A4 b4 صيغة الضرب المختصرة. صيغ الضرب المختصرة – المعرفة هايبر ماركت

صيغ الضرب المختصرة.

دراسة صيغ الضرب المختصرة: مربع المجموع ومربع الفرق بين تعبيرين؛ الفرق بين مربعين من التعبيرات؛ مكعب المجموع ومكعب الفرق بين تعبيرين؛ المبالغ والاختلافات بين مكعبات اثنين من التعبيرات.

تطبيق صيغ الضرب المختصرة عند حل الأمثلة.

لتبسيط التعبيرات، وتحليل كثيرات الحدود إلى عوامل، وتقليل كثيرات الحدود إلى الشكل القياسي، يتم استخدام صيغ الضرب المختصرة. يجب حفظ صيغ الضرب المختصرة عن ظهر قلب.

دع أ، ب ر. ثم:

1. مربع مجموع تعبيرين يساويمربع التعبير الأول زائد ضعف ناتج التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أ + ب 2

2. مربع الفرق بين تعبيرين يساويمربع التعبير الأول ناقص ضعف حاصل ضرب التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.

(أ - ب) 2 = أ 2 - 2أ + ب 2

3. فرق المربعاتتعبيران يساوي حاصل ضرب الفرق بين هذين التعبيرين ومجموعهما.

أ 2 - ب 2 = (أ -ب) (أ+ب)

4. مكعب المبلغتعبيران يساوي مكعب التعبير الأول زائد ثلاثة أضعاف ناتج مربع التعبير الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف منتج التعبير الأول ومربع الثاني بالإضافة إلى مكعب التعبير الثاني.

(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3

5. مكعب الفرقتعبيران يساوي مكعب التعبير الأول ناقص ثلاثة أضعاف ناتج مربع التعبير الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف منتج التعبير الأول ومربع الثاني ناقص مكعب التعبير الثاني.

(أ - ب) 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 - ب 3

6. مجموع المكعباتتعبيران يساوي حاصل ضرب مجموع التعبيرين الأول والثاني والمربع غير الكامل للفرق بين هذين التعبيرين.

أ 3 + ب 3 = (أ + ب) (أ 2 - أ ب + ب 2)

7. اختلاف المكعباتتعبيران يساوي حاصل ضرب الفرق بين التعبيرين الأول والثاني في المربع غير الكامل لمجموع هذه التعبيرات.

أ 3 - ب 3 = (أ - ب) (أ 2 + أ + ب 2)

تطبيق صيغ الضرب المختصرة عند حل الأمثلة.

مثال 1.

احسب

أ) باستخدام صيغة مربع مجموع تعبيرين، لدينا

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

ب) باستخدام صيغة مربع الفرق بين تعبيرين نحصل على ذلك

98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604

مثال 2.

احسب

باستخدام صيغة الفرق بين مربعي التعبيرين، نحصل على

مثال 3.

تبسيط التعبير

(س - ص) 2 + (س + ص) 2

دعونا نستخدم الصيغ الخاصة بمربع المجموع ومربع الفرق بين تعبيرين

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

صيغ الضرب المختصرة في جدول واحد:

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أ + ب 2
(أ - ب) 2 = أ 2 - 2أ + ب 2
أ 2 - ب 2 = (أ - ب) (أ+ب)
(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3
(أ - ب) 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 - ب 3
أ 3 + ب 3 = (أ + ب) (أ 2 - أ ب + ب 2)
أ 3 - ب 3 = (أ - ب) (أ 2 + أ + ب 2)

من أجل تبسيط كثيرات الحدود الجبرية، هناك صيغ الضرب المختصرة. ليس هناك الكثير منها ومن السهل تذكرها، لكن عليك أن تتذكرها. يمكن أن يأخذ التدوين المستخدم في الصيغ أي شكل (رقم أو متعدد الحدود).

تسمى صيغة الضرب المختصرة الأولى اختلاف المربعات. وهي عبارة عن طرح مربع الرقم الأول من مربع الرقم الثاني، وهو ما يساوي الفرق بين هذه الأرقام وحاصل ضربها.

