تكامل دالة كسرية عقلانية.
طريقة معامل غير مؤكدة

نواصل العمل على تكامل الكسور. لقد نظرنا بالفعل إلى تكاملات بعض أنواع الكسور في الدرس، ويمكن اعتبار هذا الدرس، بمعنى ما، استمرارًا. لفهم المادة بنجاح، يلزم وجود مهارات التكامل الأساسية، لذلك إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة التكاملات، أي أنك مبتدئ، فأنت بحاجة إلى البدء بالمقالة تكامل غير محدد. أمثلة على الحلول.

ومن الغريب أننا الآن لن ننخرط كثيرًا في إيجاد التكاملات، ولكن... في حل أنظمة المعادلات الخطية. في هذا الصدد بشكل عاجلأوصي بحضور الدرس، أي أنك بحاجة إلى أن تكون على دراية جيدة بطرق الاستبدال (طريقة "المدرسة" وطريقة الجمع (الطرح) لمعادلات النظام على حدة).

ما هي وظيفة عقلانية كسرية؟ بكلمات بسيطة، الدالة الكسرية هي الكسر الذي يحتوي بسطه ومقامه على كثيرات الحدود أو منتجات كثيرات الحدود. علاوة على ذلك، فإن الكسور أكثر تعقيدًا من تلك التي تمت مناقشتها في المقالة دمج بعض الكسور.

دمج دالة كسرية-عقلانية مناسبة

مثال فوري وخوارزمية نموذجية لحل تكامل دالة كسرية.

مثال 1

الخطوة 1.أول شيء نفعله دائمًا عند حل تكامل دالة كسرية هو توضيح السؤال التالي: هل الكسر صحيح؟يتم تنفيذ هذه الخطوة لفظيًا، والآن سأشرح الطريقة:

أولًا، ننظر إلى البسط ونكتشف ذلك درجة عليامتعدد الحدود:

القوة الرئيسية للبسط هي اثنان.

الآن ننظر إلى المقام ونكتشف ذلك درجة علياالمقام - صفة مشتركة - حالة. الطريقة الواضحة هي فتح الأقواس وإحضار مصطلحات مماثلة، ولكن يمكنك القيام بذلك بشكل أسهل كلالعثور على أعلى درجة بين قوسين

والضرب ذهنياً: - وبذلك تكون أعلى درجة للمقام تساوي ثلاثة. ومن الواضح أننا إذا فتحنا القوسين بالفعل، فلن نحصل على درجة أكبر من ثلاثة.

خاتمة: الدرجة الكبرى من البسط بشكل صارمأقل من أعلى قوة للمقام، مما يعني أن الكسر صحيح.

إذا كان البسط في هذا المثال يحتوي على كثير الحدود 3، 4، 5، إلخ. درجة، ثم سيكون الكسر خطأ.

الآن سننظر فقط في الدوال العقلانية الكسرية الصحيحة. سيتم مناقشة الحالة التي تكون فيها درجة البسط أكبر من أو تساوي درجة المقام في نهاية الدرس.

الخطوة 2.دعونا نحلل المقام. دعونا نلقي نظرة على القاسم لدينا:

بشكل عام، هذا بالفعل نتاج عوامل، ولكن مع ذلك نسأل أنفسنا: هل من الممكن توسيع شيء آخر؟ سيكون موضوع التعذيب بلا شك هو الثلاثي المربع. حل المعادلة التربيعية:

المميز أكبر من الصفر، مما يعني أن ثلاثية الحدود يمكن تحليلها إلى عوامل:

القاعدة العامة: كل شيء في المقام يمكن تحليله

لنبدأ في صياغة الحل:

الخطوه 3.باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة، نقوم بتوسيع التكامل إلى مجموع الكسور البسيطة (الابتدائية). الآن سوف يكون أكثر وضوحا.

دعونا نلقي نظرة على وظيفة التكامل لدينا:

وكما تعلمون، بطريقة ما تنبثق فكرة بديهية مفادها أنه سيكون من الجيد تحويل الكسر الكبير إلى عدة أجزاء صغيرة. على سبيل المثال، مثل هذا:

السؤال الذي يطرح نفسه، هل من الممكن القيام بذلك؟ دعونا نتنفس الصعداء، تنص نظرية التحليل الرياضي المقابلة على أن هذا ممكن. مثل هذا التحلل موجود وهو فريد من نوعه.

هناك صيد واحد فقط، والاحتمالات هي الوداعنحن لا نعرف، ومن هنا الاسم – طريقة المعاملات غير المحددة.

