف أكثر من اليوم الثالث. ما عدد الساعات التي قطعها الدراج في اليوم الثاني من المسابقة؟

525. ثلاث قطع من الحديد تزن معًا 17 1/4 كجم. إذا انخفض وزن القطعة الأولى بمقدار 1 1/2 كجم، ووزن الثانية بمقدار 2 1/4 كجم، فإن القطع الثلاث سيكون لها نفس الوزن. كم كان وزن كل قطعة من الحديد؟

526. 1) مجموع رقمين هو 15 1/5. إذا تم تقليل الرقم الأول بمقدار 3 1/10، وزيادة الثاني بنسبة 3 1/10، فإن هذه الأرقام ستكون متساوية. ما هو كل رقم يساوي؟

2) كان هناك 38 1/4 كجم من الحبوب في صندوقين. إذا قمت بصب 4 3/4 كجم من الحبوب من صندوق إلى آخر، فستكون هناك كميات متساوية من الحبوب في كلا الصندوقين. ما مقدار الحبوب الموجودة في كل صندوق؟

527 . 1) مجموع رقمين هو 17 17 / 30. إذا طرحت 5 1/2 من الرقم الأول وأضفته إلى الثاني، فسيظل الأول أكبر من الثاني بمقدار 2 17/30. ابحث عن كلا الرقمين.

2) يوجد 24 1/4 كجم من التفاح في صندوقين. إذا قمت بنقل 3 1/2 كجم من الصندوق الأول إلى الثاني، فسيظل في الأول 3/5 كجم من التفاح أكثر من الثاني. ما عدد كيلوجرامات التفاح الموجودة في كل صندوق؟

528 *. 1) مجموع رقمين هو 8 11/14 والفرق بينهما 2 3/7. العثور على هذه الأرقام.

2) تحرك القارب على طول النهر بسرعة 15 1/2 كم في الساعة، وضد التيار بسرعة 8 1/4 كم في الساعة. ما هي سرعة تدفق النهر؟

529. 1) يوجد 110 سيارة في جراجين، وفي أحدهما أكثر بـ 1/5 مرة من الآخر. كم عدد السيارات في كل مرآب؟

2) مساحة المعيشة لشقة مكونة من غرفتين 47 1/2 متر مربع. م مساحة إحدى الغرفتين 8/11 من مساحة الأخرى. أوجد مساحة كل غرفة.

530. 1) سبيكة مكونة من النحاس والفضة تزن 330 جراماً، ووزن النحاس في هذه السبيكة هو 5/28 من وزن الفضة. ما مقدار الفضة وما مقدار النحاس الموجود في السبيكة؟

2) مجموع رقمين هو 6 3/4، وحاصل القسمة هو 3 1/2. العثور على هذه الأرقام.

531. مجموع ثلاثة أرقام هو 22 1/2. الرقم الثاني هو 3 1/2 مرة، والثالث هو 2 1/4 مرة أكثر من الأول. العثور على هذه الأرقام.

532. 1) الفرق بين رقمين هو 7؛ حاصل قسمة عدد أكبر على عدد أصغر هو 5 2/3. العثور على هذه الأرقام.

2) الفرق بين رقمين هو 29 3/8، ونسبة مضاعفاتهما هي 8 5/6. العثور على هذه الأرقام.

533. في الفصل يكون عدد الطلاب الغائبين 3/13 من عدد الطلاب الحاضرين. كم عدد الطلاب في الفصل وفقًا للقائمة إذا كان عدد الحاضرين أكثر من الغائبين بـ 20 شخصًا؟

534. 1) الفرق بين رقمين هو 3 1/5. رقم واحد هو 5/7 من آخر. العثور على هذه الأرقام.

2) أن يكون الأب أكبر من ابنه بـ 24 سنة. عدد سنوات الابن يساوي 5/13 من سنوات الأب. كم عمر الأب وكم عمر الابن؟

535. مقام الكسر أكبر بـ 11 وحدة من بسطه. ما قيمة الكسر إذا كان مقامه 3 3/4 أضعاف البسط؟

رقم 536 - 537 شفويا.

536. 1) الرقم الأول هو 1/2 من الثاني. كم مرة يكون الرقم الثاني أكبر من الأول؟

2) الرقم الأول هو 3/2 من الثاني. أي جزء من الرقم الأول هو الرقم الثاني؟

537. 1) 1/2 من الرقم الأول يساوي 1/3 من الرقم الثاني. أي جزء من الرقم الأول هو الرقم الثاني؟

2) 2/3 من الرقم الأول يساوي 3/4 من الرقم الثاني. أي جزء من الرقم الأول هو الرقم الثاني؟ أي جزء من الرقم الثاني هو الأول؟

538. 1) مجموع رقمين هو 16. ابحث عن هذه الأرقام إذا كان 1/3 من الرقم الثاني يساوي 1/5 من الأول.

2) مجموع رقمين هو 38. أوجد هذه الأرقام إذا كان 2/3 من الرقم الأول يساوي 3/5 من الثاني.

539 *. 1) قام صبيان بجمع 100 فطر معًا. 3/8 عدد الفطر الذي جمعه الصبي الأول يساوي عدديًا 1/4 عدد الفطر الذي جمعه الصبي الثاني. كم عدد الفطر الذي جمعه كل ولد؟

2) توظف المؤسسة 27 شخصا. كم عدد الرجال الذين يعملون وكم عدد النساء العاملات إذا كان 2/5 جميع الرجال يساوي 3/5 جميع النساء؟

540 *. اشترى ثلاثة أولاد كرة طائرة. تحديد مساهمة كل ولد، علماً أن نصف مساهمة الولد الأول تساوي ثلث مساهمة الثاني، أو ربع مساهمة الثالث، وأن مساهمة الثالث الصبي هو 64 كوبيل أكثر من مساهمة الأول.

541 *. 1) أحد الأرقام يزيد عن الآخر بـ 6. ابحث عن هذه الأرقام إذا كان 2/5 أحد الرقمين يساوي 2/3 من الرقم الآخر.

2) الفرق بين رقمين هو 35. أوجد هذه الأرقام إذا كان 1/3 الرقم الأول يساوي 3/4 الرقم الثاني.

542. 1) يمكن للفريق الأول إنجاز بعض الأعمال في 36 يومًا، والثاني في 45 يومًا. في كم يومًا سيكمل الفريقان، اللذان يعملان معًا، هذه المهمة؟

2) يقطع قطار الركاب المسافة بين مدينتين في 10 ساعات، ويقطع قطار الشحن هذه المسافة في 15 ساعة. غادر كلا القطارين هذه المدن في نفس الوقت باتجاه بعضهما البعض. بعد كم ساعة سيجتمعون؟

543. 1) يقطع القطار السريع المسافة بين مدينتين في 6 1/4 ساعات، وقطار الركاب في 7 1/2 ساعات. بعد كم ساعة سيلتقي هذان القطاران إذا غادرا المدينتين في نفس الوقت باتجاه بعضهما البعض؟ (تقريب الإجابة لأقرب ساعة واحدة).

2) غادر راكبا دراجة نارية في وقت واحد من مدينتين باتجاه بعضهما البعض. يمكن لسائق دراجة نارية أن يقطع المسافة بأكملها بين هذه المدن في 6 ساعات، وآخر في 5 ساعات. كم ساعة بعد المغادرة سيجتمع سائقو الدراجات النارية؟ (تقريب الإجابة لأقرب ساعة واحدة).