أ 2 - ب 2 = (أ - ب)(أ + ب)

دعونا ننظر إلى الأمر من أجل الوضوح:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9 أ 2 - 4 ب 2 ج 2 = (3 أ - 2 ب) (3 أ + 2 ب)

الصيغة الثانية حول مجموع المربعات. يبدو أن مجموع كميتين مربعتين يساوي مربع الكمية الأولى، ويضاف إليهما حاصل الضرب المزدوج للكمية الأولى في الثانية، ويضاف إليهما مربع الكمية الثانية.

(أ + ب) 2 = أ 2 +2أ + ب 2

بفضل هذه الصيغة، يصبح حساب مربع عدد كبير أسهل بكثير، دون استخدام تكنولوجيا الكمبيوتر.

لذلك على سبيل المثال:مربع 112 سيكون مساويا ل
1) أولاً، دعونا نقسم العدد 112 إلى أرقام مربعاتها مألوفة لنا
112 = 100 + 12
2) ندخل النتيجة بين قوسين مربعين
112 2 = (100+12) 2
3) بتطبيق الصيغة نحصل على:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

الصيغة الثالثة هي الفرق التربيعي. والتي تقول أن الكميتين المطروحة من بعضهما البعض في المربع متساويتان، لأننا من مربع الكمية الأولى نطرح حاصل الضرب المزدوج للكمية الأولى مضروبة في الثانية، ونضيف إليهما مربع الكمية الثانية.

(أ + ب) 2 = أ 2 - 2أ + ب 2

حيث (أ - ب) 2 يساوي (ب - أ) 2. ولإثبات ذلك (أ-ب) 2 = أ 2 -2ab+ب 2 = ب 2 -2ab + أ 2 = (ب-أ) 2

تسمى الصيغة الرابعة للضرب المختصر مكعب المبلغ. والذي يبدو مثل: كميتان مجموعتان في مكعب تساويان مكعب كمية واحدة، ويضاف المنتج الثلاثي لكمية واحدة مربعة مضروبة في الكمية الثانية، ويضاف إليها المنتج الثلاثي لكمية واحدة مضروبة في مربع 2 المقادير، بالإضافة إلى الكمية الثانية مكعبات.

(أ+ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3

الخامس، كما فهمت بالفعل، يسمى مكعب الفرق. والذي يجد الفروق بين الكميات، فمن العلامة الأولى في المكعب نطرح الناتج الثلاثي للعلامة الأولى في المربع مضروباً في الثانية، يضاف إليهم المنتج الثلاثي للعلامة الأولى مضروباً في مربع الثانية التدوين، ناقص التدوين الثاني في المكعب.

(أ-ب) 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ 2 - ب 3

السادس يسمى - مجموع المكعبات. مجموع المكعبين يساوي حاصل ضرب المجموعتين في المربع الجزئي للفرق، إذ لا توجد قيمة مزدوجة في المنتصف.

أ 3 + ب 3 = (أ+ب)(أ 2 -أب+ب 2)

هناك طريقة أخرى للتعبير عن مجموع المكعبات، وهي أن نطلق عليه حاصل الضرب الموجود بين قوسين.

يتم استدعاء السابع والأخير اختلاف المكعبات(يمكن الخلط بسهولة بينه وبين صيغة مكعب الفرق، لكن هذه أشياء مختلفة). الفرق بين المكعبات يساوي حاصل ضرب الفرق بين كميتين في المربع الجزئي للمجموع، حيث لا توجد قيمة مزدوجة في المنتصف.

أ 3 - ب 3 = (أ-ب)(أ 2 +أ+ب2)

وهكذا لا يوجد سوى 7 صيغ للضرب المختصر، فهي متشابهة مع بعضها البعض ويسهل تذكرها، والشيء المهم الوحيد هو عدم الخلط بين العلامات. وهي مصممة أيضًا لاستخدامها بترتيب عكسي، وتحتوي الكتب المدرسية على عدد لا بأس به من هذه المهام. كن حذرا وكل شيء سوف يعمل من أجلك.

إذا كانت لديك أسئلة حول الصيغ، فتأكد من كتابتها في التعليقات. سنكون سعداء بالرد عليك!