كما خمنت، فإن حركات الجسم اللاحقة تكون هكذا، لا تثرثر! سوف يهدف فقط إلى التعرف عليهم - لمعرفة ما يساويهم.

كن حذرا، سأشرح بالتفصيل مرة واحدة فقط!

لذلك، دعونا نبدأ الرقص من:

على الجانب الأيسر نقوم بتقليل التعبير إلى قاسم مشترك:

الآن يمكننا التخلص بأمان من القواسم (لأنها متماثلة):

على الجانب الأيسر نفتح الأقواس، لكن لا نلمس المعاملات المجهولة الآن:

وفي الوقت نفسه، نكرر القاعدة المدرسية لضرب كثيرات الحدود. عندما كنت مدرسًا، تعلمت نطق هذه القاعدة بوجه مستقيم: من أجل ضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود، يتعين عليك ضرب كل حد من كثيرة الحدود في كل حد من كثيرة الحدود الأخرى.

من وجهة نظر شرح واضح، من الأفضل وضع المعاملات بين قوسين (على الرغم من أنني شخصيا لا أفعل ذلك أبدا لتوفير الوقت):

نحن نؤلف نظام المعادلات الخطية.
أولاً نبحث عن الدرجات العليا:

ونكتب المعاملات المقابلة في المعادلة الأولى للنظام:

تذكر النقطة التالية جيداً. ماذا سيحدث لو لم يكن هناك حرف s على الجانب الأيمن على الإطلاق؟ لنفترض، هل سيتم عرضه بدون أي مربع؟ في هذه الحالة، في معادلة النظام سيكون من الضروري وضع صفر على اليمين: . لماذا الصفر؟ ولكن لأنه على الجانب الأيمن يمكنك دائمًا تعيين نفس المربع بصفر: إذا لم يكن هناك متغيرات و/أو حد حر على الجانب الأيمن، فإننا نضع أصفارًا على الجانب الأيمن من المعادلات المقابلة للنظام.

نكتب المعاملات المقابلة في المعادلة الثانية للنظام:

وأخيرا، المياه المعدنية، نختار الأعضاء الأحرار.

إيه...كنت أمزح نوعًا ما. بغض النظر عن النكات - الرياضيات علم جاد. في مجموعة معهدنا، لم يضحك أحد عندما قالت الأستاذة المساعدة إنها ستقوم بنثر الحدود على طول خط الأعداد واختيار أكبرها. دعونا نكون جادين. مع ذلك... من يعيش ليرى نهاية هذا الدرس سيظل يبتسم بهدوء.

النظام جاهز:

نحن نحل النظام:

(1) من المعادلة الأولى نعبر عنها ونعوضها في المعادلتين الثانية والثالثة للنظام. في الواقع، كان من الممكن التعبير (أو حرف آخر) من معادلة أخرى، ولكن في هذه الحالة من المفيد التعبير عنها من المعادلة الأولى، حيث أن هناك أصغر الاحتمالات.

(2) نقدم مصطلحات مماثلة في المعادلتين الثانية والثالثة.

(3) نجمع المعادلتين الثانية والثالثة حداً تلو الآخر ونحصل على المساواة ويترتب على ذلك أن

(4) نعوض في المعادلة الثانية (أو الثالثة) حيث نجد ذلك

(5) عوض في المعادلة الأولى لتحصل على .

إذا واجهتك أي صعوبات في طرق حل النظام، قم بالتدرب عليها في الفصل. كيفية حل نظام المعادلات الخطية؟

بعد حل النظام، من المفيد دائمًا التحقق من استبدال القيم الموجودة كلمعادلة النظام، ونتيجة لذلك يجب أن "يتقارب" كل شيء.

اوشكت على الوصول. تم العثور على المعاملات، و:

يجب أن تبدو المهمة النهائية كما يلي:

كما ترون، كانت الصعوبة الرئيسية للمهمة هي تكوين (بشكل صحيح!) وحل (بشكل صحيح!) نظام من المعادلات الخطية. وفي المرحلة النهائية، كل شيء ليس صعبا للغاية: نستخدم الخصائص الخطية للتكامل غير المحدد والتكامل. يرجى ملاحظة أنه تحت كل من التكاملات الثلاثة لدينا دالة معقدة "حرة" وقد تحدثت عن ميزات تكاملها في الدرس طريقة التغيير المتغير في التكامل غير المحدد.