544. 1) يمكن لثلاث مركبات ذات قدرة حمل مختلفة نقل بعض البضائع، وتعمل بشكل منفصل: الأولى في 10 ساعات، والثانية في 12 ساعة. والثالثة في 15 ساعة، في كم ساعة يمكنهم نقل نفس الحمولة والعمل معًا؟

2) يغادر قطاران محطتين في وقت واحد باتجاه بعضهما البعض: يقطع القطار الأول المسافة بين هاتين المحطتين في 12 1/2 ساعة، والثاني في 18 3/4 ساعة. كم ساعة بعد المغادرة ستلتقي القطارات؟

545. 1) يتم توصيل حنفيتين بحوض الاستحمام. من خلال أحدهما يمكن ملء الحمام خلال 12 دقيقة، ومن خلال الآخر بشكل أسرع بمعدل مرة ونصف. كم دقيقة سيستغرق ملء 5/6 حوض الاستحمام بالكامل إذا قمت بفتح الصنبورين في وقت واحد؟

2) يجب على اثنين من الطابعين إعادة كتابة المخطوطة. يمكن للسائق الأول إكمال هذا العمل في 3 1/3 أيام، والثاني 1 1/2 مرة أسرع. كم عدد الأيام التي سيستغرقها كلا الكاتبين لإكمال المهمة إذا كانا يعملان في وقت واحد؟

546. 1) يتم ملء المسبح بالأنبوب الأول خلال 5 ساعات، ومن خلال الأنبوب الثاني يمكن تفريغه خلال 6 ساعات، وبعد كم ساعة سيتم ملء المسبح بالكامل إذا تم فتح الأنبوبين في نفس الوقت؟

ملحوظة. خلال ساعة يمتلئ المسبح إلى (1/5 - 1/6 من سعته).

2) قام جراران بحرث الحقل في 6 ساعات. يستطيع الجرار الأول، الذي يعمل بمفرده، أن يحرث هذا الحقل في 15 ساعة. كم ساعة سيستغرق الجرار الثاني، الذي يعمل بمفرده، لحرث هذا الحقل؟

547 *. يغادر قطاران محطتين في وقت واحد باتجاه بعضهما البعض ويلتقيان بعد 18 ساعة. بعد إطلاق سراحه. ما المدة التي يستغرقها القطار الثاني ليقطع المسافة بين المحطات إذا كان القطار الأول يغطي هذه المسافة في يوم واحد و21 ساعة؟

548 *. المسبح مملوء بأنبوبين. أولاً فتحوا الأنبوب الأول، وبعد 3 3/4 ساعات، عندما امتلأ نصف البركة، فتحوا الأنبوب الثاني. وبعد ساعتين ونصف من العمل معًا، امتلأ حوض السباحة. حدد سعة حوض السباحة إذا تم سكب 200 دلو من الماء في الساعة عبر الأنبوب الثاني.

549. 1) غادر قطار البريد السريع لينينغراد متجهاً إلى موسكو ويقطع مسافة كيلومتر واحد في 3/4 دقائق. بعد نصف ساعة من مغادرة هذا القطار لموسكو، غادر قطار سريع موسكو متجهًا إلى لينينغراد، وكانت سرعته تساوي 3/4 سرعة القطار السريع. في أي مسافة ستكون القطارات من بعضها البعض بعد ساعتين ونصف من مغادرة قطار البريد السريع، إذا كانت المسافة بين موسكو ولينينغراد 650 كم؟

2) من المزرعة الجماعية إلى المدينة 24 كم. تغادر شاحنة المزرعة الجماعية وتقطع مسافة كيلومتر واحد في دقيقتين ونصف. بعد 15 دقيقة. بعد أن غادرت هذه السيارة المدينة، توجه راكب دراجة إلى المزرعة الجماعية بسرعة تساوي نصف سرعة الشاحنة. كم من الوقت بعد المغادرة سيلتقي الدراج بالشاحنة؟

550. 1) خرج أحد المشاة من إحدى القرى. وبعد مرور أربع ساعات ونصف على مغادرة المشاة، سار راكب دراجة في الاتجاه نفسه، وكانت سرعته تساوي ضعفين ونصف سرعة المشاة. بعد كم ساعة من مغادرة المشاة سيتجاوزه راكب الدراجة؟

2) يقطع قطار سريع مسافة 187 ½ km في 3 ساعات، ويقطع قطار الشحن مسافة 288 km في 6 ساعات. بعد 7 1/4 ساعة من مغادرة قطار الشحن، تغادر سيارة الإسعاف في نفس الاتجاه. كم من الوقت سيستغرق القطار السريع للحاق بقطار الشحن؟

551. 1) من مزرعتين جماعيتين يمر عبرهما الطريق المؤدي إلى المركز الإقليمي، انطلق اثنان من المزارعين الجماعيين إلى المنطقة في نفس الوقت على ظهور الخيل. سافر الأول منهما بسرعة 8 3/4 كيلومتر في الساعة، والثاني 1 1/7 مرة أكثر من الأول. تمكن المزارع الجماعي الثاني من اللحاق بالأول بعد 3 4/5 ساعات. تحديد المسافة بين المزارع الجماعية.

2) بعد 26 1/3 ساعة من انطلاق قطار موسكو – فلاديفوستوك الذي كان متوسط ​​سرعته 60 كيلومترا في الساعة أقلعت طائرة من طراز TU-104 في نفس الاتجاه بسرعة 14 1/6 ضعف السرعة من القطار. كم ساعة بعد المغادرة ستلحق الطائرة بالقطار؟

552. 1) المسافة بين المدن الواقعة على طول النهر 264 كم. قطعت السفينة البخارية هذه المسافة في اتجاه مجرى النهر في 18 ساعة، وقضت 1/12 من هذا الوقت في التوقف. سرعة النهر 1 1/2 كم في الساعة. ما المدة التي تستغرقها السفينة البخارية لتقطع مسافة 87 كيلومترًا دون التوقف في المياه الساكنة؟

2) قطع قارب بمحرك مسافة 207 كيلومترًا على طول النهر في 13 ساعة ونصف، وقضى 1/9 من هذا الوقت في التوقف. سرعة النهر 1 3/4 كم في الساعة. ما عدد الكيلومترات التي يستطيع هذا القارب قطعها في المياه الساكنة خلال ساعتين ونصف؟

553. وقطع القارب مسافة 52 كيلومترا عبر الخزان دون توقف خلال 3 ساعات و15 دقيقة. علاوة على ذلك، يسير هذا القارب على طول النهر عكس التيار، الذي تبلغ سرعته 1 3/4 كم في الساعة، وقطع 28 1/2 كم في 2 1/4 ساعة، مما أدى إلى توقف 3 لمدة متساوية. كم دقيقة انتظر القارب عند كل محطة؟

554. من لينينغراد إلى كرونستادت الساعة 12 ظهرًا. غادرت الباخرة بعد الظهر وقطعت المسافة بأكملها بين هذه المدن في ساعة ونصف. وفي الطريق التقى بسفينة أخرى غادرت كرونشتاد متوجهة إلى لينينغراد الساعة 12:18 ظهرًا. والمشي بسرعة 1 1/4 أضعاف السرعة الأولى. في أي وقت التقت السفينتان؟

555. كان على القطار أن يقطع مسافة 630 كيلومترًا في 14 ساعة. وبعد أن قطع ثلثي هذه المسافة، تم احتجازه لمدة ساعة و10 دقائق. وبأي سرعة يجب أن يواصل رحلته حتى يصل إلى وجهته دون تأخير؟

556. الساعة 4:20 صباحًا في الصباح، غادر قطار شحن كييف متوجهاً إلى أوديسا بمتوسط ​​سرعة 31.5 كم في الساعة. وبعد مرور بعض الوقت، خرج قطار بريد لمقابلته من أوديسا، وكانت سرعته أعلى بمقدار 117/39 مرة من سرعة قطار الشحن، والتقى بقطار الشحن بعد 6 ساعات ونصف من مغادرته. في أي وقت غادر القطار البريدي أوديسا إذا كانت المسافة بين كييف وأوديسا 663 كم؟