إذا كنت في إجازة أمومة، ولكنك ترغبين في كسب المال. فقط اتبع الرابط الأعمال التجارية عبر الإنترنت مع أوريفليم. كل شيء مكتوب ويظهر هناك بتفصيل كبير. سيكون مثيرا للإهتمام!

ضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود

! ل ضرب كثير الحدود في كثير الحدود، تحتاج إلى ضرب كل حد من كثير الحدود في كل حد من كثير الحدود الآخر وإضافة المنتجات الناتجة.

احرص! كل مصطلح له علامة خاصة به.

صيغ الضرب المختصرةكثيرات الحدود هي عادة 7 (سبعة) حالات شائعة لضرب كثيرات الحدود.

تعريفات وصيغ الضرب المختصرة. طاولة

الجدول 2. تعريفات صيغ الضرب المختصرة (اضغط للتكبير)

ثلاث صيغ الضرب المختصرة للمربعات

1. صيغة للمجموع التربيعي.

مربع المبلغتعبيران يساوي مربع التعبير الأول زائد ضعف ناتج التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.

لفهم الصيغة بشكل أفضل، دعونا أولاً نبسط التعبير (قم بتوسيع صيغة مربع المجموع)

الآن دعونا نحلل (طي الصيغة)

تسلسل الإجراءات عند التخصيم:

1. تحديد أي وحيدات الحد تم تربيعها ( 5 و 3 م);
2. تحقق مما إذا كان منتجهم المزدوج في منتصف الصيغة (2 5 3m = 30 م);
3. اكتب الجواب (5+3م) 2.

2. صيغة الفرق المربع

الفرق التربيعيتعبيران يساوي مربع التعبير الأول ناقص ضعف حاصل ضرب التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.

أولاً، دعونا نبسط التعبير (قم بتوسيع الصيغة):

وبعد ذلك، بالعكس، دعونا نحللها (طي الصيغة):

3. صيغة الفرق المربع

حاصل ضرب مجموع تعبيرين والفرق بينهما يساوي الفرق بين مربعي هذين التعبيرين.

دعونا نقوم بطي الصيغة (إجراء الضرب)

الآن دعونا نوسع الصيغة (عاملها)

أربع صيغ ضرب مختصرة للمكعبات

4. صيغة لمكعب مجموع رقمين

مكعب مجموع تعبيرين يساوي مكعب التعبير الأول زائد ثلاثة أضعاف منتج مربع التعبير الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف منتج التعبير الأول ومربع الثاني بالإضافة إلى مكعب التعبير التعبير الثاني.

تسلسل الإجراءات عند "طي" الصيغة:

1. ابحث عن أحاديات الحد التي تم تكعيبها (هنا 4xو 1 );
2. التحقق من متوسط ​​الشروط للامتثال للصيغة؛
3. اكتب الجواب.

5. صيغة مكعب الفرق بين رقمين

مكعب الفرق بين تعبيرين يساوي مكعب التعبير الأول ناقص ثلاثة أضعاف ناتج مربع التعبير الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف ناتج التعبير الأول ومربع الثاني ناقص مكعب التعبير التعبير الثاني.

6. صيغة مجموع المكعبات

مجموع مكعبات التعبيرين يساوي حاصل ضرب مجموع التعبيرين الأول والثاني والمربع غير الكامل للفرق بين هذين التعبيرين.

والعودة:

7. اختلاف صيغة المكعبات

الفرق بين مكعبي تعبيرين يساوي حاصل ضرب الفرق بين التعبيرين الأول والثاني والمربع الجزئي لمجموع هذه التعبيرات.

تطبيق صيغ الضرب المختصرة. طاولة

مثال على استخدام الصيغ في الممارسة العملية (الحساب الشفهي).

مهمة:أوجد مساحة المربع الذي طول ضلعه أ = 71 سم.