تحقق: ميّز الإجابة:

تم الحصول على دالة التكامل الأصلية، مما يعني أنه تم العثور على التكامل بشكل صحيح.
أثناء التحقق، كان علينا اختزال التعبير إلى قاسم مشترك، وهذا ليس من قبيل الصدفة. إن طريقة المعاملات غير المحددة واختزال التعبير إلى قاسم مشترك هما إجراءان عكسيان.

مثال 2

أوجد التكامل غير المحدد.

دعنا نعود إلى الكسر من المثال الأول: . من السهل ملاحظة أن جميع العوامل مختلفة في المقام. السؤال الذي يطرح نفسه هو ماذا تفعل إذا تم إعطاء الكسر التالي على سبيل المثال: ؟ هنا لدينا درجات في المقام، أو رياضياً، مضاعفات. بالإضافة إلى ذلك، هناك ثلاثية حدود تربيعية لا يمكن تحليلها (من السهل التحقق من أن مميز المعادلة سالبة، لذلك لا يمكن تحليل ثلاثية الحدود). ما يجب القيام به؟ سيبدو التوسع في مجموع الكسور الأولية بهذا الشكل مع معاملات غير معروفة في الأعلى أو أي شيء آخر؟

مثال 3

تقديم وظيفة

الخطوة 1.التحقق مما إذا كان لدينا كسر مناسب
البسط الرئيسي: 2
أعلى درجة للمقام: 8
مما يعني أن الكسر صحيح.

الخطوة 2.هل من الممكن تحليل شيء ما في المقام؟ من الواضح لا، كل شيء تم وضعه بالفعل. لا يمكن توسيع ثلاثي الحدود المربع إلى منتج للأسباب المذكورة أعلاه. كَبُّوت. عمل أقل.

الخطوه 3.دعونا نتخيل دالة كسرية عقلانية كمجموع الكسور الأولية.
في هذه الحالة، يكون التوسع على الشكل التالي:

دعونا نلقي نظرة على القاسم لدينا:
عند تحليل دالة كسرية إلى مجموع الكسور الأولية، يمكن تمييز ثلاث نقاط أساسية:

1) إذا كان المقام يحتوي على عامل "وحيد" للقوة الأولى (في حالتنا)، فإننا نضع معاملًا غير محدد في الأعلى (في حالتنا). الأمثلة رقم 1، 2 تتألف فقط من هذه العوامل "الوحيدة".

2) إذا كان القاسم موجودا عديدالمضاعف، فأنت بحاجة إلى تحليله على النحو التالي:
- أي المرور بجميع درجات "X" من الدرجة الأولى إلى الدرجة التاسعة بالتتابع. في مثالنا هناك عاملان متعددان: و، ألقِ نظرة أخرى على التوسيع الذي قدمته وتأكد من توسيعهما تمامًا وفقًا لهذه القاعدة.

3) إذا كان المقام يحتوي على كثير حدود غير قابل للتحلل من الدرجة الثانية (في حالتنا)، فعند التحلل في البسط تحتاج إلى كتابة دالة خطية بمعاملات غير محددة (في حالتنا بمعاملات غير محددة و ).

في الواقع، هناك حالة رابعة أخرى، لكنني سألتزم الصمت عنها، لأنها نادرة للغاية في الممارسة العملية.

مثال 4

تقديم وظيفة كمجموع كسور أولية ذات معاملات غير معروفة.

هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.
اتبع الخوارزمية بدقة!

إذا فهمت المبادئ التي تحتاج من خلالها إلى توسيع الدالة الكسرية إلى مجموع، فيمكنك مضغ أي تكامل من النوع قيد النظر تقريبًا.

مثال 5

أوجد التكامل غير المحدد.

الخطوة 1.من الواضح أن الكسر صحيح:

الخطوة 2.هل من الممكن تحليل شيء ما في المقام؟ يستطيع. هنا مجموع المكعبات . عامل المقام باستخدام صيغة الضرب المختصرة

الخطوه 3.باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة، نقوم بتوسيع التكامل إلى مجموع الكسور الأولية:

يرجى ملاحظة أن كثيرة الحدود لا يمكن تحليلها (تأكد من أن المميز سلبي)، لذلك نضع في الأعلى دالة خطية ذات معاملات غير معروفة، وليس حرفًا واحدًا فقط.

نأتي الكسر إلى قاسم مشترك:

دعونا نؤلف ونحل النظام:

(1) نعبر من المعادلة الأولى ونعوض بها في المعادلة الثانية للنظام (هذه هي الطريقة الأكثر عقلانية).