557*. الساعة تظهر الظهر. كم من الوقت سيستغرق عقرب الساعات والدقائق ليتزامن؟

558. 1) يحتوي المصنع على ثلاث ورش. عدد العمال في الورشة الأولى هو 9/20 من جميع عمال المصنع، وفي الورشة الثانية عدد العمال أقل من الورشة الأولى بمقدار 1/2 مرة، وفي الورشة الثالثة عدد العمال أقل من في الورشة 300 عامل. ثانية. كم عدد العمال في المصنع؟

2) توجد في المدينة ثلاث مدارس ثانوية. ويبلغ عدد الطلاب في المدرسة الأولى 3/10 من إجمالي الطلاب في هذه المدارس الثلاث؛ في المدرسة الثانية عدد الطلاب أكبر بمقدار 1/2 مرة من المدرسة الأولى، وفي المدرسة الثالثة عدد الطلاب أقل بـ 420 طالبًا من المدرسة الثانية. كم عدد الطلاب في المدارس الثلاث؟

559. 1) كان هناك عاملين يعملان في نفس المنطقة. بعد أن حصد المجمع الأول 9/16 من قطعة الأرض بأكملها، والثاني 3/8 من نفس قطعة الأرض، اتضح أن المجمع الأول حصد 97 1/2 هكتارًا أكثر من الثانية. في المتوسط، تم درس 32 1/2 قنطار من الحبوب من كل هكتار. كم عدد سنتات الحبوب التي قام كل منها بدمج درس المشغل؟

2) اشترى شقيقان كاميرا. أحدهما كان لديه 5/8، والثاني 4/7 من تكلفة الكاميرا، والأول كان بقيمة 2 روبل. 25 كوبيل أكثر من الثانية. دفع الجميع نصف تكلفة الجهاز. كم من المال بقي للجميع؟

560. 1) تغادر سيارة ركاب المدينة (أ) إلى المدينة (ب) المسافة بينهما 215 كم بسرعة 50 كم في الساعة. وفي الوقت نفسه، غادرت شاحنة المدينة B إلى المدينة A. ما عدد الكيلومترات التي قطعتها سيارة الركاب قبل أن تلتقي بالشاحنة، إذا كانت سرعة الشاحنة في الساعة تساوي 18/25 سرعة سيارة الركاب؟

2) بين المدينتين أ و ب 210 كم. غادرت سيارة ركاب المدينة A إلى المدينة B. وفي الوقت نفسه، غادرت شاحنة المدينة B إلى المدينة A. ما عدد الكيلومترات التي قطعتها الشاحنة قبل أن تلتقي بسيارة الركاب، إذا كانت سيارة الركاب تسير بسرعة 48 كيلومترًا في الساعة، وكانت سرعة الشاحنة في الساعة 3/4 من سرعة سيارة الركاب؟

561. المزرعة الجماعية تحصد القمح والجاودار. تمت زراعة 20 هكتارًا بالقمح أكثر من زراعة الجاودار. بلغ إجمالي محصول الجاودار 5/6 من إجمالي محصول القمح بإنتاجية قدرها 20 سنتًا لكل هكتار لكل من القمح والجاودار. باعت المزرعة الجماعية 7/11 من إجمالي محصول القمح والجاودار للدولة، وتركت بقية الحبوب لتلبية احتياجاتها. كم عدد الرحلات التي احتاجت الشاحنات ذات الطنين إلى القيام بها لإزالة الخبز المباع للدولة؟

562. تم إحضار دقيق الجاودار والقمح إلى المخبز. كان وزن دقيق القمح 3/5 من وزن دقيق الجاودار، وتم إحضار دقيق الجاودار بمقدار 4 أطنان أكثر من دقيق القمح. ما مقدار القمح وكم خبز الجاودار الذي سيخبزه المخبز من هذا الدقيق إذا كانت المخبوزات تشكل 2/5 من إجمالي الدقيق؟

563. وفي غضون ثلاثة أيام، أكمل فريق من العمال 3/4 من إجمالي العمل على إصلاح الطريق السريع بين المزرعتين الجماعيتين. في اليوم الأول تم إصلاح 2 2/5 كيلومتر من هذا الطريق السريع، وفي اليوم الثاني 1 1/2 مرة أكثر من الأول، وفي اليوم الثالث 5/8 مما تم إصلاحه في اليومين الأولين معًا. أوجد طول الطريق السريع بين المزارع الجماعية.

564. املأ الفراغات في الجدول، حيث S هي مساحة المستطيل، أ- قاعدة المستطيل أ ح-ارتفاع (عرض) المستطيل.

565. 1) طول قطعة أرض مستطيلة 120م وعرضها 2/5 طولها. العثور على محيط ومساحة الموقع.

2) عرض المقطع المستطيل 250 م، وطوله 1 1/2 مرة العرض. العثور على محيط ومساحة الموقع.

566. 1) محيط المستطيل 6 1/2 بوصة، وقاعدته أكبر من ارتفاعه بمقدار 1/4 بوصة. أوجد مساحة هذا المستطيل.

2) محيط المستطيل 18 سم، وارتفاعه أقل من قاعدته بمقدار 2 1/2 سم. أوجد مساحة المستطيل.

567. احسب مساحات الأشكال الموضحة في الشكل 30 من خلال تقسيمها إلى مستطيلات وإيجاد أبعاد المستطيل بالقياس.

568. 1) كم عدد ألواح الجبس الجاف المطلوبة لتغطية سقف غرفة يبلغ طولها 4 1/2 م وعرضها 4 م، إذا كانت أبعاد لوح الجبس 2 م × لتر 1/2 م؟

2) ما عدد الألواح التي يبلغ طولها 4 1/2 م وعرضها 1/4 م اللازمة لوضع أرضية طولها 4 1/2 م وعرضها 3 1/2 م؟

569. 1) قطعة أرض مستطيلة طولها 560 م وعرضها 3/4 تم زراعتها بالفاصوليا. كم عدد البذور المطلوبة لزراعة قطعة الأرض إذا زرعت سنتًا واحدًا لكل هكتار واحد؟

2) تم جمع محصول قمح قدره 25 قنطار للهكتار الواحد من حقل مستطيل. ما كمية القمح التي تم حصادها من الحقل بأكمله إذا كان طول الحقل 800 م وعرضه 3/8 طوله؟

570 . 1) قطعة أرض مستطيلة طولها 78 3/4 م وعرضها 56 4/5 م مبنية بحيث تشغل المباني 4/5 مساحتها. تحديد مساحة الأرض تحت المباني.

2) على قطعة أرض مستطيلة يبلغ طولها 9/20 كم وعرضها 4/9 من طولها، تخطط المزرعة الجماعية لإنشاء حديقة. كم عدد الأشجار التي سيتم زراعتها في هذه الحديقة إذا كان متوسط ​​المساحة 36 متر مربع لكل شجرة؟

571. 1) للإضاءة الطبيعية للغرفة في ضوء النهار، من الضروري أن تكون مساحة جميع النوافذ على الأقل 1/5 من مساحة الأرضية. تحديد ما إذا كان هناك ما يكفي من الضوء في غرفة طولها 5 1/2 م وعرضها 4 م، هل تحتوي الغرفة على نافذة واحدة مقاس 1 1/2 م × 2 م؟

2) باستخدام حالة المشكلة السابقة، اكتشف ما إذا كان هناك ما يكفي من الضوء في الفصل الدراسي الخاص بك.