حل:س = أ 2 . باستخدام صيغة المجموع التربيعي، لدينا

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 سم2

إجابة: 5041 سم2

تعبير ( أ + ب) 2 هو مربع المبلغأعداد أو ب. حسب تعريف الدرجة، التعبير ( أ + بأ + ب)(أ + ب). ومن ثم، فمن مربع المجموع يمكننا استنتاج ذلك

(أ + ب) 2 = (أ + ب)(أ + ب) = أ 2 + أب + أب + ب 2 = أ 2 + 2أب + ب 2 ,

أي أن مربع مجموع رقمين يساوي مربع الرقم الأول، بالإضافة إلى ضعف ناتج الرقم الأول والثاني، بالإضافة إلى مربع الرقم الثاني.

صيغة المجموع المربع

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب + ب 2

متعدد الحدود أ 2 + 2أب + ب 2 يسمى توسيع المجموع التربيعي.

لأن أو بللدلالة على أي أرقام أو تعبيرات، فإن القاعدة تتيح لنا الفرصة، باختصار، لتربيع أي تعبير يمكن اعتباره مجموع حدين.

مثال.التعبير المربع 3 س 2 + 2xy.

حل:لكي لا نقوم بإجراء تحويلات إضافية، سوف نستخدم صيغة مربع المجموع. يجب أن نحصل على مجموع مربع الرقم الأول، ضعف منتج الرقم الأول والثاني ومربع الرقم الثاني:

(3س 2 + 2xy) 2 = (3س 2) 2 + 2(3س 2 2 xy) + (2xy) 2

الآن، باستخدام قواعد الضرب والأُسي لوحيدات الحد، نقوم بتبسيط التعبير الناتج:

(3س 2) 2 + 2(3س 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9س 4 + 12س 3 ذ + 4س 2 ذ 2

الفرق التربيعي

تعبير ( أ - ب) 2 هو الفرق التربيعيأعداد أو ب. تعبير ( أ - ب) 2 هو نتاج اثنين من كثيرات الحدود ( أ - ب)(أ - ب). لذلك، من مربع الفرق يمكننا استنتاج ذلك

(أ - ب) 2 = (أ - ب)(أ - ب) = أ 2 - أب - أب + ب 2 = أ 2 - 2أب + ب 2 ,

أي أن مربع الفرق بين رقمين يساوي مربع الرقم الأول ناقص ضعف حاصل ضرب الرقم الأول والثاني، بالإضافة إلى مربع الرقم الثاني.

ويترتب على القاعدة أن المجموع صيغة الفرق التربيعي، بدون تحويلات وسيطة، سيبدو كما يلي:

(أ - ب) 2 = أ 2 - 2أب + ب 2

متعدد الحدود أ 2 - 2أب + ب 2 يسمى توسيع الفرق التربيعي.

تنطبق هذه القاعدة على التربيع المختصر للتعبيرات التي يمكن التعبير عنها بالفرق بين رقمين.

مثال.تمثيل مربع الفرق في شكل ثلاثي الحدود:

(2أ 2 - 5أب 2) 2

حل:باستخدام صيغة الفرق التربيعي نجد:

(2أ 2 - 5أب 2) 2 = (2أ 2) 2 - 2(2أ 2 5 أب 2) + (5أب 2) 2

الآن دعونا نحول التعبير إلى كثير الحدود القياسي:

(2أ 2) 2 - 2(2أ 2 5 أب 2) + (5أب 2) 2 = 4أ 4 - 20أ 3 ب 2 + 25أ 2 ب 4

فرق المربعات

تعبير أ 2 - ب 2 هو اختلاف المربعاتأعداد أو ب. تعبير أ 2 - ب 2 هي طريقة مختصرة لضرب مجموع رقمين في الفرق بينهما:

(أ + ب)(أ - ب) = أ 2 + أب - أب - ب 2 = أ 2 - ب 2 ,

أي أن حاصل ضرب مجموع رقمين وفرقهما يساوي فرق مربعي هذين الرقمين.

ويترتب على القاعدة أن المجموع صيغة الفرق المربعيبدو مثل هذا:

أ 2 - ب 2 = (أ + ب)(أ - ب)

تنطبق هذه القاعدة على الضرب المختصر للتعبيرات التي يمكن تمثيلها: أحدهما كمجموع رقمين، والآخر بالفرق بين نفس الأرقام.