(2) نقدم مصطلحات مماثلة في المعادلة الثانية.

(3) نجمع المعادلتين الثانية والثالثة من حد النظام بحده.

جميع الحسابات الإضافية تكون، من حيث المبدأ، شفهية، لأن النظام بسيط.

(1) نكتب مجموع الكسور حسب المعاملات الموجودة.

(2) نستخدم الخصائص الخطية للتكامل غير المحدد. ماذا حدث في التكامل الثاني؟ يمكنك التعرف على هذه الطريقة في الفقرة الأخيرة من الدرس. دمج بعض الكسور.

(3) مرة أخرى نستخدم خصائص الخطية. في التكامل الثالث نبدأ بعزل المربع الكامل (الفقرة قبل الأخيرة من الدرس دمج بعض الكسور).

(4) نأخذ التكامل الثاني، وفي الثالث نختار المربع الكامل.

(5) خذ التكامل الثالث. مستعد.

الموضوع: تكامل الكسور النسبية.

انتباه! عند دراسة إحدى الطرق الأساسية للتكامل: تكامل الكسور المنطقية، من الضروري مراعاة كثيرات الحدود في المجال المعقد لإجراء براهين صارمة. ولذلك فمن الضروري الدراسة مقدما بعض خواص الأعداد المركبة والعمليات عليها.

تكامل الكسور المنطقية البسيطة.

لو ص(ض) و س(ض) هي كثيرات الحدود في المجال المركب، فهي كسور كسرية. تسمى صحيح، إذا كانت الدرجة ص(ض) درجة أقل س(ض) ، و خطأ، إذا كانت الدرجة ر لا تقل عن درجة س.

يمكن تمثيل أي كسر غير حقيقي على النحو التالي: ,

ف(ض) = س(ض) ق(ض) + ر(ض)،

أ ر(ض) – كثير الحدود الذي درجته أقل من الدرجة س(ض).

وبالتالي، فإن تكامل الكسور المنطقية يعود إلى تكامل كثيرات الحدود، أي دوال القوة، والكسور الصحيحة، لأنه كسر حقيقي.

التعريف 5. الكسور الأبسط (أو الأولية) هي الأنواع التالية من الكسور:

1) , 2) , 3) , 4) .

دعونا معرفة كيفية دمجها.

3) (درست سابقا).

النظرية 5. يمكن تمثيل كل كسر حقيقي كمجموع كسور بسيطة (بدون دليل).

النتيجة الطبيعية 1. إذا كان هناك كسر عقلاني مناسب، وإذا كان هناك جذور حقيقية بسيطة فقط بين جذور كثير الحدود، فعند تحليل الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة لن يكون هناك سوى كسور بسيطة من النوع الأول:

مثال 1.

النتيجة الطبيعية 2. إذا كان هناك كسر عقلاني مناسب، وإذا كان هناك جذور حقيقية متعددة فقط بين جذور كثير الحدود، فعند تحليل الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة سيكون هناك كسور بسيطة فقط من النوعين الأول والثاني :

مثال 2.

النتيجة الطبيعية 3. إذا كان هناك كسر عقلاني مناسب، وإذا كان هناك فقط جذور مترافقة معقدة بسيطة بين جذور كثير الحدود، فعند تحليل الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة سيكون هناك كسور بسيطة فقط من النوع الثالث:

مثال 3.

النتيجة الطبيعية 4. إذا كان هناك كسر عقلاني مناسب، وإذا كان هناك فقط عدة جذور مترافقة معقدة بين جذور كثير الحدود، فعند تحليل الكسر إلى مجموع الكسور البسيطة سيكون هناك كسور بسيطة فقط من الثالث والرابع أنواع:

لتحديد المعاملات المجهولة في التوسعات المعطاة، اتبع ما يلي. يتم ضرب الجانبين الأيسر والأيمن للتوسع الذي يحتوي على معاملات غير معروفة في الحصول على مساواة بين كثيرتي الحدود. ومنه يتم الحصول على معادلات المعاملات المطلوبة باستخدام:

1. المساواة صحيحة لأي قيم X (طريقة القيمة الجزئية). في هذه الحالة، يتم الحصول على أي عدد من المعادلات، أي م منها يسمح بإيجاد المعاملات المجهولة.

2. تطابق المعاملات لنفس درجات X (طريقة المعاملات غير المحددة). في هذه الحالة، يتم الحصول على نظام م - معادلات مع م - مجهولة، والتي يتم العثور على المعاملات المجهولة منها.