572. 1) تبلغ أبعاد الحظيرة 5 1/2 م × 4 1/2 م × 2 1/2 م، ما هي كمية التبن (بالوزن) التي تناسب هذه الحظيرة إذا كانت ممتلئة إلى 3/4 ارتفاعها وإذا كان 1 متر مكعب . م من القش يزن 82 كجم؟

2) كومة الخشب لها الشكل متوازي مستطيلأبعادها 2 1/2 م × 3 1/2 م × 1 1/2 م ما هو وزن كومة الخشب إذا كانت 1 متر مكعب. م من الحطب يزن 600 كجم؟

573. 1) حوض السمك المستطيل مملوء بالماء حتى 3/5 ارتفاعه. طول الحوض 1 1/2 م وعرضه 4/5 م وارتفاعه 3/4 م كم لتر من الماء يسكب في الحوض؟

2) حوض سباحة على شكل مستطيل متوازي السطوح يبلغ طوله 6 1/2 متر وعرضه 4 متر وارتفاعه 2 متر، ويمتلئ المسبح بالمياه حتى 3/4 ارتفاعه. احسب كمية الماء التي تم سكبها في حوض السباحة.

574. يجب إنشاء سور حول قطعة أرض مستطيلة بطول 75 م وعرض 45 م. ما هو عدد الأمتار المكعبة من الألواح التي يجب أن تدخل في بنائه إذا كان سمك اللوح 2 1/2 سم وارتفاع السياج 2 1/4 م؟

575. 1) ما هي الزاوية الدقيقة و عقرب الساعةفي الساعة 13؟ في الساعة 15؟ في الساعة 17؟ في الساعة 21؟ الساعة 23:30؟

2) كم درجة سيدور عقرب الساعات خلال ساعتين؟ الساعة 5؟ الساعة 8؟ 30 دقيقة.؟

3) على كم درجة يحتوي القوس الذي يساوي نصف الدائرة؟ 1/4 دائرة؟ 1/24 من الدائرة؟ 5/24 دوائر؟

576. 1) باستخدام المنقلة، ارسم: أ) زاوية قائمة؛ ب) زاوية 30 درجة؛ ج) زاوية 60 درجة؛ د) زاوية 150 درجة؛ ه) زاوية قدرها 55 درجة.

2) باستخدام المنقلة، قم بقياس زوايا الشكل وإيجاد مجموع زوايا كل شكل (الشكل 31).

577. اتبع الخطوات التالية:

578. 1) ينقسم نصف الدائرة إلى قوسين، أحدهما أكبر من الآخر بمقدار 100 درجة. أوجد حجم كل قوس.

2) ينقسم نصف الدائرة إلى قوسين أحدهما أقل بـ 15 درجة من الآخر. أوجد حجم كل قوس.

3) ينقسم نصف الدائرة إلى قوسين، أحدهما أكبر بمرتين من الآخر. أوجد حجم كل قوس.

4) ينقسم نصف الدائرة إلى قوسين أحدهما أصغر بخمس مرات من الآخر. أوجد حجم كل قوس.

579. 1) يوضح الرسم البياني "محو الأمية السكانية في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية" (الشكل 32) عدد الأشخاص الذين يعرفون القراءة والكتابة لكل مائة شخص من السكان. بناءً على البيانات الموجودة في المخطط ومقياسه، حدد عدد الرجال والنساء المتعلمين لكل سنة من السنوات المشار إليها.

اكتب النتائج في الجدول:

2) باستخدام البيانات من الرسم البياني "المبعوثون السوفييت إلى الفضاء" (الشكل 33)، قم بإنشاء المهام.

580. 1) وفقًا للمخطط الدائري "الروتين اليومي لطالب الصف الخامس" (الشكل 34)، املأ الجدول وأجب عن الأسئلة: أي جزء من اليوم مخصص للنوم؟ للواجب المنزلي؟ الى المدرسة؟

2) قم بإنشاء مخطط دائري حول روتينك اليومي.

يغطي هذا القسم الإجراءات مع الكسور العادية. إذا كان من الضروري إجراء عملية رياضية بأرقام مختلطة، فيكفي تحويل الكسر المختلط إلى كسر غير عادي، وإجراء العمليات اللازمة، وإذا لزم الأمر، تقديم النتيجة النهائية مرة أخرى في شكل رقم مختلط . سيتم وصف هذه العملية أدناه.

تقليل جزء

عملية حسابية. تقليل جزء

لتبسيط الكسر \frac(m)(n) تحتاج إلى إيجاد القاسم المشترك الأكبر لبسطه ومقامه: gcd(m,n)، ثم قسمة بسط ومقام الكسر على هذا الرقم. إذا كان GCD(m,n)=1، فلا يمكن تبسيط الكسر. مثال: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

عادة، يبدو أن العثور على القاسم المشترك الأكبر على الفور مهمة صعبة، وفي الممارسة العملية، يتم اختزال الكسر على عدة مراحل، خطوة بخطوة مع عزل العوامل المشتركة الواضحة من البسط والمقام. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

اختزال الكسور إلى قاسم مشترك

عملية حسابية. اختزال الكسور إلى قاسم مشترك

لجلب الكسرين \frac(a)(b) و \frac(c)(d) إلى قاسم مشترك، تحتاج إلى:

• أوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات: M=LMK(b,d);
• اضرب بسط ومقام الكسر الأول بـ M/b (وبعد ذلك يصبح مقام الكسر مساويًا للرقم M)؛
• اضرب بسط ومقام الكسر الثاني بـ M/d (وبعد ذلك يصبح مقام الكسر مساويًا للرقم M).

وبالتالي، نقوم بتحويل الكسور الأصلية إلى كسور لها نفس المقامات (والتي ستكون مساوية للرقم M).

على سبيل المثال، الكسور ‎\frac(5)(6) و\frac(4)(9) لها LCM(6,9) = 18. ثم: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . وبالتالي، فإن الكسور الناتجة لها قاسم مشترك.

من الناحية العملية، فإن العثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للمقامات ليس دائمًا مهمة بسيطة. ولذلك، يتم اختيار عدد يساوي منتج مقامات الكسور الأصلية ليكون المقام المشترك. على سبيل المثال، يتم اختزال الكسرين \frac(5)(6) و\frac(4)(9) إلى مقام مشترك N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\فارك(24)(54)

مقارنة الكسور

عملية حسابية. مقارنة الكسور

للمقارنة بين كسرين عاديين تحتاج إلى:

• مقارنة بسط الكسور الناتجة؛ الكسر ذو البسط الأكبر سيكون أكبر.

على سبيل المثال، \frac(9)(14)

عند مقارنة الكسور هناك عدة حالات خاصة:

1. من كسرين مع نفس القواسمالكسر الذي بسطه أكبر هو أكبر. على سبيل المثال، \frac(3)(15)
2. من كسرين مع نفس البسطينالأكبر هو الكسر الذي مقامه أصغر. على سبيل المثال، \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. هذا الكسر الذي في وقت واحد البسط الأكبر والمقام الأصغر، أكثر. على سبيل المثال، \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

انتباه!تنطبق القاعدة 1 على أي كسور إذا كان قاسمها المشترك عددًا موجبًا. تنطبق القاعدتان 2 و3 على الكسور الموجبة (تلك التي يكون بسطها ومقامها أكبر من الصفر).

جمع وطرح الكسور

عملية حسابية. جمع وطرح الكسور

لإضافة كسرين تحتاج:

• أوصلهم إلى قاسم مشترك؛
• أضف البسطين واترك المقام دون تغيير.

مثال: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\فارك(36)(63)=\فارك(49+36)(63)=\فارك(85)(63)

لطرح جزء آخر من كسر واحد، تحتاج إلى:

• اختزال الكسور إلى قاسم مشترك؛
• اطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول واترك المقام دون تغيير.