مثال.تحويل المنتج إلى ذات الحدين:

(5أ 2 + 3)(5أ 2 - 3)

حل:

(5أ 2 + 3)(5أ 2 - 3) = (5أ 2) 2 - 3 2 = 25أ 4 - 9

في المثال، قمنا بتطبيق صيغة فرق المربعات من اليمين إلى اليسار، أي أننا حصلنا على الجانب الأيمن من الصيغة، وقمنا بتحويلها إلى اليسار:

(أ + ب)(أ - ب) = أ 2 - ب 2

من الناحية العملية، يتم تطبيق جميع الصيغ الثلاث التي تمت مناقشتها من اليسار إلى اليمين ومن اليمين إلى اليسار، اعتمادًا على الموقف.

واحدة من المواضيع الأولى التي تمت دراستها في دورة الجبر هي صيغ الضرب المختصرة. في الصف السابع، يتم استخدامها في أبسط المواقف، حيث تحتاج إلى التعرف على إحدى الصيغ في التعبير وتحليل كثير الحدود أو، على العكس من ذلك، تربيع أو تكعيب المجموع أو الفرق بسرعة. في المستقبل، سيتم استخدام FSU لحل المتباينات والمعادلات بسرعة وحتى لحساب بعض التعبيرات الرقمية بدون آلة حاسبة.

كيف تبدو قائمة الصيغ؟

هناك 7 صيغ أساسية تسمح لك بضرب كثيرات الحدود بسرعة بين قوسين.

في بعض الأحيان تتضمن هذه القائمة أيضًا توسعة للدرجة الرابعة، والتي تتبع الهويات المقدمة ولها الشكل:

أ⁴ — ب⁴ = (أ - ب)(أ + ب)(أ² + ب²).

جميع المعادلات لها زوج (مجموع - فرق)، باستثناء فرق المربعات. لم يتم إعطاء صيغة مجموع المربعات.

من السهل تذكر المعادلات المتبقية:

يجب أن نتذكر أن وحدات FSU تعمل في أي حال ولأي قيم أو ب: يمكن أن تكون هذه إما أرقامًا عشوائية أو تعبيرات صحيحة.

في حالة عدم قدرتك فجأة على تذكر العلامة الموجودة أمام مصطلح معين في الصيغة، يمكنك فتح الأقواس والحصول على نفس النتيجة بعد استخدام الصيغة. على سبيل المثال، إذا نشأت مشكلة عند تطبيق مكعب الفرق FSU، فأنت بحاجة إلى كتابة التعبير الأصلي و إجراء الضرب واحدا تلو الآخر:

(أ - ب)³ = (أ - ب)(أ - ب)(أ - ب) = (أ² - أ ب - أب + ب²)(أ - ب) = أ³ - أ²ب - أ²ب + أب² - أ²ب + أب² + أب² - ب³ = أ³ - 3أ²ب + 3اب² - ب³.

ونتيجة لذلك، بعد إحضار جميع المصطلحات المتشابهة، تم الحصول على نفس كثير الحدود كما في الجدول. يمكن إجراء نفس التلاعبات مع جميع وحدات FSU الأخرى.

تطبيق FSU لحل المعادلات

على سبيل المثال، تحتاج إلى حل معادلة تحتوي على متعدد الحدود من الدرجة 3:

س³ + 3س² + 3س + 1 = 0.

لا يشمل المنهج الدراسي التقنيات العالمية لحل المعادلات المكعبة، وغالبا ما يتم حل هذه المهام أكثر طرق بسيطة(على سبيل المثال، عن طريق التخصيم). إذا لاحظنا أن الجانب الأيسر من الهوية يشبه مكعب المجموع فيمكن كتابة المعادلة بشكل أبسط:

(س + 1)³ = 0.

يتم حساب جذر هذه المعادلة شفويا: س = -1.

يتم حل عدم المساواة بطريقة مماثلة. على سبيل المثال، يمكنك حل عدم المساواة س³ – 6س² + 9س > 0.

بادئ ذي بدء، تحتاج إلى تحليل التعبير. أولا تحتاج إلى قوس س. بعد ذلك، لاحظ أنه يمكن تحويل التعبير الموجود بين قوسين إلى مربع الفرق.