3. الطريقة المجمعة.

مثال 5. قم بتوسيع الكسر إلى أبسط.

حل:

لنجد المعاملين A و B.

الطريقة الأولى - طريقة القيمة الخاصة:

الطريقة الثانية - طريقة المعاملات غير المحددة:

إجابة:

دمج الكسور العقلانية.

النظرية 6. التكامل غير المحدد لأي كسر كسري في أي فترة لا يساوي مقامها الصفر موجودًا ويتم التعبير عنه من خلال وظائف أولية، وهي الكسور المنطقية واللوغاريتمات وظل الزوايا.

دليل.

لنتخيل كسرًا عقلانيًا في النموذج: . في هذه الحالة، الحد الأخير هو كسر مناسب، ووفقًا للنظرية 5 يمكن تمثيله كمجموعة خطية من الكسور البسيطة. وهكذا، فإن تكامل الكسر العقلاني يتحول إلى تكامل كثير الحدود س(س) والكسور البسيطة، التي يكون لمشتقاتها العكسية، كما هو موضح، الشكل المشار إليه في النظرية.

تعليق. وتتمثل الصعوبة الرئيسية في هذه الحالة في تحلل المقام إلى عوامل، أي البحث عن جميع جذوره.

مثال 1. أوجد التكامل

التكامل هو جزء عقلاني مناسب. توسيع المقام إلى عوامل غير قابلة للاختزال له الشكل وهذا يعني أن توسيع التكامل إلى مجموع الكسور البسيطة له الشكل التالي:

لنجد معاملات التمدد باستخدام الطريقة المدمجة:

هكذا،

مثال 2. أوجد التكامل

التكامل هو جزء غير حقيقي، لذلك نعزل الجزء بأكمله:

أول التكاملات جدولي، ونحسب الثاني بتحليل الكسر المناسب إلى تكاملات بسيطة:

وباستخدام طريقة المعاملات غير المحددة نحصل على:

هكذا،

أدخل الدالة التي تريد العثور على التكامل لها

بعد حساب التكامل غير المحدد، ستتمكن من الحصول على حل تفصيلي مجاني للتكامل الذي أدخلته.

دعونا نجد حل التكامل غير المحدد للدالة f(x) (المشتق العكسي للدالة).

أمثلة

باستخدام درجة
(المربع والمكعب) والكسور

(س^2 - 1)/(س^3 + 1)

الجذر التربيعي

جذر(س)/(س + 1)

الجذر التكعيبي

Cbrt(س)/(3*س + 2)

باستخدام جيب وجيب التمام

2*الخطيئة(x)*cos(x)

أركسين

X * أركسين (خ)

جيب التمام القوس

X*أركوس(خ)

تطبيق اللوغاريتم

X*سجل(س، 10)

اللوغاريتم الطبيعي

عارض

تيراغرام(س)*الخطيئة(خ)

ظل التمام

Ctg(x)*cos(x)

الكسور غير المنطقية

(جذر(س) - 1)/جذر (س^2 - س - 1)

ظل قوسي

X*arctg(خ)

ظل تمام التمام

X*arсctg(x)

الجيب الزائدي وجيب التمام

2 * ش (س) * الفصل (خ)

الظل الزائدي وظل التمام

كغت (س) / تغ (خ)

أركسين زائدي وأركوسين

X ^ 2 * أركسينه (س) * أركوش (س)

ظل قوسي زائدي وظل قوسي

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

قواعد إدخال التعبيرات والوظائف

يمكن أن تتكون التعبيرات من وظائف (يتم تقديم الرموز حسب الترتيب الأبجدي): مطلق (خ)قيمه مطلقه س
(وحدة سأو |س|) أركوس (x)وظيفة - قوس جيب التمام س أركوش (x)قوس جيب التمام الزائدي من س أرسين (خ)أركسين من س أرسينه (x)أركسين القطعي من س أركانتان (خ)الدالة - ظل قوسي س أركتغ (خ)قطب قطبي زائدي من س ه هوهو رقم يساوي تقريبًا 2.7 إكسب (خ)الدالة - الأس س(مثل ه^س) سجل (خ)أو قانون الجنسية (خ)اللوغاريتم الطبيعي س
(ليحصل سجل 7 (خ)، فأنت بحاجة إلى إدخال log(x)/log(7) (أو، على سبيل المثال، for سجل10(خ)=سجل(س)/سجل(10)) بايالرقم هو "Pi" وهو يساوي تقريبًا 3.14 الخطيئة (س)وظيفة - جيب س كوس (س)وظيفة - جيب التمام س سينه (خ)الدالة - جيب زائدي من س كوش (خ)وظيفة - جيب التمام الزائدي من س الجذر التربيعي (خ)الدالة - الجذر التربيعي ل س جذر (خ)أو س ^ 2الوظيفة - مربع س تان (خ)الوظيفة - الظل من س تغ (خ)الدالة - ظل زائدي من س كبرت (خ)الدالة - الجذر التكعيبي س