مثال: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

إذا كانت الكسور الأصلية لها مقام مشترك في البداية، فسيتم تخطي الخطوة 1 (التخفيض إلى مقام مشترك).

تحويل عدد كسري إلى كسر غير فعلي والعكس

عملية حسابية. تحويل عدد كسري إلى كسر غير فعلي والعكس

لتحويل كسر مختلط إلى كسر غير فعلي، ما عليك سوى جمع الجزء الكامل من الكسر المختلط مع جزء الكسر. ستكون نتيجة هذا المجموع كسرًا غير حقيقي، بسطه يساوي مجموع ناتج الجزء بأكمله بمقام الكسر مع بسط الكسر المختلط، وسيظل المقام كما هو. على سبيل المثال، 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\فارك(28)(11)

لتحويل كسر غير حقيقي إلى رقم مختلط:

• قسمة بسط الكسر على مقامه؛
• اكتب باقي القسمة في البسط واترك المقام كما هو؛
• اكتب نتيجة القسمة كجزء صحيح.

على سبيل المثال، الكسر \frac(23)(4) . عند قسمة 23:4=5.75، أي أن الجزء كله يكون 5، يكون باقي القسمة 23-5*4=3. ثم سيتم كتابة الرقم الكسري: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

تحويل العدد العشري إلى كسر

عملية حسابية. تحويل العدد العشري إلى كسر

لتحويل الكسر العشري إلى كسر عادي يجب:

1. خذ القوة النونية للعشرة كمقام (هنا n هو عدد المنازل العشرية)؛
2. كبسط، خذ الرقم بعد العلامة العشرية (إذا كان الجزء الصحيح من الرقم الأصلي لا يساوي الصفر، فخذ جميع الأصفار البادئة أيضًا)؛
3. يتم كتابة الجزء الصحيح غير الصفري في البسط في البداية؛ تم حذف الجزء الصحيح الصفري.

مثال 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (هناك 4 منازل عشرية، وبالتالي فإن المقام لديه 10 4 =10000، نظرًا لأن الجزء الصحيح هو 0، فإن البسط يحتوي على الرقم بعد العلامة العشرية بدون أصفار بادئة)

مثال 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (في البسط نكتب الرقم بعد العلامة العشرية بجميع الأصفار: "0109"، ثم نضيف قبله الجزء الكامل من الرقم الأصلي "31")

إذا كان الجزء الكامل من الكسر العشري غير صفر، فيمكن تحويله إلى كسر مختلط. للقيام بذلك، نقوم بتحويل الرقم إلى كسر عادي كما لو كان الجزء بأكمله يساوي صفر (النقطتان 1 و 2)، وببساطة نعيد كتابة الجزء بأكمله أمام الكسر - وهذا سيكون الجزء الكامل من الرقم الكسري . مثال:

3.014=3\فارك(14)(100)

لتحويل كسر إلى عدد عشري، ما عليك سوى قسمة البسط على المقام. في بعض الأحيان ينتهي بك الأمر برقم عشري لا نهائي. في هذه الحالة، من الضروري التقريب إلى المنزلة العشرية المطلوبة. أمثلة:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\approx0.6667

ضرب وقسمة الكسور

عملية حسابية. ضرب وقسمة الكسور

لضرب كسرين عاديين، عليك ضرب بسطي ومقامي الكسورين.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

لقسمة كسر عادي على آخر، عليك ضرب الكسر الأول في مقلوب الثاني ( جزء متبادل- الكسر الذي يتم فيه تبديل البسط والمقام.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

إذا كان أحد الكسور عددًا طبيعيًا، فإن قواعد الضرب والقسمة المذكورة أعلاه تظل سارية. كل ما عليك فعله هو أن تأخذ في الاعتبار أن العدد الصحيح هو نفس الكسر، ومقامه يساوي واحدًا. على سبيل المثال: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

محتوى الدرس

جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة

هناك نوعان من إضافة الكسور:

1. جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة
2. جمع الكسور ذات المقامات المختلفة

أولًا، دعونا نتعلم جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة. كل شيء بسيط هنا. لجمع كسور لها نفس المقامات، عليك جمع بسطيها وترك المقام دون تغيير. على سبيل المثال، دعونا نضيف الكسور و . أضف البسطين واترك المقام دون تغيير:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا قمت بإضافة البيتزا إلى البيتزا، تحصل على البيتزا:

مثال 2.إضافة الكسور و.

وتبين أن الإجابة كانت كسرًا غير حقيقي. عندما تأتي نهاية المهمة، فمن المعتاد التخلص من الكسور غير الصحيحة. للتخلص من الكسر غير الحقيقي، عليك تحديد الجزء بأكمله منه. في حالتنا، يمكن عزل الجزء بأكمله بسهولة - اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى قسمين. إذا قمت بإضافة المزيد من البيتزا إلى البيتزا، تحصل على بيتزا واحدة كاملة:

مثال 3. إضافة الكسور و.

مرة أخرى، نجمع البسطين ونترك المقام دون تغيير:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا قمت بإضافة المزيد من البيتزا إلى البيتزا، تحصل على البيتزا:

مثال 4.أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل الأمثلة السابقة. يجب إضافة البسطين وترك المقام دون تغيير:

دعونا نحاول تصوير الحل الذي توصلنا إليه باستخدام الرسم. إذا قمت بإضافة البيتزا إلى البيتزا وأضفت المزيد من البيتزا، فستحصل على بيتزا كاملة والمزيد من البيتزا.

كما ترون، لا يوجد شيء معقد في جمع الكسور التي لها نفس المقامات. يكفي أن نفهم القواعد التالية:

1. لإضافة كسور لها نفس المقام، تحتاج إلى إضافة بسطيها وترك المقام دون تغيير؛

جمع الكسور ذات المقامات المختلفة

الآن دعونا نتعلم كيفية جمع الكسور ذات المقامات المختلفة. عند جمع الكسور، يجب أن تكون مقامات الكسور هي نفسها. لكنهم ليسوا دائما نفس الشيء.

على سبيل المثال، يمكن إضافة الكسور لأنها تحتوي على نفس القواسم.

لكن لا يمكن جمع الكسور على الفور، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

هناك عدة طرق لتقليل الكسور إلى نفس المقام. اليوم سوف ننظر إلى واحد منهم فقط، لأن الطرق الأخرى قد تبدو معقدة بالنسبة للمبتدئين.

جوهر هذه الطريقة هو أنه يتم أولاً البحث عن المضاعف المشترك الأصغر لمقامات كلا الكسرين. يتم بعد ذلك قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول للحصول على العامل الإضافي الأول. يفعلون نفس الشيء مع الكسر الثاني - يتم تقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على عامل إضافي ثانٍ.

يتم بعد ذلك ضرب بسط ومقامات الكسور في عواملها الإضافية. ونتيجة لهذه الإجراءات، تتحول الكسور التي لها مقامات مختلفة إلى كسور لها نفس المقامات. ونحن نعرف بالفعل كيفية إضافة هذه الكسور.

مثال 1. دعونا نضيف الكسور و

أولًا، علينا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو 6

م م م (2 و 3) = 6

الآن دعونا نعود إلى الكسور و . أولاً، قم بتقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول واحصل على العامل الإضافي الأول. LCM هو الرقم 6، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. بقسمة 6 على 3، نحصل على 2.

الرقم الناتج 2 هو أول مضاعف إضافي. نكتبه حتى الكسر الأول. للقيام بذلك، ارسم خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر واكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

نحن نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ونحصل على العامل الإضافي الثاني. LCM هو الرقم 6، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. بقسمة 6 على 2، نحصل على 3.