ثم تحتاج إلى العثور على النقاط التي يأخذ فيها التعبير قيمًا صفرية ووضع علامة عليها على خط الأعداد. في حالة معينة، ستكون هذه القيم 0 و3. ثم، باستخدام طريقة الفاصل الزمني، حدد الفواصل الزمنية التي ستتوافق فيها x مع حالة عدم المساواة.

قد تكون وحدات FSU مفيدة عند الأداء بعض العمليات الحسابية دون مساعدة الآلة الحاسبة:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

بالإضافة إلى ذلك، من خلال تحليل التعبيرات، يمكنك بسهولة تقليل الكسور وتبسيط التعبيرات الجبرية المختلفة.

أمثلة على المسائل للصفوف 7-8

في الختام، سنقوم بتحليل وحل مهمتين حول استخدام صيغ الضرب المختصرة في الجبر.

المهمة 1. تبسيط التعبير:

(م + 3)² + (3 م + 1) (3 م - 1) - 2 م (5 م + 3).

حل. شرط المهمة يتطلب تبسيط التعبير، أي فتح القوسين، وإجراء عمليات الضرب والأس، وكذلك إحضار جميع الحدود المتشابهة. دعونا نقسم التعبير بشكل مشروط إلى ثلاثة أجزاء (حسب عدد المصطلحات) ونفتح الأقواس واحدًا تلو الآخر، باستخدام FSU حيثما أمكن ذلك.

• (م + 3)² = م² + 6م + 9(مجموع المربع)؛
• (3م + 1)(3م - 1) = 9م2 – 1(فرق ​​المربعات)؛
• في الفصل الأخير تحتاج إلى مضاعفة: 2 م (5 م + 3) = 10 م² + 6 م.

دعنا نستبدل النتائج التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي:

(م² + 6 م + 9) + (9 م² – 1) - (10 م² + 6 م).

ومع مراعاة العلامات سنفتح بين القوسين ونقدم مصطلحات مشابهة:

م² + 6 م + 9 + 9 م² 1 - 10 م² – 6 م = 8.

المشكلة 2. حل معادلة تحتوي على المجهول k للقوة الخامسة:

ك⁵ + 4ك⁴ + 4ك³ – 4ك² – 4ك = ك³.

حل. في هذه الحالة، من الضروري استخدام FSU وطريقة التجميع. من الضروري نقل المصطلحين الأخير وما قبل الأخير إلى الجانب الأيمن من الهوية.

ك⁵ + 4ك⁴ + 4ك³ = ك³ + 4ك² + 4ك.

العامل المشترك مشتق من الجانبين الأيمن والأيسر (ك² + 4 ك +4):

ك³(ك² + 4ك + 4) = ك (ك² + 4ك + 4).

يتم نقل كل شيء إلى الجانب الأيسر من المعادلة بحيث يبقى 0 على اليمين:

ك³(ك² + 4ك + 4) - ك (ك² + 4ك + 4) = 0.

مرة أخرى من الضروري إخراج العامل المشترك:

(ك³ - ك)(ك² + 4ك + 4) = 0.

من العامل الأول الذي تم الحصول عليه يمكننا استخلاصه ك. وفقا لصيغة الضرب القصيرة، فإن العامل الثاني سيكون مساويا ل (ك+2)²:

ك (ك² - 1)(ك + 2)² = 0.

باستخدام صيغة فرق المربعات:

ك (ك - 1)(ك + 1)(ك + 2)² = 0.

بما أن حاصل الضرب يساوي 0 إذا كان أحد عوامله على الأقل صفرًا، فإن العثور على جميع جذور المعادلة ليس بالأمر الصعب:

1. ك = 0؛
2. ك - 1 = 0؛ ك = 1؛
3. ك + 1 = 0؛ ك = -1؛
4. (ك + 2)² = 0؛ ك = -2.

استنادا إلى الأمثلة التوضيحية، يمكنك فهم كيفية تذكر الصيغ، والاختلافات بينها، وكذلك حل العديد من المسائل العملية باستخدام FSU. المهام بسيطة ويجب ألا تكون هناك صعوبات في إكمالها.