يمكن استخدام العمليات التالية في التعبيرات: أرقام حقيقيةأدخل ك 7.5 ، لا 7,5 2*س- عمليه الضرب 3/س- قسم س^3- الأسي س+7- إضافة س - 6- الطرح
ميزات أخرى: الكلمة (خ)الوظيفة - التقريب سللأسفل (مثال الأرضية (4.5)==4.0) السقف (x)الوظيفة - التقريب سلأعلى (مثال السقف (4.5)==5.0) علامة (خ)الوظيفة - التوقيع س إي آر إف (خ)دالة الخطأ (أو تكامل الاحتمال) لابلاس (خ)وظيفة لابلاس

تتلخص مشكلة إيجاد التكامل غير المحدد للدالة الكسرية في تكامل الكسور البسيطة. لذلك ننصحك بالتعرف أولاً على قسم نظرية تحلل الكسور إلى أبسطها.

مثال.

حل.

بما أن درجة بسط التكامل تساوي درجة المقام، فإننا نختار أولًا الجزء بأكمله عن طريق قسمة كثير الحدود على كثير الحدود بعمود:

لهذا السبب، .

إن تحلل الكسر العقلاني المناسب الناتج إلى كسور أبسط له الشكل . لذلك،

التكامل الناتج هو تكامل أبسط كسر من النوع الثالث. وبالنظر إلى الأمام قليلاً، نلاحظ أنه يمكنك أخذها عن طريق إدراجها تحت علامة التفاضل.

لأن ، الذي - التي . لهذا

لذلك،

لننتقل الآن إلى وصف طرق تكامل الكسور البسيطة لكل نوع من الأنواع الأربعة.

تكامل الكسور البسيطة من النوع الأول

تعتبر طريقة التكامل المباشر مثالية لحل هذه المشكلة:

مثال.

حل.

دعونا نوجد التكامل غير المحدد باستخدام خصائص المشتقة العكسية وجدول المشتقات العكسية وقاعدة التكامل.

أعلى الصفحة

تكامل الكسور البسيطة من النوع الثاني

طريقة التكامل المباشر مناسبة أيضًا لحل هذه المشكلة:

مثال.

حل.

أعلى الصفحة

تكامل الكسور البسيطة من النوع الثالث

أولا نقدم التكامل غير المحدد كمجموع:

نأخذ التكامل الأول بإدراجه تحت العلامة التفاضلية:

لهذا السبب،

دعونا نحول مقام التكامل الناتج:

لذلك،

صيغة تكامل الكسور البسيطة من النوع الثالث تأخذ الشكل التالي:

مثال.

أوجد التكامل غير المحدد .

حل.

نستخدم الصيغة الناتجة:

لو لم تكن لدينا هذه الصيغة ماذا سنفعل:

9. تكامل الكسور البسيطة من النوع الرابع

الخطوة الأولى هي وضعها تحت علامة التفاضل:

الخطوة الثانية هي العثور على جزء لا يتجزأ من النموذج . تم العثور على التكاملات من هذا النوع باستخدام صيغ التكرار. (انظر التقسيم باستخدام صيغ التكرار). الصيغة المتكررة التالية مناسبة لحالتنا:

مثال.

أوجد التكامل غير المحدد

حل.

لهذا النوع من التكامل نستخدم طريقة الاستبدال. لنقدم متغيرًا جديدًا (راجع القسم الخاص بتكامل الدوال غير المنطقية):

بعد الاستبدال لدينا:

لقد توصلنا إلى إيجاد تكامل الكسر من النوع الرابع. في حالتنا لدينا معاملات م = 0، ع = 0، ف = 1، ن = 1و ن = 3. نحن نطبق الصيغة المتكررة:

بعد الاستبدال العكسي نحصل على النتيجة:

10. تكامل الدوال المثلثية.

تتلخص العديد من المشكلات في إيجاد تكاملات الدوال المتعالية التي تحتوي على دوال مثلثية. في هذه المقالة، سنجمع الأنواع الأكثر شيوعًا من التكاملات ونستخدم الأمثلة للنظر في طرق تكاملها.