الرقم الناتج 3 هو المضاعف الإضافي الثاني. نكتبه إلى الكسر الثاني. مرة أخرى، نرسم خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر الثاني ونكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:

الآن لدينا كل شيء جاهز للإضافة. يبقى ضرب بسط ومقامات الكسور بعواملها الإضافية:

انظر بعناية إلى ما وصلنا إليه. لقد توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس المقامات. ونحن نعرف بالفعل كيفية إضافة هذه الكسور. لنأخذ هذا المثال إلى النهاية:

هذا يكمل المثال. اتضح أن تضيف .

دعونا نحاول تصوير الحل الذي توصلنا إليه باستخدام الرسم. إذا أضفت بيتزا إلى بيتزا، فستحصل على بيتزا كاملة وسدس بيتزا آخر:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك) باستخدام صورة. بتقليل الكسور إلى قاسم مشترك، حصلنا على الكسور و . سيتم تمثيل هذين الكسرين بنفس قطع البيتزا. سيكون الاختلاف الوحيد هو أنه سيتم تقسيمهم هذه المرة إلى حصص متساوية (مخفضة إلى نفس المقام).

الرسم الأول يمثل كسرًا (أربع قطع من ستة)، والرسم الثاني يمثل كسرًا (ثلاث قطع من ستة). وبإضافة هذه القطع نحصل على (سبع قطع من أصل ستة). وهذا الكسر غير حقيقي، لذا سلطنا الضوء على الجزء بأكمله منه. ونتيجة لذلك، حصلنا على (بيتزا كاملة وبيتزا سادسة أخرى).

يرجى ملاحظة أننا وصفنا هذا المثال بقدر كبير من التفصيل. في المؤسسات التعليميةليس من المعتاد الكتابة بمثل هذه التفاصيل. يجب أن تكون قادرًا على العثور بسرعة على المضاعف المشترك الأصغر لكل من المقامات والعوامل الإضافية لها، بالإضافة إلى ضرب العوامل الإضافية التي تم العثور عليها بسرعة في البسط والمقامات. ولو كنا في المدرسة لوجب علينا أن نكتب هذا المثال على النحو التالي:

ولكن هناك أيضا الجانب الخلفيميداليات. إذا لم تقم بتدوين ملاحظات تفصيلية في المراحل الأولى من دراسة الرياضيات، فإن أسئلة من هذا النوع تبدأ في الظهور. "من أين يأتي هذا الرقم؟"، "لماذا تتحول الكسور فجأة إلى كسور مختلفة تمامًا؟ «.

لتسهيل عملية جمع الكسور ذات المقامات المختلفة، يمكنك استخدام الإرشادات التالية خطوة بخطوة:

1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الكسور؛
2. قم بتقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على عامل إضافي لكل كسر؛
3. ضرب بسط ومقامات الكسور بعواملها الإضافية؛
4. أضف الكسور التي لها نفس المقامات؛
5. إذا تبين أن الإجابة عبارة عن كسر غير حقيقي، فاختر الجزء بأكمله؛

مثال 2.أوجد قيمة التعبير .

دعونا نستخدم التعليمات المذكورة أعلاه.

الخطوة 1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الكسور

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الكسرين. مقامات الكسور هي الأرقام 2 و 3 و 4

الخطوة 2. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على عامل إضافي لكل كسر

اقسم LCM على مقام الكسر الأول. LCM هو الرقم 12، ومقام الكسر الأول هو الرقم 2. بقسمة 12 على 2، نحصل على 6. حصلنا على العامل الإضافي الأول 6. نكتبه فوق الكسر الأول:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. LCM هو الرقم 12، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. بقسمة 12 على 3، نحصل على 4. نحصل على العامل الإضافي الثاني 4. نكتبه فوق الكسر الثاني:

الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. LCM هو الرقم 12، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 4. بقسمة 12 على 4، نحصل على 3. نحصل على العامل الإضافي الثالث 3. نكتبه فوق الكسر الثالث:

الخطوة 3. اضرب بسط ومقامات الكسور بعواملها الإضافية

نضرب البسط والمقام بعواملها الإضافية:

الخطوة 4. أضف الكسور التي لها نفس المقامات

لقد توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس المقامات (المشتركة). كل ما تبقى هو إضافة هذه الكسور. أضفه:

لم تكن عملية الإضافة مناسبة لسطر واحد، لذا قمنا بنقل التعبير المتبقي إلى السطر التالي. وهذا مسموح به في الرياضيات. عندما لا يتناسب التعبير مع سطر واحد، يتم نقله إلى السطر التالي، ومن الضروري وضع علامة المساواة (=) في نهاية السطر الأول وفي بداية السطر الجديد. تشير علامة المساواة الموجودة في السطر الثاني إلى أن هذا استمرار للتعبير الذي كان في السطر الأول.

الخطوة 5. إذا تبين أن الإجابة عبارة عن كسر غير حقيقي، فاختر الجزء بأكمله منه

وتبين أن إجابتنا هي كسر غير فعلي. وعلينا أن نسلط الضوء على جزء كامل منه. نسلط الضوء على:

لقد تلقينا إجابة

طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة

هناك نوعان من طرح الكسور:

1. طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة
2. طرح الكسور ذات المقامات المختلفة

أولًا، دعونا نتعلم كيفية طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة. كل شيء بسيط هنا. لطرح آخر من كسر واحد، تحتاج إلى طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، ولكن اترك المقام كما هو.

على سبيل المثال، دعونا نجد قيمة التعبير. لحل هذا المثال، تحتاج إلى طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، وترك المقام دون تغيير. هيا بنا نقوم بذلك:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا قمت بقطع البيتزا من البيتزا، تحصل على البيتزا:

مثال 2.أوجد قيمة التعبير.

مرة أخرى، من بسط الكسر الأول، اطرح بسط الكسر الثاني، واترك المقام دون تغيير:

يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا قمت بقطع البيتزا من البيتزا، تحصل على البيتزا:

مثال 3.أوجد قيمة التعبير

تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل الأمثلة السابقة. من بسط الكسر الأول تحتاج إلى طرح بسط الكسور المتبقية:

كما ترون، لا يوجد شيء معقد في طرح الكسور التي لها نفس المقامات. يكفي أن نفهم القواعد التالية:

1. لطرح آخر من كسر واحد، تحتاج إلى طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، وترك المقام دون تغيير؛
2. إذا تبين أن الإجابة عبارة عن كسر غير حقيقي، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بأكمله منه.

طرح الكسور ذات المقامات المختلفة

على سبيل المثال، يمكنك طرح كسر من كسر لأن الكسور لها نفس المقامات. لكن لا يمكنك طرح كسر من كسر، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).

يتم إيجاد المقام المشترك باستخدام نفس المبدأ الذي استخدمناه عند جمع الكسور ذات المقامات المختلفة. أولًا، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الكسرين. ثم يتم تقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول الذي يكتب فوق الكسر الأول. وبالمثل، يتم تقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على عامل إضافي ثانٍ، وهو مكتوب فوق الكسر الثاني.

ثم يتم ضرب الكسور بعواملها الإضافية. ونتيجة لهذه العمليات، يتم تحويل الكسور التي لها مقامات مختلفة إلى كسور لها نفس المقامات. ونحن نعرف بالفعل كيفية طرح هذه الكسور.

مثال 1.ابحث عن معنى العبارة:

هذه الكسور لها مقامات مختلفة، لذلك تحتاج إلى اختزالها إلى نفس المقام (المشترك).

أولًا، نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو 12

المضاعف المشترك الأصغر (3 و 4) = 12

الآن دعونا نعود إلى الكسور و

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. للقيام بذلك، قم بتقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. بقسمة 12 على 3، نحصل على 4. اكتب أربعة فوق الكسر الأول:

نحن نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. اقسم LCM على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. بقسمة 12 على 4، نحصل على 3. اكتب ثلاثة على الكسر الثاني:

الآن نحن جاهزون للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

لقد توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس المقامات. ونحن نعرف بالفعل كيفية طرح هذه الكسور. لنأخذ هذا المثال إلى النهاية:

لقد تلقينا إجابة

دعونا نحاول تصوير الحل الذي توصلنا إليه باستخدام الرسم. إذا قطعت بيتزا من بيتزا، فستحصل على بيتزا

هذه هي النسخة التفصيلية للحل. لو كنا في المدرسة، لكان علينا حل هذا المثال بشكل أقصر. سيبدو مثل هذا الحل كما يلي:

يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى قاسم مشترك باستخدام صورة. بتقليل هذه الكسور إلى قاسم مشترك، حصلنا على الكسور و . سيتم تمثيل هذه الكسور بنفس شرائح البيتزا، ولكن هذه المرة سيتم تقسيمها إلى حصص متساوية (مخفضة إلى نفس المقام):

الصورة الأولى توضح كسرًا (ثمانية أجزاء من اثني عشر)، والصورة الثانية توضح كسرًا (ثلاثة أجزاء من اثني عشر). وبقطع ثلاث قطع من ثماني قطع، نحصل على خمس قطع من اثني عشر. يصف الكسر هذه القطع الخمس.

مثال 2.أوجد قيمة التعبير

هذه الكسور لها مقامات مختلفة، لذا عليك أولًا اختزالها إلى نفس المقام (المشترك).

دعونا نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات هذه الكسور.

مقامات الكسور هي الأرقام 10 و3 و5. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو 30

المضاعف المشترك الأصغر(10، 3، 5) = 30

والآن نجد عوامل إضافية لكل كسر. للقيام بذلك، قم بتقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر.

لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. LCM هو الرقم 30، ومقام الكسر الأول هو الرقم 10. بقسمة 30 على 10، نحصل على العامل الإضافي الأول 3. نكتبه فوق الكسر الأول:

والآن نجد عاملًا إضافيًا للكسر الثاني. اقسم LCM على مقام الكسر الثاني. LCM هو الرقم 30، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. بقسمة 30 على 3، نحصل على العامل الإضافي الثاني 10. نكتبه فوق الكسر الثاني:

والآن نجد عاملًا إضافيًا للكسر الثالث. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. LCM هو الرقم 30، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 5. بقسمة 30 على 5، نحصل على العامل الإضافي الثالث 6. نكتبه فوق الكسر الثالث:

الآن كل شيء جاهز للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:

لقد توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس المقامات (المشتركة). ونحن نعرف بالفعل كيفية طرح هذه الكسور. دعونا ننتهي من هذا المثال.

لن يتناسب استمرار المثال مع سطر واحد، لذلك ننقل الاستمرار إلى السطر التالي. لا تنس علامة التساوي (=) على السطر الجديد:

تبين أن الإجابة عبارة عن كسر عادي، ويبدو أن كل شيء يناسبنا، لكنه مرهق وقبيح للغاية. ينبغي لنا أن نجعل الأمر أسهل. ماذا يمكن ان يفعل؟ يمكنك تقصير هذا الكسر.

لتبسيط الكسر، عليك قسمة بسطه ومقامه على (GCD) للرقمين 20 و30.

لذلك نجد gcd للأرقام 20 و 30:

نعود الآن إلى مثالنا ونقسم بسط ومقام الكسر على gcd الموجود، أي على 10

لقد تلقينا إجابة

ضرب الكسر بعدد

لضرب كسر في رقم، عليك ضرب بسط الكسر بهذا الرقم وترك المقام دون تغيير.

مثال 1. ضرب الكسر بالرقم 1.

اضرب بسط الكسر بالرقم 1

يمكن فهم التسجيل على أنه يستغرق نصف مرة واحدة. على سبيل المثال، إذا تناولت البيتزا مرة واحدة، فستحصل على البيتزا

نعلم من قوانين الضرب أنه إذا تم تبديل المضاعف والعامل، فلن يتغير الناتج. إذا تم كتابة التعبير كـ، فسيظل المنتج مساويًا لـ . مرة أخرى، تعمل قاعدة ضرب عدد صحيح وكسر:

يمكن فهم هذا الترميز على أنه أخذ نصف واحد. على سبيل المثال، إذا كان هناك بيتزا واحدة كاملة وأخذنا نصفها، فسيكون لدينا بيتزا:

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر في 4

وكانت الإجابة كسرًا غير لائق. دعونا نسلط الضوء على الجزء كله منه:

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ ربعين 4 مرات. على سبيل المثال، إذا أخذت 4 بيتزا، فستحصل على بيتزا كاملة

وإذا قمنا بتبديل المضاعف والمضاعف نحصل على التعبير. سيكون أيضًا مساوٍ لـ 2. يمكن فهم هذا التعبير على أنه أخذ قطعتي بيتزا من أربع فطائر بيتزا كاملة:

يتم حل الرقم الذي يتم ضربه في الكسر ومقام الكسر إذا كان لديهم عامل مشترك أكبر من واحد.

على سبيل المثال، يمكن تقييم التعبير بطريقتين.

الطريقة الأولى. اضرب الرقم 4 في بسط الكسر، واترك مقام الكسر دون تغيير:

الطريقة الثانية. الأربعة التي يتم ضربها ويمكن تبسيط الأربعة الموجودة في مقام الكسر. يمكن اختزال هذه الأربع بمقدار 4، لأن القاسم المشترك الأكبر للأربعتين هو الأربعة نفسها:

لقد حصلنا على نفس النتيجة 3. بعد تخفيض الأربعات، يتم تشكيل أرقام جديدة في مكانها: اثنان. لكن ضرب واحد في ثلاثة ثم القسمة على واحد لا يغير شيئا. لذلك يمكن كتابة الحل باختصار:

يمكن إجراء التخفيض حتى عندما قررنا استخدام الطريقة الأولى، ولكن في مرحلة ضرب الرقم 4 والبسط 3 قررنا استخدام التخفيض:

لكن على سبيل المثال، لا يمكن حساب التعبير إلا بالطريقة الأولى - اضرب 7 في مقام الكسر، واترك المقام دون تغيير:

وذلك لأن الرقم 7 ومقام الكسر ليس لهما قاسم مشترك أكبر من واحد، وبالتالي لا يتم إلغاؤه.

يخطئ بعض الطلاب في تقصير العدد الذي يتم ضربه وبسط الكسر. لا يمكنك أن تفعل هذا. على سبيل المثال، الإدخال التالي غير صحيح:

إن تقليل الكسر يعني ذلك كل من البسط والمقامسيتم تقسيمها على نفس الرقم. في حالة التعبير، يتم إجراء القسمة فقط على البسط، لأن الكتابة هي نفس الكتابة . نرى أن القسمة تتم فقط في البسط، ولا تحدث قسمة في المقام.

ضرب الكسور

لضرب الكسور، عليك أن تضرب بسطها ومقامها. إذا تبين أن الإجابة عبارة عن كسر غير حقيقي، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بأكمله منه.

مثال 1.أوجد قيمة التعبير.