لنبدأ بدمج الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام.

من جدول المشتقات العكسية نلاحظ ذلك على الفور و .

تتيح لك طريقة إدراج العلامة التفاضلية حساب التكاملات غير المحددة لوظائف الظل وظل التمام:

أعلى الصفحة

دعونا ننظر إلى الحالة الأولى، والثانية مشابهة تماما.

لنستخدم طريقة الاستبدال:

لقد وصلنا إلى مشكلة دمج وظيفة غير عقلانية. ستساعدنا طريقة الاستبدال أيضًا هنا:

كل ما تبقى هو إجراء الاستبدال العكسي و ر = سينكس:

أعلى الصفحة

يمكنك معرفة المزيد حول مبادئ العثور عليها في تكامل القسم باستخدام الصيغ المتكررة. إذا قمت بدراسة اشتقاق هذه الصيغ، يمكنك بسهولة الحصول على تكاملات النموذج ، أين مو ن- الأعداد الصحيحة.

أعلى الصفحة

أعلى الصفحة

يأتي أقصى قدر من الإبداع عندما يحتوي التكامل على دوال مثلثية ذات وسائط مختلفة.

هذا هو المكان الذي تأتي فيه الصيغ الأساسية لعلم المثلثات للإنقاذ. لذا اكتبها على قطعة منفصلة من الورق واحتفظ بها أمام عينيك.

مثال.

أوجد مجموعة المشتقات العكسية للدالة .

حل.

صيغ التخفيض تعطي و .

لهذا

المقام هو صيغة جيب المجموع، وبالتالي،

وصلنا إلى مجموع التكاملات الثلاثة.

أعلى الصفحة

يمكن في بعض الأحيان اختزال التكاملات التي تحتوي على دوال مثلثية إلى تعبيرات كسرية باستخدام الاستبدال المثلثي القياسي.

لنكتب صيغًا مثلثية تعبر عن الجيب وجيب التمام والظل من خلال ظل وسيطة النصف:

عند التكامل، سنحتاج أيضًا إلى التعبير التفاضلي dxمن خلال مماس نصف الزاوية.

لأن ، الذي - التي

اين هذا.

مثال.

أوجد التكامل غير المحدد .

حل.

دعونا نستخدم الاستبدال المثلثي القياسي:

هكذا، .

يؤدي تحليل التكامل إلى كسور بسيطة إلى مجموع تكاملين:

كل ما تبقى هو إجراء الاستبدال العكسي:

11. صيغ التكرار هي صيغ معبرة نالعضو الرابع في التسلسل من خلال الأعضاء السابقين. يتم استخدامها غالبًا عند البحث عن التكاملات.

نحن لا نهدف إلى إدراج جميع صيغ التكرار، ولكننا نريد إعطاء مبدأ اشتقاقها. يعتمد اشتقاق هذه الصيغ على تحويل التكامل وتطبيق طريقة التكامل بالأجزاء.

على سبيل المثال، التكامل غير المحدد يمكن أن تؤخذ باستخدام صيغة التكرار .

اشتقاق الصيغة:

باستخدام صيغ علم المثلثات يمكننا أن نكتب:

نجد التكامل الناتج باستخدام طريقة التكامل بالأجزاء. كوظيفة ش(خ)لنأخذ com.cosx، لذلك، .

لهذا السبب،

نعود إلى التكامل الأصلي:

إنه،

وهذا ما يجب إظهاره.

يتم اشتقاق صيغ التكرار التالية بالمثل:

مثال.

أوجد التكامل غير المحدد.

حل.

نستخدم الصيغة المتكررة من الفقرة الرابعة (في مثالنا ن = 3):

منذ من جدول المشتقات العكسية لدينا ، الذي - التي

"إن عالم الرياضيات، مثله مثل الفنان أو الشاعر، يخلق الأنماط. وإذا كانت أنماطه أكثر استقرارا، فذلك فقط لأنها مكونة من أفكار... أنماط عالم الرياضيات، تماما مثل أنماط الفنان أو الشاعر، يجب أن تكون جميلة؛ الأفكار، مثل الألوان أو الكلمات، يجب أن تتوافق مع بعضها البعض. الجمال هو المطلب الأول: لا مكان في العالم للرياضيات القبيحة».

جي إتش هاردي

في الفصل الأول، لوحظ أن هناك مشتقات عكسية لدوال بسيطة إلى حد ما لم يعد من الممكن التعبير عنها من خلال الدوال الأولية. في هذا الصدد، فإن فئات الدوال التي يمكننا أن نقول عنها بدقة أن مشتقاتها العكسية هي دوال أولية، تكتسب أهمية عملية هائلة. تتضمن هذه الفئة من الوظائف وظائف عقلانية، تمثل نسبة اثنين من كثيرات الحدود الجبرية. تؤدي العديد من المشكلات إلى تكامل الكسور المنطقية. لذلك، من المهم جدًا أن تكون قادرًا على دمج هذه الوظائف.

2.1.1. وظائف عقلانية كسرية

جزء عقلاني(أو دالة عقلانية كسرية) تسمى العلاقة بين اثنين من كثيرات الحدود الجبرية:

أين و هي كثيرات الحدود.

دعونا نتذكر ذلك متعدد الحدود (متعدد الحدود, وظيفة عقلانية كاملة) نالدرجة العاشرةتسمى وظيفة النموذج

أين - أرقام حقيقية. على سبيل المثال،

- كثيرة الحدود من الدرجة الأولى؛

- متعدد الحدود من الدرجة الرابعة، الخ.

يسمى الكسر العقلاني (2.1.1). صحيح، إذا كانت الدرجة أقل من الدرجة، أي. ن<موإلا يسمى الكسر خطأ.

يمكن تمثيل أي كسر غير فعلي كمجموع كثير الحدود (الجزء الكامل) وكسر حقيقي (الجزء الكسري).يمكن فصل الأجزاء الكاملة والكسرية للكسر غير الحقيقي وفقًا لقاعدة تقسيم كثيرات الحدود بـ "الزاوية".

مثال 2.1.1.حدد الأجزاء الكاملة والكسرية للكسور النسبية غير الحقيقية التالية:

أ) ، ب) .

حل . أ) باستخدام خوارزمية القسمة "الزاوية"، نحصل على

وهكذا نحصل

.

ب) نستخدم هنا أيضًا خوارزمية التقسيم "الزاوية":

ونتيجة لذلك، نحصل على

.

دعونا نلخص. في الحالة العامة، يمكن تمثيل التكامل غير المحدد للكسر الكسرى كمجموع تكاملات كثير الحدود والكسر الكسرى الصحيح. العثور على المشتقات العكسية لكثيرات الحدود ليس بالأمر الصعب. لذلك، فيما يلي سننظر بشكل أساسي في الكسور المنطقية الصحيحة.

2.1.2. أبسط الكسور المنطقية وتكاملها

من بين الكسور المنطقية المناسبة، هناك أربعة أنواع، والتي يتم تصنيفها على أنها أبسط الكسور المنطقية (الابتدائية):

3) ,

4) ,

أين هو عدد صحيح، ، أي. ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية ليس له جذور حقيقية.

لا يمثل دمج الكسور البسيطة من النوعين الأول والثاني أي صعوبات كبيرة:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

دعونا الآن نتناول تكامل الكسور البسيطة من النوع الثالث، لكننا لن نفكر في الكسور من النوع الرابع.

لنبدأ بتكاملات النموذج

.

عادة ما يتم حساب هذا التكامل عن طريق عزل المربع الكامل للمقام. والنتيجة هي جدول متكامل من النموذج التالي

أو .

مثال 2.1.2.أوجد التكاملات:

أ) ، ب) .

حل . أ) اختر مربعًا كاملاً من ثلاثية الحدود التربيعية:

من هنا نجد

ب) بعزل مربع كامل من ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية نحصل على:

هكذا،

.

للعثور على التكامل

يمكنك عزل مشتقة المقام في البسط وتوسيع التكامل إلى مجموع تكاملين: أولهما بالتعويض يأتي إلى المظهر

,

والثاني - لتلك التي تمت مناقشتها أعلاه.

مثال 2.1.3.أوجد التكاملات:

.

حل . لاحظ أن . دعونا نعزل مشتقة المقام في البسط:

يتم حساب التكامل الأول باستخدام الاستبدال :

في التكامل الثاني، نختار المربع الكامل في المقام

وأخيراً وصلنا

2.1.3. توسيع الكسر العقلاني السليم
لمجموع الكسور البسيطة

أي جزء عقلاني مناسب يمكن تمثيلها بطريقة فريدة كمجموع الكسور البسيطة. للقيام بذلك، يجب أن يتم تحليل المقام. ومن المعروف من الجبر الأعلى أن كل كثيرة حدود لها معاملات حقيقية