لقد تلقينا إجابة. من المستحسن تقليل هذا الكسر. يمكن تقليل الكسر بمقدار 2. ثم سيكون الحل النهائي بالشكل التالي:

يمكن فهم التعبير على أنه أخذ بيتزا من نصف بيتزا. لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:

كيف تأخذ الثلثين من هذا النصف؟ تحتاج أولاً إلى تقسيم هذا النصف إلى ثلاثة أجزاء متساوية:

وخذ قطعتين من هذه القطع الثلاثة:

سنصنع البيتزا. تذكر كيف تبدو البيتزا عند تقسيمها إلى ثلاثة أجزاء:

قطعة واحدة من هذه البيتزا والقطعتين اللتين أخذناهما سيكون لهما نفس الأبعاد:

بمعنى آخر، نحن نتحدث عن بيتزا بنفس الحجم. وبالتالي فإن قيمة التعبير هي

مثال 2. أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني، ومقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:

وكانت الإجابة كسرًا غير لائق. دعونا نسلط الضوء على الجزء كله منه:

مثال 3.أوجد قيمة التعبير

اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني، ومقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:

وتبين أن الإجابة عبارة عن كسر عادي، ولكن سيكون من الجيد تقصيرها. لتقليل هذا الكسر، تحتاج إلى قسمة البسط والمقام لهذا الكسر على القاسم المشترك الأكبر (GCD) للرقمين 105 و450.

لذلك، دعونا نجد gcd للأرقام 105 و 450:

الآن نقسم البسط والمقام لإجابتنا على gcd الذي وجدناه الآن، أي على 15

تمثيل العدد الصحيح على شكل كسر

يمكن تمثيل أي عدد صحيح على شكل كسر. على سبيل المثال، يمكن تمثيل الرقم 5 كـ . وهذا لن يغير معنى خمسة، لأن اللفظ يعني "العدد خمسة على واحد"، وهذا كما نعلم يساوي خمسة:

أرقام متبادلة

الآن سوف نتعرف على جدا موضوع مثير للاهتمامفي الرياضيات. يطلق عليه "الأرقام العكسية".

تعريف. عكس إلى الرقمأ هو الرقم الذي، عندما ضربأ يعطي واحدة.

دعونا نستبدل في هذا التعريف بدلا من المتغير أرقم 5 وحاول قراءة التعريف:

عكس إلى الرقم 5 هو الرقم الذي، عندما ضرب 5 يعطي واحدة.

هل يمكن العثور على رقم إذا ضرب في 5 يعطي واحدا؟ اتضح أن هذا ممكن. دعونا نتخيل خمسة ككسر:

ثم اضرب هذا الكسر في نفسه، فقط قم بتبديل البسط والمقام. بمعنى آخر، دعونا نضرب الكسر في نفسه، فقط بالمقلوب:

ماذا سيحدث نتيجة لهذا؟ إذا واصلنا حل هذا المثال، نحصل على واحد:

هذا يعني أن معكوس الرقم 5 هو الرقم، لأنك عندما تضرب 5 في تحصل على واحد.

يمكن أيضًا العثور على مقلوب أي رقم لأي عدد صحيح آخر.

يمكنك أيضًا إيجاد مقلوب أي كسر آخر. للقيام بذلك، فقط اقلبها.

قسمة الكسر على عدد

لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:

دعونا نقسمها بالتساوي بين اثنين. ما هي كمية البيتزا التي سيحصل عليها كل شخص؟

ويمكن ملاحظة أنه بعد تقسيم نصف البيتزا، تم الحصول على قطعتين متساويتين، كل منهما تشكل بيتزا. حتى يحصل الجميع على البيتزا.

1 درجة. الأعداد الصحيحة - هذه هي الأرقام المستخدمة في العد. يُشار إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بالرمز N، أي N=(1، 2، 3، …).

جزءهو رقم يتكون من عدة أجزاء من الوحدة. الكسر المشتركهو عدد من النموذج حيث هو عدد طبيعي نيبين عدد الأجزاء المتساوية التي تنقسم إليها الوحدة، والعدد الطبيعي ميوضح عدد الأجزاء المتساوية التي تم أخذها. أعداد مو نيتم استدعاؤها وفقا لذلك البسطو المقام - صفة مشتركة - حالةالكسور

إذا كان البسط أصغر من المقام، يسمى الكسر صحيح; إذا كان البسط يساوي أو أكبر من المقام، يسمى الكسر خطأ. يسمى العدد الذي يتكون من عدد صحيح وجزء كسري رقم مختلط.

على سبيل المثال،
- الكسور العادية المناسبة،
- الكسور العادية غير الحقيقية، 1 هو عدد مختلط.

2 درجة. عند إجراء العمليات مع الكسور العادية، يجب أن تتذكر القواعد التالية:

1)الخاصية الرئيسية للكسر. إذا تم ضرب بسط الكسر ومقامه أو قسمتهما على نفس العدد الطبيعي، فستحصل على كسر مساوٍ للكسر المعطى.

على سبيل المثال، أ)
; ب)
.

تسمى قسمة بسط ومقام كسر على قاسمهما المشترك غير الواحد تقليل جزء.

2) لتمثيل رقم مختلط ككسر غير حقيقي، تحتاج إلى ضرب الجزء بأكمله في مقام الجزء الكسري وإضافة بسط الجزء الكسري إلى المنتج الناتج، وكتابة المبلغ الناتج كبسط الكسر، واترك القاسم كما هو.

وبالمثل، يمكن كتابة أي عدد طبيعي في صورة كسر غير فعلي بأي مقام.

على سبيل المثال، أ)
، لأن
; ب)
إلخ.

3) لكتابة كسر غير فعلي كرقم مختلط (أي فصل جزء صحيح عن كسر غير حقيقي)، تحتاج إلى قسمة البسط على المقام، واتخاذ حاصل القسمة كجزء صحيح، والباقي باعتباره البسط ، واترك المقام كما هو.

على سبيل المثال، أ)
، منذ 200: 7 = 28 (4 المتبقية)؛ ب)
، بما أن 20: 5 = 4 (الباقي 0).

4) لتقليل الكسور إلى أدنى مقام مشترك، تحتاج إلى العثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لمقامات هذه الكسور (سيكون المقام المشترك الأدنى لها)، وتقسيم المقام المشترك الأدنى على مقام هذه الكسور ( (أي ابحث عن عوامل إضافية للكسور) واضرب بسط ومقام كل كسر بعامله الإضافي.

على سبيل المثال، دعونا نعطي الكسور
إلى القاسم المشترك الأدنى:

,
,
;

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

وسائل،
;
;
.

5) قواعد العمليات الحسابية على الكسور العادية:

أ) يتم جمع وطرح الكسور ذات المقامات نفسها وفقًا للقاعدة:

.

ب) يتم جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة وفقاً للقاعدة أ)، بعد تخفيض الكسور أولاً إلى المقام المشترك الأصغر.

ج) عند جمع وطرح الأعداد الكسرية، يمكنك تحويلها إلى كسور غير حقيقية، ثم اتباع القواعد أ) و ب).

د) عند ضرب الكسور، استخدم القاعدة التالية:

.

هـ) لتقسيم كسر على آخر، عليك ضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه:

.

و) عند ضرب الأعداد الكسرية وقسمتها، يتم تحويلها أولاً إلى كسور غير حقيقية، ثم يتم استخدام القاعدتين د) وهـ).

3 درجة. عند حل الأمثلة لجميع العمليات التي تحتوي على الكسور، تذكر أن العمليات الموجودة بين القوسين يتم تنفيذها أولاً. داخل الأقواس وخارجها، يتم إجراء الضرب والقسمة أولاً، يليها الجمع والطرح.

دعونا نلقي نظرة على تنفيذ القواعد المذكورة أعلاه باستخدام مثال.

مثال 1. احسب:
.

1)
;

2)
;

5)
. الجواب: 3.